2024-2025学年度上学期九年级数学
阶段性测试（一）
（考试时间：120分钟，满分120分）
题号 一 二 三 总分
评分
一、选择题（每题3分，共36分）
1.下列方程中，是关于的一元二次方程的为（ ）.
A. B. C. D.
2.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A. B. C. D.
3.对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A.对称轴是直线，最大值是2； B.对称轴是直线，最小值是2；
C.对称轴是直线，最小值是2； D.对称轴是直线，最大值是2；
4.二次函数是由二次函数怎样平移得到的（ ）
A.向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度
B.向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度
C.向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度
D.向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度
5.根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
x 2.23 2.24 2.25 2.26
-0.06 -0.02 -0.03 0.09
A. B. C. D.
6.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A.5m B.70m C.5m或70m D.10m
7.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.若一元二次方程有解，则（ ）
A.-2 B.4 C.4或-2 D.4或3
9.已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A.2023 B.2025 C.2027 D.2028
10.在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
11.若将二次函数的图象绕着点旋转，得到新的二次函数，那么的值为（ ）
A.-15 B.15 C.17 D.-17
12.如图，正方形ABCD的边长为4，P，Q分别是，的中点，动点从点向点运动，到点停止运动；同时，动点从点出发，沿方向运动，点，运动的速度相同.设点的运动路程为，的面积为，能大致刻画与之间的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题4分，共16分）
13.已知是关于的方程的两实数根，且则的值是________.
14.已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是________.
15.已知抛物线与轴分别交于点和，则不等式的解集为________.
16.二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，则.其中正确的有______.
三、解答题（60分）
17.用指定方法解一元二次方程：（10分）
（1）（配方法） （2）（公式法）
18.（8分）已知关于的一元二次方程有实数根，如果，是方程的两个实数根，且满足，求的值.
19.（12分）小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 12 46
E 26 38
数据整理
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在表中：
售价（元/盆） _____ _____ _____ _____ _____
日销售量（盆） _____ _____ _____ _____ _____
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
拓广应用（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润
20.（12分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线最高点D到墙面的水平距离为6m时，隧道最高点距离地面10m.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4m，高为6m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过 说明理由。
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米
21.（12分）定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例如，，都是“纵三倍点”.
（1）有下列函数：①；②；③.其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号）.
（2）已知抛物线（m，n均为常数) 与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数解析式.
（3）若抛物线（a，b是常数，）上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22.（14分）如图，抛物线与轴交于，两点，直线与轴交于点，与轴交于点.点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的长最大时的值.
（3）是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在 若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
