北京交大附中 2025 届初三年级数学练习 2024.10
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一、选择题（共 16 分，每题 2分）
第 1—8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，这四个标志中是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2. 抛物线 y (x 2)2 1的顶点坐标是( )
A． ( 2， 1) B． ( 2，1) C． (2， 1) D． (2，1)
3. 抛物线 y 2x2向右平移 1个单位，再向上平移 5个单位，则平移后的抛物线的解析式为( )
A． y 2 x 1 2 5 B． y 2 x 1 2 5
C． y 2 x 1 2 5 2D． y 2 x 1 5
4. 如图，将△ABC绕着点 C顺时针旋转 50°后得到△A1B1C．若∠A=40°，∠B1=110°，则∠BCA1
的度数是( )
A. 90° B. 80° C. 50° D. 30°
5．在平面直角坐标系中，把点 P(﹣3, 2)绕原点 O顺时针旋转 180°，所得到的对应点 P′的坐标为( )
A．（3，-2） B．（2，-3） C．（-3，-2） D．（3，2）
6．用配方法解方程 2 4 = 5 时，原方程应变形为( )
A. + 2 2 = 1 B. 2 2 = 1 C. + 2 2 = 9 D. 2 2 = 9
1 2
7． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x 经过平移得到抛物线
2
y 1 x2 2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( )
2
A．2 B. 4 C. 8 D. 16
8. 如图，动点 P在线段 AB上（不与点 A，B重合），分别以 AB，AP，BP为直径作半圆，记图中所示的阴
影部分面积为 y，线段 AP的长为 x．当点 P从点 A移动到点 B时，y随 x的变化而变化，则表示 y与 x
之间关系的图象大致是( )
A． B． C． D．
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二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9．请写出一个开口向上且顶点坐标为（0，1）的抛物线的解析式
10．二次函数 y x 2 bx a的图像的顶点在 x轴上，写出一组满足条件的实数 a、b的
数值 a ， b .
11．点 A ( 3， y1 )，B ( 2， y2 )在抛物线 y x
2 5x上，则 y1 y2．（填“>”，“<”或“=”）.
12．二次函数 y ax2 bx c(a 0)的部分图象如图所示，对称轴为直线 x 1，与 x轴的一个
交点为（1，0），与 y轴的交点为（0，3）， 2则方程 ax bx c 0(a 0)的解为 .
2 2
13. 关于 x 的一元二次方程 (m 1)x 2x m 1 0的一个根是 0，则 m的值是 .
14．如图已知二次函数 y ax21 bx c (a 0) 与一次函数 y2 kx m (k 0)
的图象相交于点 A ( 2,4)、B (8, 2) , 则能使 y1 > y2 成立的 x的取值范围是___________.
15. 某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出 300件．市场调查反映，如果调整
商品售价，每降价 1元，每星期可多卖出 20件．设每件商品降价 x元后，每星期售出商品的总销售额 y元，
则 y与 x的关系式为___________________.
2
16.二次函数 y ax bx c(a 0)中的 x与 y的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：① ac＜0； ② 抛物线顶点坐标为（1，5）；
③ 3 2是方程 ax (b 1)x c 0的一个根；
④ 当﹣1＜x＜3时， ax2 (b 1)x c 0 ．其中正确的命题是____________________.（写序号）
三、解答题（共 68分，第 17、18、19题每题 4分，第 20-26题、每题 6分，第 27-28题每题
7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算： 3 0 2 2 8 1 3 18. 解方程： x2 4x 3；
19．已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点 A，
B，C分别对应点 A1，B1，C1．
（1）根据点 A1和 B1的位置确定旋转中心是点 ．
（2）请在图中画出△A1B1C1．
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20. 如图，D是等边三角形 ABC内一点，将线段 AD绕点 A顺时针旋转 60°，
得到线段 AE，连接 CD，BE．
（1）求证：△AEB ≌ △ADC；
（2）连接 DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
2
21. 已知关于 x的一元二次方程 (m 1)x 2x 2 0有两个不相等的实数根．
（1）求 m的取值范围；
（2）当 m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
2
22. 已知二次函数 y ax bx c(a 0)中，函数 y与自变量 x的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 2 …
y … -3 -4 -3 5 …
（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；
（2）求出该函数图象与 x轴的交点坐标, 并画出此二次函数的图象.
（3）结合图象，当 y 0时， x的取值范围是 ．
（4）结合图象，当-2≤x≤1时，y的取值范围是 .
23.如图，在△ ABC 中，D是 AB上一点，AD DC，DE 平分 ADC 交 AC于点 E，DF 平分 BDC交
BC于点 F，∠DFC=90°.
（1）求证：四边形CEDF 是矩形；
（2）若 B 30 ， AD 2，连接 BE，求 BE的长．
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24. 2021年 12月，北京市发布《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》，跳绳成为新增的体育中考
选考项目.某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了 20名学生 1分
钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a. 学生 1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成 10 组:90≤x＜100，100≤x＜110，…，170≤x≤180）：
b. 男生 1分钟跳绳次数在 140≤ x＜150 这一组的是：
140，141，142，143，144，145，145，147
c. 学生 1分钟跳绳次数的平均数、中位数如下表：
平均数 中位数 优秀率
男生 139 m 65%
女生 135 138 n
注：《国家中学生体质健康标准》规定：八年级男生 1分钟跳绳次数大于或等于 135个，成绩为优秀；
八年级女生 1分钟跳绳次数大于或等于 130个，成绩为优秀.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）将女生 1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整；
（2）写出表中 m，n的值；
（3）此次测试中，某学生的 1分钟跳绳次数为 140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该
生属于 （填“男生”或“女生”）组；
（4）如果全年级男生人数为 100人，女生人数为 120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数.
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25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线
的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度 y（单位：m）
与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离 x与竖直高度 y的几组数据如下：
水平距离 x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
竖直高度 y/m 2 2.72 3.28 3.68 3.92 4 3.92 3.68 …
请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标 ，并求出满足的函数解析式．
（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：
y＝﹣ （x﹣2.4）2+4.5，请回答下列问题：
①小明同学第一次投篮的出手点高度为 m；
②已知篮筐中心位置在水平距离 4.2m，竖直高度 3m处．当篮球的竖直高度为 3m时对应的水平距离与
篮筐中心位置的水平距离相差 0.1m以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关
系式：y＝﹣ （x﹣2.1）2+4，已知两次投篮只有一次投中，则 投中（填写“第一次”或“第
二次”）．
26．已知抛物线 y x2 2ax b经过点（1，1）.
（1）用含 a的式子表示 b及抛物线的顶点坐标；
（2）若对于任意 a 1≤x≤ a 2，都有 y≤1，求 a的取值范围.
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27．如图，ΔABC中，AC=BC，∠ACB= 90°，CD⊥AB于点 D，点 P在 AC延长线上，连接 DP，点 B与点
E关于直线 DP对称，连接 AE.
(1) 依题意补全图形；
(2) 求证：AE //DP；
(3) 当 AE=CP时，连接 CE，PE，用等式表示线段 AE，CE，PE之间的数量关系，并证明.
备用图
28．在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P与图形 W给出如下定义：如果存在以点 P为端点的一条射线与
图形 W有且只有 2个公共点，那么称点 P是图形 W的“相关点”．
已知点 A（m，2），B（m﹣2，0），C（m+2，0）．
（1）当 m＝0时，
①在点 P1（﹣1，0），P2（1，1），P3（4，0），P4（3，﹣1）中，是折线 BA﹣AC的“相关点”的是 ；
②点 M是直线 y＝2x+4上一点，如果点 M是折线 BA﹣AC的“相关点”，直接写出点 M的横坐标 xM的取
值范围；
（2）正方形 DEFG的各边都平行于坐标轴，对角线的交点 N的坐标是（2m﹣4，0），如果正方形的边长
是 2，正方形 DEFG上的任意一点都是折线 BA﹣AC的“相关点”，请直接写出 m的取值范围．
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