2024—2025第一学期初三数学试卷
（时间：120分钟 总分：150分）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心
2．已知，下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．矩形中，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
第4题图
A．点均在圆外 B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外 D．点均在圆内
5．某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．规定：对于任意实数，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
7．如图，在中，平分交于点，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，垂足为是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点落在边上时，点为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
9．如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，与交于点为延长线上的一点，且，连接，分别交于点，连接，则下列结论：
①；②；③平分；④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是______．
12．已知线段，则的比例中项线段等于______．
13．已知满足满足，且，则______．
14．一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形为平行四边形，，以点为轴心，在处和处安装制图笔，当处制图笔所画图形的面积为3时，则处制图笔所画图形的面积是______．
15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．是上的点，，垂足为点．若，则的半径为______．
第15题图
16．如图，已知点，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则______．
第16题图
17．如图，在中，，平面上有一点，连接，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是______．
第17题图
18．如图，在矩形中，，点是边上任意一点（点与点不重合），过点作，交边的延长线于点，连接，交边于点．设．则关于的函数解析式为______；当点在边上移动时，为等腰三角形时，线段的长为______．
第18题图
三．解答题（本大题共10小题，共96分）
19．解方程：（每小题4分，共12分）
（1）；（2）；（3）．
20．（6分）先化简，再求值：，其中是方程的解．
21．（8分）如图，平分，过点作交于，连接交于．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
22．（10分）如图，的顶点均为网格中的格点，
（1）选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个，使（相似比不为1）．
（2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为4．
图1 图2
23．（10分）已知关于的一元二次方程．
（1）试证：无论取任何实数，方程都有实数根；
（2）设是方程的两根，且满足，求的值．
24．（10分）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂与地面平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端标杆顶端和地面上一点在同一直线上，此时小明发现路灯标杆顶端和地面上另一点也在同一条直线上（路灯主杆底端标杆底端和地面上点点在同一水平线上）．这时小明测得长1.5米，路灯的正下方距离路灯主杆底端的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆的高度．
25．（10分）由两个全等的和构成如图所示的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为，斜边长为，分别以为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程．
（1）直接写出一个勾股方程．
（2）若勾股方程有两个相等的实数根，求的值．
（3）若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是6，求四边形的面积．
26．（10分）巴黎奥运会的吉祥物“弗里热”玩偶共有两种尺寸：分别为大款和小款，小渝购置了一定数量的两款玩偶，各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的．
（1）请问大，小款单价各多少元？
（2）为了送给其他的朋友，小渝决定再买一定数量的吉祥物，此时，在第一次购买的基础上，小款的单价减少了元，购买数量增加了个，大款的单价不变，购买数量减少了个，总费用为4800元，请求出的值．
27．（10分）如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，作的角平分线交的延长线于点交于点．
（1）求证：；
（2）若时，求的长；
（3）若时，求的值．
28．（10分）【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”
如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点．
【应用】
（1）如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则；______；
（2）如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明：
（3）如图3，在中，于点．
①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．
B正确，本选项符合题意．
C错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．
故选：B．
2．【解答】解：，不成立，
故选：D．
3，【解答】解：与是位似图形，位似中心为点，点的对应点为，
与的相似比为，
点的坐标为，点的对应点的坐标为，即，
故选：A．
4．【解答】解：四边形为矩形，
在中，
在中，，
点在圆内，点在圆外．
故选：C．
5．【解答】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为，由题意得，，
故选：A．
6．【解答】解：根据题意得，整理得，
关于的方程有两个不相等的实数根，
且，解得且．
故选：D．
7．【解答】解：公共，且．
设，则．由于，
整理得：，解方程得：，经检验，是原方程的解，
为正数，
故选：C．
8．【解答】解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，
当点落在边上时，如图：
为的中点，
故小明的说法是正确的；
连接，
点在射线上运动，当时，的长最小，
当的长最小时，，
又，
故小丽的说法正确；
故选：C．
9．【解答】解：过点作于点，
设，则，
过点作于点，
的面积，
故选：A．
10．【解答】解：设，
四边形是正方形，
，故①错误：
，故②错误：
四边形是正方形，
垂直平分，
平分，故③正确：
，故④正确：
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：①两个正三角形相似，正确．
②两个等腰直角三角形相似，正确．
③两个菱形相似，错误．
④两个矩形相似，错误．
⑤两个正方形相似，正确．
故答案为：①②⑤
12．【解答】解：设的比例中项为，
（舍去负值），即的比例中等于．
故答案为：．
13．【解答】解：实数满足，且，
实数是关于的方程的两个不相等的实数根，
故答案为：．
14．【解答】解：四边形为平行四边形，
连接，由题知点在上，
又，
处制图笔所画图形的面积与处制图笔所画图形的面积的比值为9，
又处制图笔所画图形的面积为3，
处制图笔所画图形的面积是27．
故答案为：27．
15．【解答】解：连接，如图所示：
设的半径为，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：，即的半径为．故答案为：10．
16．【解答】解：如图，作轴，轴，垂足分别为，
点，
点在反比例函数图象上，
故答案为：．
17．【解答】解：取的中点，连接，
点为中点，点为中点，
为的中位线，
则点在以点为圆心，为半径的圆上，
连接，则的最大值为：．
18．【解答】解：（1）在矩形中，．
即得．
又，
于是，由，得．
由，得，即得．
关于的函数解析式是．
（2）当点在边上移动时，能成为等腰三角形．
此时，①当时，那么，
即为中点，即为中线，此时
当代入．得；即；
②当时，过点向作垂线有，
由易得，
即
即，
解得，即；
③当时，
解得，即
19．【解答】解：（1），
（2），
（3），
20．【解答】解：，．
21．【解答】（1）证明：平分，
，
（2）解：，
而，
22．【解答】解：（1）如图所示：即为所求，理由如下：
设小正方形的边长为：1，由图可知：，
由勾股定理得：，
．
（2），且，则，
的相似比为，
则，
如图所示，即为所求
23．【解答】（1）证明：，
无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：是方程的两根，
解得：．
24．【解答】解：过点作于，交于点，
等于的边上的高，
米．米，
，即，
，，
答：路灯主杆的高度为5.4米．
25．【解答】解：（1）设，则，
是勾股方程；
（2）勾股方程有两个相等的实数根，
（3）是勾股方程的一个根，
四边形的周长是6，
四边形的面积．
26．【解答】解：（1）设大款玩偶的单价为元，则小款玩偶的单价为元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：大款玩偶的单价为240元，小款玩偶的单价为150元：
（2）由（1）可知，大款玩偶的数量为，小款玩偶的数量为，
由题意得：
整理得：，解得：（不合题意，舍去），
答：的值为36．
27．【解答】（1）证明：平分，
在矩形中，，
由翻折可知，点在的延长线上，
又，
（2）解：，由翻折可知，
在中，，
设，则，
由（1）可知，
解得：，即；
（3）解：如图，过点作，垂足为，
设，则，
平分，
即，故，
又，即，
28．【解答】解：（1）由题可知，，
故答案为：1；；
（2），证明如下：
四边形是平行四边形，
设，则，
（3）①第一种情况：如图①。
①
第二种情况：如图②．
②
第三种情况：如图③．
③
②若按照上图①作图，即如图④，
④
由题意可知，，四边形是平行四边形，
是等腰三角形；
过作于，则，
即，
若按照上图②作图，即如图⑤，
⑤
延长交于点，同理可得是等腰三角形，
连接，
同理，
即，
若按照上图③作图，则没有交点，不存在（不符合题意），即如图⑥，
⑥
故答案为：或．
