2.3.2 两点间的距离公式（同步练习）
一、选择题
1.已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
2.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是( )
A.x2－y2＝1 B.x2＋y2＝0
C.＝1 D.＝0
3.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于( )
A.4 B.4
C.2 D.2
4.若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则等于( )
A. B.
C.3 D.2
5.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A.2 B.3
C. D.
6.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不是
7.(多选)对于，下列说法正确的是( )
A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离
C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
8.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A.(－4,5) B.(－3,4)
C.(－1,2) D.(0,1)
二、填空题
9.已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________
10.已知点A(4,12)，P在x轴上，若|PA|＝13，则点P的坐标为________
11.直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是________
12.点P在直线l：x－y＋4＝0上，且到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________；经过点P且垂直于l的直线方程为________
三、解答题
13.求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
14.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴，y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．
15.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．
参考答案及解析：
一、选择题
1.A 解析：由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|可得，＝，解得a＝－2.
2.C 解析：由两点间的距离公式得＝1.
3.B 解析:∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝＝4.
4.D 解析：|AC|＝4，|CB|＝2，故＝2.
5.C 解析：由中点坐标公式可得，BC边的中点D.
由两点间的距离公式得|AD|＝＝.
6.C 解析:|AB|＝＝＝＝2，
|BC|＝＝＝＝4，|AC|＝＝＝2，
∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．
7.BCD 解析：＝＝＝，
可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，
可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确．
8.BC 解析:设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝，
两式联立解得或
二、填空题
9.答案：1或－5
解析：由两点间距离公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a＋2)2＝32，
所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.
10.答案：(9,0)或(－1,0)
解析：设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝13，得＝13，解得x＝9或－1．所以点P的坐标为(9,0)或(－1,0)．
11.答案：2
解析：因为l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q，
所以|OQ|＝＝＝，
当m＝0时， |OQ|max＝2，所以|OQ|的最大值是2.
12.答案：，x＋y－1＝0
解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即＝，解得a＝－，故P点的坐标是．所以经过点P且垂直于l的直线方程为y－＝－，即x＋y－1＝0．
三、解答题
13.证明：如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．
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设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.
又由中点坐标公式，得D，E，
∴|DE|＝＝，∴|DE|＝|AB|，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
14.解：由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，
令x＝0，有y＝，则B，故AB的中点为，
∵线段AB的中点到原点的距离为，
∴eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－0))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－0)))＝，解得a＝±2．
15.解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
解方程组得即B.
由|AB|＝ ＝5，解得k＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意．
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
