22.2 二次函数与一元二次方程
任务一 抛物线与坐标轴的公共点情况的判断和应用
母题1 已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点
【关键点拨】
变式练1：若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是 .
任务二 二次函数与一元二次方程关系的综合应用
母题2 已知抛物线y=x2,直线y=(k+2)x-(2k-1).
(1)求证:无论k为何实数,该抛物线与直线恒有两个交点.
(2)设两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),若x1,x2均为整数,求k的值.
【关键点拨】
变式练2：如图,二次函数y=-2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.
(1)求m的值及点B的坐标.
(2)求△ABC的面积.
(3)若该二次函数图象上有一点D(x,y),使S△ABD=S△ABC,请求出点D的坐标.
任务三 二次函数与一元二次方程、不等式的综合
母题3 如图,抛物线y1=-x2+2x+3与直线y2=4x交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)当x取何值时,y1>y2
(3)利用图象解不等式-x2+2x+3≥0.
【关键点拨】
根据图象确定不等式ax2+bx+c
变式练3：关于x的二次函数y1=kx2+(2k-1)x-2和一次函数y2=x+2.
(1)若k=2,求二次函数图象的顶点坐标.
(2)已知二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离等于3.
①求此时k的值;
②若y1>y2,求x的取值范围.
参考答案
母题1 解:(1)证明:∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0,
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解,
即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),
此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点,
∴把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
变式练1 m<1且m≠0 提示:∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,
∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,且m≠0,
∴Δ=22-4m>0,
∴m<1,
∴m<1且m≠0.
故答案为m<1且m≠0.
母题2 解:(1)证明:当x2=(k+2)x-(2k-1)时,
整理得x2-(k+2)x+(2k-1)=0,
∵b2-4ac=[-(k+2)]2-4(2k-1)=k2-4k+8=(k-2)2+4.
∵(k-2)2≥0,
∴(k-2)2+4>0,
∴无论k为何实数,该抛物线与直线恒有两个交点.
(2)∵x2-(k+2)x+(2k-1)=0,
x1,x2均为整数,
∴x1+x2=k+2,x1·x2=2k-1都是整数,
∴k也为整数,(k-2)2+4也是整数且是完全平方数,
∴(k-2)2+4=4,
∴解得k=2.
变式练2 解:(1)∵函数图象过点A(3,0),
∴-18+12+m=0,
∴m=6,
∴该函数的解析式为y=-2x2+4x+6,
∴当-2x2+4x+6=0时,x1=-1,x2=3,
∴点B的坐标为(-1,0).
(2)点C的坐标为(0,6),S△ABC=AB×OC=×4×6=12.
(3)∵S△ABD=S△ABC=12.
∴S△ABD==12,
∴|y|=6.
①当y=6时,-2x2+4x+6=6,解得x1=0,x2=2,
∴点D的坐标为(0,6)或(2,6).
②当y=-6时,-2x2+4x+6=-6,解得x1=1+,x2=1-,
∴点D的坐标为(1+,-6),(1-,-6).
综上所述,点D的坐标为(0,6),(2,6),(1+,-6),(1-,-6).
母题3 解:(1)由题意可得
解得
所以点A的坐标是(1,4),点B的坐标是(-3,-12).
(2)由题图可知,当-3
(3)∵-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),
由图象可知不等式-x2+2x+3≥0的解集为-1≤x≤3.
变式练3 解:(1)当k=2时,y1=2x2+3x-2=2x+2-,
∴二次函数图象的顶点坐标为-,-.
(2)①令y1=0,即kx2+(2k-1)x-2=0,
解得x=-2或x=,
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(-2,0),,0.
根据题意,得-(-2)=3,
解得k1=1,k2=-.
②当k=1时,y1=x2+x-2,
函数y1=x2+x-2和y2=x+2的图象如图1所示,
令y1=y2,即x2+x-2=x+2,
解得x=2或x=-2.
由图象知,当x<-2或x>2时,y1>y2,
当k2=-时,y1=-x2-x-2.
函数y1=-x2-x-2和y2=x+2的图象如图2所示.
令y1=y2,即-x2-x-2=x+2,
解得x=-10或x=-2.
由图象知,当-10
