28.2 解直角三角形及其应用
任务一 解直角三角形
母题1 如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,
BC=14,AD=12,sinB=.
(1)求线段DC的长.
(2)求sin∠EDC的值.
变式练1：如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,AE是BC边上的中线,已知AD=8,BD=4,cos∠ABC=.
(1)求高CD的长.
(2)求tan∠EAB的值.
任务二 解非直角三角形
母题2 如图,在△ABC中,∠B=30°,∠ACB=135°,AB=16,求BC的长.
变式练2：如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=3,AC=5,求边BC的长.
任务三 利用解直角三角形求图形的面积
母题3 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,AB=5,AD=2.
(1)求CD的长.
(2)求四边形ABCD的面积.
变式练3：如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,
求四边形ABCD的面积.
任务四 利用解直角三角形求物体的高或宽
子任务1 求物体的宽
母题4 如图,这是放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,≈1.73)
变式练4：我国“巅峰使命”珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察,搭建了世界最高海拔的自动气象站,还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动,通过观测数据,计算气球升空的高度AB.
如图,在平面内,点B,C,D在同一直线上,AB⊥CB,垂足为点B,
∠ACB=52°,∠ADB=60°,CD=200 m,求AB的高度.(精确到1m,
参考数据:sin52°≈0.79,cos 52°≈0.62,tan 52°≈1.28,≈1.73)
子任务2 求物体的高
母题5 某大桥采用低塔斜拉桥桥型,其平面图如图所示.假设站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是27°,拉索BD与水平桥面的夹角是58°,两拉索底端距离AD=20米,求立柱BC的高.(结果保留一位小数,参考数据:tan 58°≈1.6,tan 27°≈0.5)
变式练5：利用风力发电非常环保,且风能蕴量巨大,因此风力发电日益受到重视.风电机组主要由塔杆和叶片组成,如图,琳琳站在A处测得一塔杆顶端C的仰角是60°,她又沿HA方向水平前进40米到达山底G处,在山顶B处发现当一叶片到达最高位置时,测得叶片的顶端D的仰角是45°(点D,C,H在同一直线上).
已知塔杆CH的高为60米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计),
山高BG为20米,BG⊥HG,CH⊥AH,求叶片DC的长度.(结果保留根号)
参考答案
母题1 解:(1)∵AD是边BC上的高,
∴AD⊥BC.
∴sin B==.
∵AD=12,
∴AB===15.
在Rt△ABD中,∵BD===9,
∴CD=BC-BD=14-9=5.
(2)在Rt△ADC中,∵AD=12,DC=5,
∴AC=13.
∵E是AC的中点,
∴DE=EC,
∴∠EDC=∠C,
∴sin∠EDC=sin∠C==.
变式练1 解:(1)在Rt△BCD中,
∵cos∠ABC==,
∴=,
∴BC=5,
∴CD===3.
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,如图.
∵EF⊥BD,
∴CD∥EF.
∵E为BC的中点,
∴EF是△BCD的中位线,
∴EF=CD=×3=,DF=BD=×4=2,
∴AF=AD+DF=8+2=10.
在Rt△AEF中,
∴tan∠EAB===.
母题2 解:如图,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,
在Rt△ADB中,∠B=30°,AB=16,
∴AD=AB·sin 30°=8,
BD=AB·cos 30°=8.
∵∠ACB=135°,
∴∠ACD=180°-135°=45°,
∴CD=AD=8,∴BC=BD-CD=8-8.
变式练2 解:如图,过点A作AH⊥BC,垂足为H.
在Rt△ABH中,∠B=45°,AB=3,
∴AH=AB·sin B=3×=3,∴BH=AH=3.
∵AC=5,
∴在Rt△ACH中,CH===4,
∴BC=BH+CH=3+4=7.
母题3 解:(1)延长BA,CD交于点H,如图所示.
∵∠B=∠ADC=90°,∠C=60°,
∴∠ADH=90°,∠H=30°,
∴HA=2AD=4,CH=2BC,
∴DH===2,BH=HA+AB=4+5=9.
∵BH===BC=9,
∴BC=3,
∴CH=2BC=6,
∴CD=CH-HD=6-2=4.
(2)四边形ABCD的面积=△BCH的面积-△ADH的面积=×3×9-×2×2=.
变式练3 解:延长AD,BC相交于点E,如图.
∵∠A=60°,∠B=90°,
∴∠E=30°.
在Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=1,
∴CE=2,
∴DE===,
故S△CDE=CD·DE=×1×=.
在Rt△ABE中,∠ABE=90°,∠E=30°,
∴AE=2AB=2×2=4,
∴ BE ===2,
∴S△ABE=AB·BE=×2×2=2,
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=2-=.
母题4 解:在直角三角形ACO中,sin 75°==≈0.97,
解得OC≈38.8.
在直角三角形BCO中,tan 30°=≈≈,
解得BC≈67.3.
答:该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3 cm.
变式练4 解:设AB=x m,
在Rt△ABC中,
∵tan∠ACB=,
∴tan 52°=,
∴BC≈.
在Rt△ABD中,
∵tan∠ADB=,
∴tan 60°=,
∴BD=.
∵CD=CB-DB,
∴-=200,
解得x≈984,
∴AB的高度约为984米.
母题5 解:设立柱BC的高为x米,
在Rt△BCD中,tan∠BDC=,
∴CD==≈=x(米).
在Rt△ABC中,tan∠BAC=,
∴AC=≈2x(米).
由题意得2x-x=20,
解得x≈14.5.
答:立柱BC的高约为14.5米.
变式练5 解:如图,过点B作BE⊥DH,垂足为E.
由题意得BE=GH,BG=EH=20米,AG=40米.
在Rt△ACH中,∠CAH=60°,CH=60米,
∴AH===20(米),
∴BE=GH=AG+AH=(40+20)米.
在Rt△BED中,∠DBE=45°,
∴DE=BE·tan 45°=(40+20)米,
∴DC=DE+EH-CH=40+20+20-60=20(米),
∴叶片DC的长度为20米.
