北师大实验中学 2024-2025 学年第一学期 10 月月考
高二数学
2024 年 10 月
本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答
无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
(选择题，共 40 分)
10 4 40
1. 在长方体 1 1 1 1 中，化简 + + 1 =
(A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1
2. 若向量 = (1, 1, 0), = ( 1, 0, 2), 则 | + | =
√ √
(A) 5 (B) 4 (C) 17 (D) 5
3. 已知经过 (0, 2), (1, 0) 两点的直线的一个方向向量为 (1, ), 那么 =
(A) 2 (B) 1 (C) 12 (D) 2
4. 已知 为平面 的一个法向量， 为一条直线， 为直线 的方向向量，则“ ”是“ ”
的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
5. 如图所示，直线 1, 2, 3 的斜率分别为 1, 2, 3 ，则下列结论正确的
是
(A) 1 > 2 > 3 (B) 3 > 1 > 2
(C) 2 > 1 > 3 (D) 2 < 3 < 1
6. 如图，在四面体 中， = , = , = , 为 的
中点， 为 的中点，则 可用向量 , , 表示为
(A) 12 +
1 + 1 (B) 1 + 12 2 4 4 +
1
2
(C) 14 +
1
2 +
1
4 (D)
1
2 +
1 + 14 4
数学试题第 1 页（共 9 页）
7. 如图，在直三棱柱 1 1 1 中， = = 1 且 ，
则 1 与 1 所成的角为
(A) π (B) π (C) π (D) π6 4 3 2
8. 已知 (1, 2), ( 2, 0), 过点 ( 1, 4) 的直线 与线段 没有公共点，则直线 斜率 的取
值范围是
(A) > 1 或 < 4 (B) 4 < < 1 (C) 1 < < 4 (D) > 4 或 < 1
9. 如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1 中， 为线段 上
的点，且 = 3, 点 在线段 1 上，则点 到直线 距离的
最小值为 √ √
(A) 3 (B) 2 35 2 (C) 2 (D) 1
10. 如图，在棱长为 的正方体 1 1 1 1 中， 为 1 1 的
中点， 为 1 1 上任意一点， , 为 上任意两点，且 的长
为定值，则下面的四个值中不为定值的是
(A) 点 到平面 的距离
(B) 直线 与平面 所成的角
(C) 三棱锥 的体积
(D) 二面角 的大小
(非选择题，共 110 分)
5 5 25
11. 若 = (0, 1) 是直线 的一个方向向量，则直线 的倾斜角大小为 .
12. 已知点 (0, 3), (1, 2), (3, ) 三点共线，则实数 的值为 .
13. 正三棱柱 ′ ′ ′ 中， = 1, ′ = 2, 则直线 ′ 与平面 ′ ′ 所成角的正弦
值为 .
14. 如图，四面体 的每条棱长都等于 2, , 分别是 , 上的
动点，则 的最小值是 , 此时 = .
数学试题第 2 页（共 9 页）
15. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱
组合而成， , = = = 4 , 为 上的动
点, 给出下列四个结论：
① 为 的中点时，平面 平面 ；
② 存在点 , 使得 平面 ；
③ 有且仅有一个点 ，使得三棱锥 体积是 12；
④ 不存在点 , 使得直线 与平面 所成的角为 60 .
其中所有正确结论的序号是 .
6 85
16.（13 分）
已知坐标平面内三点 ( 2, 4), (2, 0), ( 1, 1).
（I） 求直线 的斜率和倾斜角；
（II） 若 , , , 可以构成平行四边形，且点 在第一象限，求点 的坐标.
17.（14 分）
已知向量 = (1, 3, 2), = ( 2, 1, 4), = (5, 1, ).
（I） 若 , 求实数 的值；
（II） 求 cos , ;
（III） 若 , , 不能构成空间向量的一个基底，求实数 的值.
18.（13 分）
如图所示， 平面 , 底面 边长为 1 的正方形， =
2, 是 上一点，且 = 1 5
.
（I） 建立适当的坐标系并求点 坐标；
（II） 求证： .
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19.（15 分） √
图 1 是√边长为 2 的正方形 , 将 △ 沿 折起得到如图 2 所示的三棱锥 ,
且 = 2.
（I） 证明：平面 平面 ;
√
（II 5 3） 棱 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 9 , 若存在，
指出点 的位置；若不存在，请说明理由.
20.（15 分）
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形，
为棱 的中点.
（I） 求证： 平面 ;
（II） 若 , 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两
个作为已知，使四棱锥 唯一确定，并求：
(i) 直线 与平面 所成角的正弦值；
(ii) 点 到平面 的距离.
条件①： 二面角 的大小为 45 ;
√
条件②： = 2;
条件③： .
21.（15 分）
在空间直角坐标系 中，已知向量 = ( , , ), 点 0 ( 0, 0, 0) , 若直线 以 为方向
向量且经过点 , 则直线 的标准式方程可表示为 0 = 0 = 00 ( ≠ 0); 若平面
以 为法向量且经过点 0, 则平面 的点法式方程表示为 ( 0) + ( 0) + ( 0) = 0.
1 2 √
（I） 已知直线 的标准式方程为 1 = √ = 2 , 平面 1 的点法式方程可表示为 3 + 3
+ 5 = 0, 求直线 与平面 1 所成角的正弦值；
（II） 已知平面 2 的点法式方程可表示为 2 + 3 + 2 = 0, 平面外一点 (1, 2, 1), 求点 到平
面 2 的距离；
（III） (i) 若集合 = {( , , ) ∣ | | + | | 2, | | 1}, 记集合 中所有点构成的几何体为 , 求
几何体 的体积；
(ii) 若集合 = {( , , ) ∣ | | + | | 2, | | + | | 2, | | + | | 2}, 记集合 中所有点构成的
几何体为 , 求几何体 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.
数学试题第 4 页（共 9 页）
10 4 40
1. D 2. A 3. A 4. B 5. C
6. D 7. C 8. C 9. A 10. B
5 5 25 √
11. π 12. 0 13. 15
√2 10
14. 2, 2 15. ①②④
注：14 题第一空 3 分，第二空 2 分；15 题选对 1 个给 3 分，选对两个给 4 分，有错误不给分.
6 85
16. 解：(I) 直线 = 4 0的斜率 2 2 = 1, 4 分
π
倾斜角为 4 . 6 分
(II) 不妨设坐标原点为 ，
当构成 时，则 = + = ( 5, 0),
即 ( 5, 0), 不在第一象限，舍； 8 分
当构成 时，则 = + = (1, 5),
即 (1, 5), 不在第一象限，舍； 10 分
当构成 时，则 = + = (3, 5),
即 (3, 5), 在第一象限, 12 分
综上，点 的坐标为 (3, 5). 13 分
17. 解：(I) 由 得 = 1 × 5 + 3 × 1 + 2 = 0, 3 分
解得 = 4. 4 分
√
(II) 因为 | | = 12 + 32 + 22
√ √
= 14, | | = √( 2)2 + 12 + 42 = 21,
= 1 × ( 2) + 3 × 1 + 2 × 4 = 9, 7 分
√
所以，cos , = 3 6| || | = 14 . 9 分
(III) 若 , , 不能构成空间向量的一个基底，则向量 , , 共面， 10 分
则存在 , ∈ R, 使得 = + , 11 分
{ 2 = 5, { = 1,
所以， 3 + = 1, 解得 = 2,{ 2 + 4 = , { = 6,
所以，实数 的值为 6. 14 分
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18. 解：(I) 因为 平面 且 , 平面 ,
所以， , ,
在正方形 中， ，
所以， , , 两两垂直， 2 分
建立空间直角坐标系 (图略)， 3 分
则 (1, 1, 0), (0, 0, 2), (1, 0, 0), (0, 1, 0), 4 分
= ( 1, 1, 2), 5 分
设 ( , , ),
由 = 1 5 ，可得 ( 1, 1, ) =
1
5( 1, 1, 2),
= 4, = 4, = 2 , (4, 4 , 2解得 5 5 5 即 5 5 5). 7 分
(II) 因为 = (1, 0, 2), = (4 15, 5,
2
5),
所以， = 0, 即 , 11 分
所以， . 13 分
19. 解:(I) 取 的中点 ，连接 , ,
在正方形 中， = = = 1, 并且 ， 1 分
在 △ 中， 2 = 2 + 2，
所以， ， 2 分
因为 = , , 平面 ,
所以， 平面 , 4 分
而 平面 ，
所以，平面 平面 . 6 分
(II) 因为 , , 两两垂直，
所以建立空间直角坐标系 , 7 分
则 (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0),
则 = (0, 1, 1), = (1, 1, 0), 8 分
因为 平面 ，
所以平面 的法向量为 = (0, 0, 1), 10 分
假设存在满足题意的点 ，且 = (0 1), 则 (0, 1 , ),
设平面 的法向量为 = ( , , ),
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{ = + = 0,则有
= (2 ) + = 0,
不妨设 = ，得 = ( , , 2 )， 12 分
√| | 5 3
所以，| cos , | = = 9 , 14 分| || |
两边平方，整理得 6 2 + 1 = 0,
解得 = 1 13 或 = 2（舍），
1
经检验， = 3 满足题意，因此，存在点 ，只需 =
1
3 即可. 15 分
20. 解：(I) 证明：连接 , 交 于 , 连接 ,
在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形，
所以， 是 的中点，
因为 为棱 的中点，
所以， , 2 分
因为 面 , 面 ,
所以， 平面 . 4 分
(II) 因为 , , 所以， ,
选择①②：
因为 , 且平面 平面 =
所以，∠ 是二面角 的平面角，即 ∠ = 45 ，
因为 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 1,
所以， 2 + 2 = 2 , 故 ,
因为 , , = , , 平面 ,
所以， 平面 , 即证 , , 两两垂直. 7 分
选①③：
因为 , 且平面 平面 =
所以，∠ 是二面角 的平面角，即 ∠ = 45 ，
因为 , = , , 平面 ,
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所以， 平面 ,
因为 平面 , 所以， ,
因为 , = , , 平面 ,
所以， 平面 ,
因为 平面 , 所以， ,
因为 为 中点，所以， = ,
所以，∠ = ∠ = 45 , ∠ = 90 , 即 ,
因为 , 平面 ,
所以， 平面 , 即证 , , 两两垂直. 7 分
选②③：：
因为 , = , , 平面 ,
所以， 平面 ,
因为 平面 , 所以， ,
因为 , = , , 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 , 所以 ,
因为 为 中点， = = 1,
所以， 2 + 2 = 2, 即 ,
因为 , 平面 ,
所以， 平面 , 即证 , , 两两垂直. 7 分
如图，建立空间直角坐标系 , 8 分
则 (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1 12, 2) , (0, 0, 1),
= (0, 1 1 2 , 2) , = (1, 1, 0),
= (1, 1, 1), 9 分
设 = ( , , ) 为面 的一个法向量，
{ = 12 +
1
2 = 0,则 { = + =,
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令 = 1, 得 = (1, 1, 1), 11 分
(i) | cos , | = |
|
所以， = √ 1 √ = 1 ,
| || | 3 × 3 3
1
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 3 , 13 分
|
√
(ii) = | = √1 3点 到平面 的距离为 | | = 3 . 15 分3
√
21. 解：(I) 直线 的方向向量为 = (1, 3, 2), 1 分
√
平面 1 的法向量为 = ( 3, 1, 1), 2 分
√
所以，cos , = | || | =
10
10 ,
√
10
即直线 与平面 1 所成角的正弦值为 10 . 4 分
(II) 平面 2 的法向量为 = (2, 3, 1), 5 分
设点 ( 0, 0, 0) 是平面上一点，则 2 0 + 3 0 + 0 = 2,
不妨令 0 = 0 = 0, 则 0 = 2，即点 (0, 0, 2) 是平面 2 上一点， 6 分
|
√
| = 14点 到平面 2 的距离为 | | 2 . 8 分
√
(III)(i) 几何体 为底面为边长为 2 2 的正方形，高为 2 的长方体， 10 分
√
所以 的体积为 2 × (2 2)2 = 16. 12 分
(ii) 考虑几何体 关于原点中心对称，我们只考虑第一卦限内的几何体，
由 + = 2, + = 2, + = 2, > 0, > 0, > 0 确定，
考虑平面 + = 2 和 + = 2 这两个面的法向量为 = (1, 1, 0), = (0, 1, 1), 13 分
cos , = 1| || | = 2 , 14 分
2π
因为该二面角为钝角，所以，二面角的大小为 3 . 15 分
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