21.1 一元二次方程
任务一 一元二次方程概念的应用
母题1 关于x的方程(m-1)+2mx-3=0是一元二次方程,则m的值是 ( )
A.任意实数 B.1
C.-1 D.±1
【关键点拨】
变式练1：已知关于x的方程(a-3)x│a-1│+6x-1=0是一元二次方程,则a的值是 .
任务二 一元二次方程根的应用
子任务1 已知一元二次方程的一个根,求字母的值
母题2 若关于x的方程 x2-kx-12=0的一个根为3,则k的值为 .
变式练2：关于x的一元二次方程(k+2)x2+6x+k2-4=0有一个根是0,则k的值是 .
变式练3：已知关于x的一元二次方程x2x-6=0,其中一次项系数被污染了,若这个方程的一个根为-2,则一次项系数为 .
子任务2 求与一元二次方程的根相关的代数式的值
母题3 已知a是一元二次方程x2-2025x+1=0的一个根,试求a2-2024a+的值.
【关键点拨】
变式练4：已知m是方程x2-x-3=0的一个根,则m2-m+2024的值为 .
变式练5：若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1,则代数式2025-a-b的值为 .
任务三 根据实际问题列一元二次方程
母题4 根据问题列方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.一根1 m长的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.06 m2的矩形 (列出方程即可,不必解答)
变式练6：《九章算术》中记载:今有户不知高、广,竿不知长、短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出.问户高、广、邪各几何 这段话翻译后是今有门,不知其高、宽,有竿,不知其长、短.横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少 若设门对角线长为x尺,则可列方程: .
母题5 如图,在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分铺上草坪,且使草坪面积为300平方米.若设道路的宽为x米,则根据题意可列出方程: .
【关键点拨】
点拨一 将道路平移到大矩形的两边,构造出一个矩形,则草坪的面积等于该矩形的面积.
点拨二 草坪的面积=大矩形的面积-两条道路所占面积+两条道路重合部分的面积.
变式练7：如图,某中学有一块长为30 m、宽为20 m的矩形空地,且计划在这块空地的一半区域种花,小亮同学设计了一个宽度相同的倒“U”形区域,求花带的宽度.设花带的宽度为x m,依题意可列方程: .
参考答案
母题1 C
变式练1 -1
母题2 -1 提示:把x=3代入方程x2-kx-12=0,得9-3k-12=0,解得k=-1.
变式练2 2
变式练3 -1 提示:设一次项系数为b,则方程为x2+bx-6=0,把x=-2代入方程,得4-2b-6=0,解得b=-1,∴一次项系数为-1.
母题3 解:∵a是x2-2025x+1=0的一个根,
∴a2-2025a+1=0,
∴a2+1=2025a,a2=2025a-1,
∴a2-2024a+
=2025a-1-2024a+
=a-1+
=
=
=2024.
变式练4 2027
变式练5 2026 提示:把x=1代入方程ax2+bx+1=0得a+b+1=0,∴a+b=-1,∴2025-a-b=2025-(a+b)=2025+1=2026.
母题4 解:设宽为x m,依题意,得x(0.5-x)=0.06,
化为一元二次方程的一般形式,得x2-0.5x+0.06=0.
变式练6 x2=(x-4)2+(x-2)2
母题5 (22-x)(17-x)=300(或x2-39x+74=0)
变式练7 (30-2x)(20-x)=30×20×
