2024～2025学年度第一学期第一次单元练习
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．在中，若最长的弦长为，则的半径是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知抛物线与的形状相同，则a的值是（ ）．
A．4 B． C． D．1
4．如图，CD是的直径，弦于点E，下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．用一根长的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为（ ）．
A． B． C． D．
6．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺＝10寸）．这根圆柱形木材的直径是（ ）．
A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸
7．在同一坐标系中，直线与抛物线的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，，以点C为圆心，BC为半径的圆与AB相交于点D，则AD的长为（ ）．
A．2 B． C．3 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点，若线段BC的长为6，则点A的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
10．已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而增大，且当时，y的最大值为9，则a的值为（ ）．
A．1或 B．或 C． D．1
二、填空题（本大题共8小题，第11、12题每题3分，13～18题每题4分，共30分．）
11．若是二次函数，则a的取值范围是__________．
12．如图，MN为的弦，，则的度数为__________．
13．把二次函数化为的形式，则__________．
14．抛物线与x轴交于、两点，则__________．
15．二次函数的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，x的取值范围是__________．
16．如图，P为直径AB上的一点，点M和N在上，且．若，，则__________．
17．如图为二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则．
其中说法正确的是__________．（填序号）
18．如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则线段的最小值是__________．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
19．（本小题8分）
如图，BD=OD，，求的度数．
20．（本小题10分）
已知一个二次函数的图象过，，三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式．
21．（本小题10分）
已知抛物线．
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求的面积．
22．（本小题10分）
如图，AB，AC为的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，．求证：．
23．（本小题12分）
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24．（本小题12分）
已知的半径为，AB，CD是的两条弦，，，，求弦AB和弦CD之间的距离．
25．（本小题14分）
某河上有一座抛物线形拱桥，A、B为抛物线与水面的交点，现水面AB离拱顶，水面宽．
（1）以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数解析式；
（2）受台风降雨影响，预计水面上升至离拱顶处，问：水面宽度缩小了多少
（3）一艘宽、高的木船，载货后露出水面的部分为，当水面上升至离拱顶时，木船能否通过这座拱桥？
26．（本小题14分）
已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）若，试比较与的大小；
（3）若B，C两点在直线的两侧，且，求n的取值范围．
