郑州外国语学校2024-2025学年高二上期月考1试卷
数 学
（120分钟 150分）
选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．3 B．1 C．5 D．7
4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线l的一个法向量为，则直线l的点法式方程为；，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
5．台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（ ）
A．1h B． C．2h D．
6．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8．在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对得6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分。）
9．以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为
B．直线的倾斜角的范围是
C．已知，，则边的中垂线所在的直线的方程为
D．直线关于对称的直线方程为
10．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数（且）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆上有且只有一个点满足，则的取值可以是（ ）
A．1 B．4 C．3 D．5
11．已知正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的动点.若直线与平面所成角为，则下列说法正确的是（ ）
A．任意点E，F，二面角的大小为
B．任意点E，F，点C到面的距离为
C．存在点E，F，使得直线与所成角为
D．存在点E，F，使得线段长度为
填空题（本大题共 3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知点到直线和直线的距离相等，则 ．
13. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，上的动点. 若异面直线和互相垂直，则_______.
14. 已知实数x1, x2, y1, y2满足，，，则的最大值为 ．
解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）
已知△ABC的顶点A（0，4），B（2，0），C（﹣5，m），线段AB的中点为D，
且CD⊥AB．
（1）求m的值；
（2）求BC边上的中线所在直线的方程．
16．（本小题满分15分）
如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝AD＝2，，BC＝4．
（1）证明：A1B1⊥AD1；
（2）若AA1＝2，求点B到平面B1CD1的距离．
17．（本小题满分15分）
已知圆O：x2+y2＝1，直线l：x+（m﹣3）y﹣m＝0（m∈R）．
（1）若直线l与圆O相切，求m的值；
（2）当m＝4时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长（点到切点的距离）最短时，求弦AB所在直线的方程．
18．（本小题满分17分）
在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求平面PGC与平面BPC夹角的余弦值；
（3）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．
19. （本小题满分17分）
一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.
（1）已知为直角边为1的等腰直角三角形，其中，求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；
（2）已知正方体的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径；
（3）已知正方体的棱长为2，求正方形内切圆和正方形内切圆构成的几何系统的区径.郑州外国语学校2024-2025学年高二上期月考1
数学参考答案
选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。）
1-8：ACBC CDDD
多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。）
9. BCD 10. AD 11. ABD
填空题（本大题共 3小题，每小题5分，共15分。）
12. 或 13. 1 14.
解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）
解：（1）因为A（0，4），B（2，0），所以D的坐标为（1，2），
因为CD⊥AB，所以，
解得m＝﹣1． ……………………………………6分
（2）设线段BC的中点为E，由（1）知C（﹣5，﹣1），则，
所以，
所以直线AE的方程为y﹣4＝3（x﹣0），化简得3x﹣y+4＝0，
即BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y+4＝0．……………………………13分
16．（本小题满分15分）
【解答】（1）证明：因为AB＝AD＝2，，
所以AB2+AD2＝8＝BD2，
所以AB⊥AD，
因为ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱往，
所以A1A⊥AB，
因为A1A∩AD＝A，A1A，AD 面ADD1A1，
所以AB⊥面ADD1A1，
因为A1B1∥AB，
所以A1B1⊥面ADD1A1，
因为AD1 面ADD1A1，
所以A1B1⊥AD1． ……………………………………7分
（2）解：由（1）及题意知，AB，AD，A1A两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝AD＝2，，BC＝4，A1A＝2．
所以A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），D（0，2，0），
所以，，， ………9分
设平面B1CD1的一个法向量为，
则，即，
令y＝1，解得x＝1，z＝2，
∴， ……………………………………12分
所以点B到平面B1CD1的距离为． …………………15分
17．（本小题满分15分）
【解答】解：（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切，
所以，解得；……………………………………4分
（2）当m＝4 时，直线l：x+y﹣4＝0，连接OA，OB，则OA⊥AP，OB⊥BP，
所以O，A，P，B四点共圆，切线长，
故|AP|最短当且仅当|OP|最短，即OP⊥l时最短， ……………………………8分
因为，所以|AP|，此时kOP＝1，
所以lOP：y＝x，
联立，得P（2，2）， ……………………………………11分
故以OP为直径的圆的方程为 x（x﹣2）+y（y﹣2）＝0，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0，
因为弦AB即圆O与上述圆的公共弦，将两圆方程相减可得2x+2y﹣1＝0，
所以弦AB所在直线方程为2x+2y﹣1＝0． ……………………………………15分
18．（本小题满分17分）
【解答】（1）证明：取中点，连接.
中，，且，
又，且，
所以，且，
即四边形为平行四边形，
所以，
又， 面，
所以DE∥平面PBC. ……………………………………4分
（2）因为PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
由题意CD＝ADAB＝1，而∠PAD＝45°，又∠PDA＝90°，于是PD＝DA＝1，
故D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
所以，
设平面PBC的法向量为，则，即，
令y＝1，则x＝﹣1，z＝1，∴，
设点G坐标为（1，t，0），则，，
由CG⊥BD得，∴，
设平面GPC的法向量为，，
由得，令a＝1，则，
则，
所以平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为． ………………………………10分
（3），设，λ∈[0，1]，，
∴，∴，
∵GH与平面PGC所成角的正弦值为，∴，
整理得：20λ2+8λ﹣1＝0，解得：，（舍），
∴存在满足条件的点H，，且．
…………………………17分
19. （本小题满分17分）
解：（1）如图，若几何系统中的两点分别在两圆上，不妨设其中一点在上.
若另一点在上，则，当共线时取到等号；
若另一点在上，则，当共线时取到等号；
若两点在同一圆上，则最大距离为直径，即.
综上，该几何系统的区径为. ……………………………………4分
（2）记棱切球的球心为O，即为正方体的中心，容易求得棱切球的半径为．
因为为正三角形，记它的外接圆圆心为，易知其半径为.
又，则球心到的外接圆上任意一点的距离均为，圆与球的位置关系如图：
若两点分别在球上和圆上，设点在球上，点在上，则有，. 所以，当M,O,N三点共线，且M,N在的异侧时取到等号.
若两点同时在球上或圆上，则最大距离为的直径，即.
综上，该几何系统的区径为. ……………………………………10分
（3）如图以为原点建立空间直角坐标系，
在平面上，的方程为；
在平面上，的方程为.
若两点分别在两圆上，设点在上，点在上，且
则
即，等号成立当且仅当.
若两点在同一个圆上，则最大距离为的直径，即2.
综上，该几何系统的区径为. ……………………………………17分
