27.1 图形的相似
任务一 相似多边形性质的应用
母题1 如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,已知AB=4,求AD的长.
变式练1：如图,在矩形ABCD中,AB=2AD.EF=10,在EF上取一点M,分别以EM和MF为一边作矩形EMNH和矩形MFGN(MF>MN),使矩形MFGN和矩形ABCD相似,令MN=x,当x为何值时,矩形EMNH的面积S有最大值 最大值是多少
任务二 相似多边形的判定
母题2 如图,G是正方形ABCD对角线AC上的一点,作GE⊥AD,GF⊥AB,垂足分别为E,F.求证:四边形AFGE与四边形ABCD相似.
变式练2：如图,四边形ABCD∽四边形EFGH,连接对角线AC,EG.求证:=.
任务三 相似多边形的性质与判定的综合应用
母题3 在AD=30 m,AB=20 m的矩形花坛四周修筑小路.
(1)如图1,如果四周小路的宽均相等,且宽度为x,那么矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗 请说明理由.
(2)如图2,如果互相平行的两条小路的宽相等,且宽度分别为x,y(y>x),试问:当两条小路的宽x与y的比值为多少时,矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似 请说明理由.
图1 图2
【关键点拨】
变式练3：如图,矩形ABCD纸片的边AB长为2 cm,动直线l分别交AD,BC于E,F两点,且EF∥AB.
(1)若直线l是矩形ABCD的对称轴,且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形CBAD相似,试求AD的长.
(2)若使AD=+1 cm,试探究:在AD边上是否存在点E,使剪刀沿着直线l剪开后,所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况 若存在,请求出AE的值,并判断E点在边AD上位置的特殊性;若不存在,试说明理由.
参考答案
母题1 解:由已知得MN=AB,MD=AD=BC.
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似,
∴=.
∵MN=AB,DM=AD,BC=AD,
∴AD2=AB2.
由AB=4,得AD=4.
变式练1 解:∵矩形MFGN和矩形ABCD相似,
∴=.
∵AB=2AD,
∴===2.
又∵MN=x,∴MF=2x.
∵EF=10,∴EM=10-2x.
∴S=x(10-2x)=-2x2+10x=-2x-2+.
∵S是关于x的二次函数,-2<0,x>0,
∴当x=时,S有最大值,最大值为.
母题2 证明:∵GE⊥AD,GF⊥AB,四边形ABCD是正方形,
∴∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°,AC平分∠DAB,
∴四边形EAFG为矩形,GE=GF,
∴四边形EAFG为正方形,
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似.
变式练2 证明:∵四边形ABCD∽四边形EFGH,
∴=,∠D=∠H,
∴△ADC∽△EHG,
∴=.
母题3 解:(1)不相似.理由如下:
若矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似,
则=,
解得x=0.
因为小路的宽不能为0 m,
所以矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.
(2)当小路的宽x与y的比值为时,矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似.理由如下:
当矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似时,
=,解得=.
所以当小路的宽x与y的比值为时,矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似.
变式练3 解:(1)∵矩形EFCD∽矩形CBAD,
∴=.
又∵CD=AB=2,可设AD=2CF=2x,
∴=,
解得x=,
故AD=2.
(2)假设存在矩形EFCD与矩形CBAD相似,
则DC必与AD对应,ED必与DC对应,
有=,
∴DC2=AD·ED.
又∵DC=2 cm,AD=(+1)cm,
∴ED===(-1)cm.
∴AE=AD-(-1)=2(cm).
而AE=2>-1=ED,
依据对称性考虑,必定存在当AE=-1时,使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形.
综上所述,当AE=-1或2时,在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似.
