24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
任务一 点和圆的位置关系的有关问题
子任务1 点和圆位置关系的判断
母题1 如图,矩形ABCD的边AB=3,AD=4,若以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则☉A的半径r的取值范围是 ( )
A.3
A.点P在☉O内
B.点P在☉O上
C.点P在☉O外
D.点P在☉O上或☉O外
子任务2 三角形外接圆的应用
母题2 如图,D,E分别是☉O的内接正三角形ABC的AB,AC边上的中点,若☉O的半径为2,则DE的长等于 ( )
A. B.
C.1 D.
变式练2：如图,等边△ABC内接于☉O,D,E分别是AB,AC边上的中点.若DE=2,则☉O的半径为 ( )
A.2
B.4
C.4
D.8
任务二 直线和圆的位置关系的有关问题
子任务1 切线的性质定理的应用
母题3 如图,AB是☉O的直径,☉O过AC的中点D,DE切☉O于点D,交BC于点E.
(1)求证:DE⊥BC.
(2)若☉O的半径为5,BE=2,求DE的长度.
变式练3：如图,☉O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于
点E,AC∥DE,DO及其延长线分别交AC,BC于点G,F.
(1)求证:DF垂直平分AC.
(2)求证:FC=CE.
(3)若弦AD=5 cm,AC=8 cm,求☉O的半径.
子任务2 切线判定定理的应用
母题4 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.试判断DE是否是☉O的切线,并说明理由.
变式练4：如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于
点D.
(1)求证:AC是☉O的切线.
(2)已知∠BAC=120°,BC=12,求☉O的半径.
子任务3 切线的性质与判定的综合应用
母题5 如图,AB,AC分别是半☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作半☉O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC并延长与AB的延长线交于
点F.
(1)求证:PC是半☉O的切线.
(2)若∠CAB=30°,AB=10,求线段BF的长.
变式练5：如图,AB是☉O的直径,点C,D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作☉O的切线,分别交OA的延长线与OC的延长线于点E,F,连接BF.
(1)求证:BF是☉O的切线.
(2)已知☉O的半径为2,求EF的长.
任务三 三角形内切圆的应用
母题6 如图,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与AB,AC分别交于
点D,E.
(1)求证:BD+CE=DE.
(2)若∠BAC=70°,求∠BOC的度数.
变式练6：如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.
(1)若AB=9,BC=14,AC=13,求AD,BE,CF的长.
(2)若BA=BC=13,AC=24,求△ABC的内切圆的半径.
变式练7：如图,点I是△ABC的内心,BI的延长线与△ABC的外接圆☉O交于
点D,与AC交于点E,连接CD,AD,延长CD,BA交于点F,∠ADF的平分线交AF于
点G.
(1)求证:DG∥CA.
(2)若DE=4,BE=5,AD=6,求BI的长.
任务四 圆的动态问题
母题7 如图,半圆O的直径DE=12cm,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,
BC=12cm,半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动.设运动时间为t s,当t=0时,
半圆O在△ABC的左侧,且OC=8 cm.当t为何值时,△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切
变式练8：如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=12 cm,动点P从点B出发,沿BC以3 cm/s的速度运动,运动到点C停止,在整个运动过程中,☉O始终经过A,C,P三点,设运动时间为t s.
(1)当t=6时,求☉O的半径.
(2)求当t为何值时,☉O与AB所在直线相切.
参考答案
母题1 C 提示:如图,连接AC,
∵AB=3,AD=4,
∴AC=5,
∵以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,
∴☉A的半径r的取值范围是3
变式练1 A 提示:∵圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),
∴OP==<5,
∴点P在☉O内.
故选A.
母题2 A 提示:如图,连接BO并延长交☉O于点F,连接CF,
则BF为☉O的直径,
∴∠BCF=90°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°.
∴∠F=∠A=60°,
∵☉O的半径为2,
∴BF=4,
∴BC=2.
∵D,E分别是AB,AC边上的中点,
∴DE=BC=,
故选A.
变式练2 B 提示:如图,连接OB,OC,作OF⊥BC于点F,
则BF=CF=BC.
∵D,E分别AB,AC边的中点,
∴BC=2DE=4,
∴BF=2,
由圆周角定理得,∠BOC=2∠A=120°,
∴∠OBF=30°,
∴OB==4,
故选B.
母题3 解:(1)证明:如图,连接OD.
∵DE切☉O于点D,
∴OD⊥DE,
∴∠ODE=90°.
∵D是AC的中点,O是AB的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥BC,
∴∠DEC=90°,
∴DE⊥BC.
(2)如图,过点B作BF⊥OD于点F.
∵BF⊥OD,
∴∠DFB=90°,
∴∠DFB=∠DEB=∠ODE=90°,
∴四边形DFBE为矩形,
∴DF=BE=2,
∴OF=OD-DF=5-2=3,
∴DE=BF===4.
变式练3 解:(1)证明:∵DE是☉O的切线,且DF过圆心O,
∴DF是☉O的直径所在的直线,∴DF⊥DE.
又∵AC∥DE,∴DF⊥AC,
∴G为AC的中点,即DF平分AC,故DF垂直平分AC.
(2)证明:由(1)可知,AG=GC.
又∵AD∥BC,∴∠DAG=∠FCG.
又∵∠AGD=∠CGF,
∴△AGD≌△CGF(ASA),∴AD=FC.
∵AD∥BC,且AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形,
∴AD=CE,∴FC=CE.
(3)如图,连接AO,∵AG=GC,AC=8 cm,∴AG=4 cm.
在Rt△AGD中,由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9,∴GD=3 cm.
设☉O的半径为r cm,
则AO=r cm,OG=(r-3)cm.
在Rt△AOG中,由勾股定理得AO2=OG2+AG2,
即r2=(r-3)2+42,解得r=,
∴☉O的半径为 cm.
母题4 解:DE是☉O的切线.
理由如下:
如图,连接OD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OD,
∴∠B=∠BDO,∴∠C=∠BDO,
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半径,
∴DE是☉O的切线.
变式练4 解:(1)证明:如图,过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA.
∵AB与☉O相切于点D,
∴AB⊥OD.
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO是∠BAC的平分线,
∴OE=OD,即OE是☉O的半径.
∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE,
∴AC是☉O的切线.
(2)∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,BC=12,
∴AO⊥BC,BO=6.
∵∠BAC=120°,AB,AC为☉O的切线,
∴∠BAO=∠CAO=60°,
∴∠B=30°.
∵BO=6,∠B=30°,OD⊥AB,
∴OD=OB=×6=3,
∴☉O的半径是3.
母题5 解:(1)证明:如图,连接OC.
∵OD⊥AC,OD经过圆心O,
∴AD=CD,
∴PA=PC,
在△OAP和△OCP中,
∴△OAP≌△OCP(SSS),
∴∠OCP=∠OAP.
∵PA是半☉O的切线,
∴∠OAP=90°,
∴∠OCP=90°,
即OC⊥PC,
∴PC是☉O的切线.
(2)如图,∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=30°,
∴∠COF=60°.
∵PC是半☉O的切线,AB=10,
∴OC⊥PF,OC=OB=AB=5,
∴OF===10,
∴BF=OF-OB=5.
变式练5 解:(1)证明:如图,连接OD.
∵四边形AOCD是平行四边形,OA=OC,
∴四边形AOCD是菱形,
∴△OAD和△OCD都是等边三角形,
∴∠AOD=∠COD=60°,
∴∠FOB=60°,
∵EF为☉O的切线,
∴OD⊥EF,
∴∠FDO=90°,
在△FDO和△FBO中,
∴△FDO≌△FBO(SAS),
∴∠ODF=∠OBF=90°,
∴OB⊥BF,
∴BF是☉O的切线.
(2)在Rt△OBF中,
∵∠FOB=60°,tan∠FOB=,
∴BF=2×tan 60°=2.
∵∠AOD=60°,OD⊥EF,∴∠E=30°,
∴EF=2BF=4.
母题6 解:(1)证明:∵☉O是△ABC的内切圆,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠OBC=∠OBD,∠ECO=∠BCO.
∵DE∥BC,
∴∠DBO=∠OBC=∠DOB,∠ECO=∠BCO=∠EOC,
∴BD=DO,EC=EO,
∴BD+CE=DE.
(2)∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
在△OBC中,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-×(180°-70°)=125°.
变式练6 解:(1)设AD=x,BE=y,CF=z.
由切线长定理可得AD=AF=x,BD=BE=y,CE=CF=z,
即x+y=9,y+z=14,x+z=13,
解得x=4,y=5,z=9,即AD=4,BE=5,CF=9.
(2)如图,连接BO,交AC于点M,设△ABC的内切圆的半径为r.
∵BC=BA=13,
∴CM=AM=12,且BM⊥AC,
在Rt△BCM中,根据勾股定理得BM===5.
∵S△ABC=AC·BM=(AB+BC+AC)r,即×24×5=×(13+13+24)r,
∴r=,即△ABC的内切圆的半径为.
变式练7 解:(1)证明:如图,∵点I是△ABC的内心,∴∠2=∠7.
∵DG平分∠ADF,∴∠1=∠ADF.
∵∠ADF+∠ADC=180°,∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ADF=∠ABC,∴∠1=∠2.
∵∠3=∠2,∴∠1=∠3,∴DG∥CA.
(2)如图,∵点I是△ABC的内心,∴∠5=∠6,
∵∠4=∠7+∠5=∠3+∠6,
即∠4=∠DAI,∴AD=DI.
∵AD=6,∴DI=6,∴BI=DE+BE-DI=4+5-6=3.
母题7 解:①如图1,当点E与点C重合时,AC⊥OE,OC=OE=6 cm,此时直线AC与半圆O所在的圆相切,
半圆O运动了2 cm,运动时间t=2÷2=1.
②如图2,当点O运动到与点C重合时,过点O作OF⊥AB于点F.
在Rt△FOB中,∠FBO=30°,OB=12 cm,
则OF=6 cm,即OF等于半圆O的半径,
此时AB与半圆O所在的圆相切.
半圆O运动了8 cm,运动时间t=8÷2=4.
③如图3,当点O运动到与BC的中点重合时,AC⊥OD,OC=OD=6 cm,
此时AC与半圆O所在的圆相切.
半圆O运动了14 cm,运动时间t=14÷2=7.
④如图4,当点O运动到点B的右侧,且OB=12 cm时,过点O作OQ⊥AB于点Q.
在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,则OQ=6 cm,即OQ等于半圆O的半径,此时直线AB与半圆O所在的圆相切.
半圆O运动了32 cm,运动时间t=32÷2=16.
综上所述,当t=1,4,7,16时,△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切.
变式练8 解:(1)如图1,过点A作AD⊥BC交BC于点D.
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴BD=CD,∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.
∵AB=12 cm,
∴BD=18 cm,
∴BC=2BD=36 cm.
当t=6时,BP=6×3=18 cm,此时点P恰好在BC的中点,即与点D重合.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∵☉O经过A,C,P三点,
∴AC是☉O的直径,
∴☉O的半径为=6 cm.
(2)如图2,过点A作AE⊥AB交BC于点E,AD⊥BC于点D.
∵AE⊥AB,
∴∠EAB=90°.
∵∠BAC=120°,
∴∠EAC=30°.
∵∠ACB=30°,
∴AE=CE,
∴当☉O与AB所在直线相切时,点O与点E重合.
在Rt△ADC中,由∠ACB=30°,AC=12 cm,
可得AD=6 cm.
在Rt△ADE中,由∠AED=60°,AD=6 cm,
得AE=12 cm,
∴CP=24 cm,
∴BP=BC-CP=36-24=12(cm),
∴t=12÷3=4(s),
∴当t=4时,☉O与AB所在直线相切.
