格致中学 二○二四学年度第一学期第一次测验
高一年级 数学试卷（共4页）
（测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷）
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祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利
一、填空题：（本题共有10个小题，每小题4分，满分40分）
1．不等式的解集为______．
2．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，则的值为______．
3．设，，，若，则______．
4．设，则“”是“”的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
5．方程的解集为______．（用列举法表示）
6．给出下列关系式，其中正确的是______（填序号）．
①；②；③；④；⑤．
7．设集合，则集合的非空真子集的个数为______．
8．若不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
9．已知对于实数，满足且，则的最大值为______．
10．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为______．
二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）
11．用反证法证明命题“已知是正整数，如果能被7整除，那么至少有一个能被7整除”时，第一步应该假设的内容是（ ）
A．只有一个能被7整除 B．都不能被7整除
C．都能被7整除 D．只有不能被7整除
12．若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．若关于的不等式的解集为，则的值（ ）
A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关
14．设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题：（本题共有5大题，满分44分。解题时要有必要的解题步骤）
15．（本题共2小题，其中第1小题2分，第2小题4分，满分6分）
已知集合，．
（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．
16．（本题满分6分）
已知是实数，求证：成立的充要条件是．
17．（本题共2小题，其中第1小题3分，第2小题5分，满分8分）
已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）当时，求关于的一元二次不等式的解集．
18．（本题共2小题，其中第1小题5分，第2小题5分，满分10分）
根据要求完成下列问题：
（1）已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围．
19．（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题5分，第2小题5分，满分14分）
设集合，其中，正整数．若对任意，与至少有一个属于，则称具有性质．
（1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；
（2）当时，若具有性质，且，求集合；
（3）记，若具有性质，求的值．
格致中学 二○二四学年度第一学期第一次测验
高一年级 数学参考答案
一、填空题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）
1． 2． 3．0 4．必要不充分
5． 6．①③⑤ 7．14 8．
9．8 10．31
二、选择题（本大题共4题，每小题4分，满分16分）
11．B 12．D 13．D 14．C
三、解答题
15．（本题共2小题，其中第1小题2分，第2小题4分，满分6分）
解：（1）当时，，所以；
（2）显然，要使得，则或，
即或，所以实数的取值范围为．
16．（本题满分6分）
证明：充分性：若，则；
必要性：若，则，即，，又，
，即成立．
综上，成立的充要条件是．
（注意：充分性与必要性弄反，扣一半分。）
17．（本题共2小题，其中第1小题3分，第2小题5分，满分8分）
解：（1）由题意知，一元二次方程的解为，，
由韦达定理得，解得，；
（2）由（1）知，，则不等式化为．
，
又，不等式化为
当时，，解得或；
当时，不等式化为，解得；
当时，，解得或．
综上，当时解集为，当时解集为，当时解集为．
18．（本题共2小题，其中第1小题5分，第2小题5分，满分10分）
解：（1）由，记；
由，记．
因为是的必要不充分条件，所以，则
且等号不同时成立，解得，
综上，的取值范围为．
（2）若命题为真，设为的两个不等的负根，则
，解得；
若命题为真，则当时，不等式化为，恒成立；当时，
，解得，于是的取值范围是．
若真假，则，
若假真，则，
综上，若一真一假，则．
19．（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题5分，第2小题5分，满分14分）
解：（1）集合中，因为，，，，，，所以集合具有性质．
而集合中，因为，，所以集合不具有性质．
（2）因为，且具有性质，所以，，则，
又因为，所以，则，由集合的互异性知，，而，
所以．故．
（3）因为具有性质，所以，则，则．
又因为，所以，
又因为，所以，则，
所以，，，，．
所以，
即，
所以，
则．
