广东省九校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿如果大轮的转速为转分，小轮的半径为，那么小轮周上一点每转过的弧长是．
A. B. C. D.
4.为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教每所学校至少安排一名教师受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有种．
A. B. C. D.
5.已知数列满足，且，则的通项公式为( )
A. B.
C. D.
6.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位，依据上述公式，则下列结论中正确的是( )
A. 复数为纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为 D. 复数的模长为
10.已知，为正实数，且，，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点若，则( )
A. 的斜率为 B. 是锐角三角形
C. 四边形的面积是 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的首项为，，则数列的前项和为 ．
13.已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 ．
14.一段路上有个路灯一开始它们都是关着的，有名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变问当第名行人经过后，有 个路灯处于开着的状态．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，求的周长．
16.本小题分
足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率；
用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望．
17.本小题分
如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离．
18.本小题分
已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．
求的值；
求证：数列是等差数列，并求；
求的面积．
19.本小题分
已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有．
证明函数在上单调递增；
解不等式；
若对所有，，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
在中，由正弦定理得．
因为，所以，
化简得．
在中，由余弦定理得．
又因为，所以．
由，可得，
又，所以，得到，即，
所以，
，又，
由正弦定理得，得到，
解得，，
故的周长为．
16.解：
设事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分”，
，
，
，
则，
常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率为；
由题意可知的所有可能取值为，
，
，
，
，
，
，
的分布列为：
17.证明：连接，因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以四边形为平行四边形，
因为点和分别为和的中点，所以 且 ，
因为 ， ，为的中点，所以 且 ，
可得 且 ，即四边形为平行四边形，
所以 ，又 平面， 平面，
所以 平面．
因为 平面， ，故以为原点，
分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
依题意可得 ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
设 为平面的法向量，
则 ，不妨设 ，可得 ，
设 为平面的法向量，
则 ，不妨设 ，可得 ．
所以 ，
设平面与平面夹角为 ，
所以 ，
即平面与平面夹角为 ．
设 ，即 ，
则 ，从而 ．
由知平面的法向量为 ，
而直线与平面所成的角为 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
，
由知： 为平面 的法向量，
故点到平面的距离为 ．
18.解：
解：因为点在抛物线上，可得，解得．
证明：由知：，即，
方法一：因为点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程组，可得，
解得或，所以，可得，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以，．
方法二：因为点在抛物线上，
所以，两式相减得：．
所以：可得，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以，．
解：由知：，
可得梯形的面积为：
即，同理可得，
又由梯形的面积为：
，
即，则的面积为：
．
19.解：
且，
则，
因为，，
由已知可得，，
所以，所以，
所以函数在上单调递增；
因为 ，又在上为增函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为；
由在上为增函数，所以，，
所以对所有，，恒成立，
等价于对任意恒成立，
设，对，恒成立，
所以，解得
所以或或，
所以实数的取值范围．
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