6.1.3共面向量定理（同步测试）-高中数学苏教版（2019）选择性必修2
一、选择题
1．已知点P为所在平面内一点,O为平面ABC外一点,若,则的值为( )
A.1 B. C.2 D.
2．如果向量，，共面，则实数m的值是( )
A. B.1 C. D.5
3．若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
4．，，若，，三向量共面，则实数( )
A.3 B.2 C.15 D.5
5．下列条件中，一定使空间四点P、A、B、C共面的是( )
A. B.
C. D.
6．已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则( )
A.2 B. C.1 D.
二、多项选择题
7．若是空间的一组基底，则下列向量不共面的是( )
A.，，b B.，，a
C.，， D.，，
8．若是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间的一个基底的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
三、填空题
9．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则________.
10．已知，，.若、、三向量共面，则实数______.
11．在空间直角坐标系中,已知点,,,,若A,B,C,D四点共面,则__________.
四、解答题
12．对任意空间四边形，已知E，F分别是，的中点.证明：
（1）与，共面；
（2）与不共线.
13．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E，F分别为，的中点.求证：
（1）平面
（2）平面.（用向量方法证明）
参考答案
1．答案：B
解析：因为,且A,B,C,P四点共面,
所以,所以.
2．答案：B
解析：由于向量，，共面，
设，可得，解得.
故选：B.
3．答案：B
解析：,,.故选B.
4．答案：D
解析：，，与不共线，
又、、三向量共面，则存在实数m，n使
即，解得，，.
故选：D.
5．答案：D
解析：对于A选项，，，所以点P与A、B、C三点不共面；
对于B选项，，，所以点P与A、B、C三点不共面；
对于C选项，，，所以点P与A、B、C三点不共面；
对于D选项，，,所以点P与A、B、C三点共面.
故选：D.
6．答案：D
解析：
，
由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得，解之得，
故选：D.
7．答案：BC
解析：对于A选项，，所以，，b共面，A不符合题意；
对于B选项，假设，，a共面，
则存在，使得，
因为是空间的一组基底，所以无实数解，
假设不成立，故，，a不共面，B符合题意；
对于C选项，假设，，共面，
则存在，使得，
所以，则a，b，c共面，与题设矛盾，
故，，不共面，C符合题意；
选项D，因为，则与共线，则，，共面，D不符合题意.故选BC.
8．答案：AB
解析：因为,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A正确;
,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确;
因为,所以,,是共面向量,
不能构成空间的一个基底,故C错误;
因为,所以,,是共面向量,
不能构成空间的一个基底,故D错误.
故选:AB.
9．答案：
解析：已知且M，A，B，C四点共面，
则，解得.
10．答案：
解析：因为,不平行，且、、三向量共面，
所以存在实数x，y，使，
所以，解得，
故答案为：
11．答案：1
解析： ,,,,
,,,
又A,B,C,D四点共面,
由平面向量基本定理可知存在实数,,使成立,
,
,解得,
故答案为：1.
12．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：如图，在空间四边形中，E，F分别是，的中点，
则，①
.②
①+②得，，
所以，
由共面向量定理，得与，共面.
（2）假设与共线，则存在实数，使得，即，
所以，
整理，得，
所以，，共面，这与空间四边形中，，不共面相矛盾，故假设不成立，结论得证.
13．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：连接，因为E，F分别为，的中点，
所以，
所以向量，，共面，又平面，，平面，，所以平面.
（2）底面，侧面底面，底面是正方形，所以平面，所以.
设，则，即，
所以，
所以，，
所以，，又，平面，，
所以平面.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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