25.2 用列举法求概率
任务一 用列表法或画树状图法求简单随机事件的概率
母题1 A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.
(1)求两次传球后,球恰好在B手中的概率.
(2)求三次传球后,球恰好在A手中的概率.
变式练1：若标有A,B,C的三只灯笼按如图所示的方式悬挂,每次摘取一只(摘B前需先摘C),直到摘完,则最后一只摘到A的概率是 ( )
A. B. C. D.
任务二 运用概率知识分析游戏的公平性
母题2 小明和小刚一起做游戏,游戏规则如下:将分别标有数字1,2,3,4的4个小球放入一个不透明的袋子中,这些球除数字外都相同.从中随机摸出一个球记下数字后放回,再从中随机摸出一个球记下数字.若两次数字差的绝对值小于2,则小明获胜;否则小刚获胜.这个游戏对两人公平吗 请说明理由.
变式练2：将正面分别写着数字1,2,3的三张卡片(卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同)洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲从中随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为m,然后放回洗匀,背面朝上放在桌面上,再由乙从中随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为n,组成一数对(m,n).
(1)请写出(m,n)所有可能出现的结果.
(2)甲、乙两人玩游戏,规则如下:按上述要求,两人各抽一次卡片,卡片上数字之和为奇数则甲赢,数字之和为偶数则乙赢.你认为这个游戏公平吗 请说明理由.
任务三 用概率解决学科间综合型问题
母题3 有一电路AB是由如图所示的开关控制的,现闭合a,b,c,d四个开关中的任意两个开关.
(1)请用列表或画树状图的方法,列出所有可能的情况.
(2)求出使电路形成通路(即灯泡亮)的概率.
变式练3：在如图所示的电路中,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,求能让灯泡L1发光的概率.
任务四 概率与代数或几何知识的综合应用
母题4 在一个不透明的布袋里装有4个标有1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出1个小球,记下数字为x,小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球,记下数字为y,这样确定了点Q的坐标(x,y).
(1)用画树状图的方法写出点Q所有可能的坐标.
(2)求点Q(x,y)在函数y=-x+5的图象上的概率.
(3)小明和小红约定做一个游戏,其规则如下:若x,y满足xy>6,则小明胜;若x,y满足xy<6,则小红胜.这个游戏公平吗 请说明理由;若不公平,请写出公平的游戏规则.
变式练4：在-2,-1,0,1,2这五个数中任取两个数m,n,则二次函数y=(x-m)2+n的顶点在坐标轴上的概率为 .
参考答案
母题1 解:(1)画树状图得
∵共有4种等可能的结果,两次传球后,球恰好在B手中的情况只有1种,
∴两次传球后,球恰好在B手中的概率为.
(2)画树状图得
∵共有8种等可能的结果,三次传球后,球恰好在A手中的情况有2种,
∴三次传球后,球恰在A手中的概率为=.
变式练1 B 提示:画树状图如下:
∴共有3种等可能的结果,其中最后一只摘到A的情况有1种,
∴最后一只摘到A的概率是.故选B.
母题2 解:这个游戏对两人不公平.理由:列表如下.
1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
所有等可能的情况有16种,其中两次数字差的绝对值小于2的情况有(1,1),(2,1),(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4),共10种,
故小明获胜的概率为=,则小刚获胜的概率为=.
∵≠,∴这个游戏对两人不公平.
变式练2 解:(1)(m,n)所有可能出现的结果:
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).
(2)数字之和为奇数的概率=,数字之和为偶数的概率=,≠,∴这个游戏不公平.
母题3 解:(1)列表如下:
a b c d
a (a,b) (a,c) (a,d)
b (b,a) (b,c) (b,d)
c (c,a) (c,b) (c,d)
d (d,a) (d,b) (d,c)
由表格,知共有12种等可能的结果.
(2)由(1)中表格,知使电路形成通路(即灯泡亮)的结果有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,a),(c,b),(d,a),(d,b),共8种,
所以使电路形成通路(即灯泡亮)的概率是=.
变式练3 解:画树状图如下:
∵共有6种等可能的结果,能让灯泡L1发光的有2种情况,
∴能让灯泡L1发光的概率为=.
母题4 解:(1)画树状图如下:
则点Q所有可能的坐标有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种.
(2)∵共有12种等可能的结果,其中在函数y=-x+5的图象上的有4种,即(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),
∴点Q(x,y)在函数y=-x+5的图象上的概率为=.
(3)这个游戏不公平.理由如下:
∵x,y满足xy>6的有(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),共4种情况,x,y满足xy<6的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1),共6种情况,
∴P(小明胜)==,P(小红胜)==,
∴这个游戏不公平.
公平的游戏规则:若x,y满足xy≥6,则小明胜;若x,y满足xy<6,则小红胜.
变式练4 提示:画树状图如下:
共有20种等可能的结果数,其中二次函数y=(x-m)2+n的顶点(m,n)在坐标轴上的结果数为8,
所以二次函数y=(x-m)2+n的顶点在坐标轴上的概率为=.
故答案为.
