2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B.
C. D.
4.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，点，满足，若，则( )
A. B. C. D.
6.若是第二象限角，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列为无穷项等比数列，为其前项和，，则“存在最小项”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是
A. 首次服用该药物单位约分钟后，药物发挥治疗作用
B. 每次服用该药物单位，两次服药间隔小于小时，一定会产生药物中毒
C. 每间隔小时服用该药物单位，可使药物持续发挥治疗作用
D. 首次服用该药物单位小时后，再次服用该药物单位，不会发生药物中毒
10.数列满足，，，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是( )
A.
B.
C. 非零常数，，使得
D. ，都有
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若，则实数的取值范围是 ．
12.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角终边上，且，则的值可以是 写一个即可
13.在矩形中，，且点，分别是边的中点，则 ．
14.已知函数数列满足，则数列的前项和是 ．
15.已知平面内点集，中任意两个不同点之间的距离都不相等设集合，给出以下四个结论：
若，则；
若为奇数，则；
若为偶数，则；
若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在等差数列中，，．
求数列的通项公式：
设，其中，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，其中且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于．
求函数的解析式及最小正周期：
若关于的方程在区间上恰有两个不同解，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，．
求；
若的面积为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
已知函数．
求证：对曲线在点处的切线恒过定点；
当时，判断函数的零点的个数，并说明理由．
20.本小题分
设函数其中．
求函数的单调区间；
当时．对于，不等式恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
已知无穷数列，各项都是正整数，定义集合：，；
已知，，直接写出集合；
若，，，求证：中有无穷多个；
若，均为等差数列，且，均为无限集，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.均可
13.
14.
15.
16.设等差数列的公差为，则有
解得，．
所以数列的通项公式为．
．
因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
17.函数
函数的最小正周期为，
因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，
所以函数的最小值为，
所以，解得，
所以．
由，知，
因为，所以，
由于在区间上有两个不同解，所以，即．
18.解：因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，
所以．
选条件
由知，，根据正弦定理知，，即，
所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件
因为，所以，
又，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，
所以．
选条件
因为，所以，
由，得到，
又，由知，
所以
又由正弦定理得，，得到，
代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，
所以．
19.由求导可得，，
依题意，，
故曲线在点处的切线为，
即，因，故有，解得
即切线恒过点，得证；
的定义域为，由已得：，，
当时，，则在上单调递增．
由，而，
因下面证明，故，
即，由零点存在定理可得，在上有且仅有一个零点，
即在上只有一个零点；
下证：设，则，
即在上单调递增，故，即成立．
当时，，则在上单调递增．
由，因，则，而，故，
又，
因在上单调递增，故，
即，由零点存在定理可得，在上有且仅有一个零点，
即在上只有一个零点．
综上所述，时，在上有两个零点．
20.由，
可得，
令，可得，解得或，
当时，，
若，，函数在上单调递增，
若，，函数在上单调递减，
若，，函数在上单调递增；
当时，，此时，函数在上单调递增；
当时，，
若，，函数在上单调递增，
若，，函数在上单调递减，
若，，函数在上单调递增；
综上所述：
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减．
当时，，
由可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
因为对于，不等式恒成立，
所以，
由成立，所以成立，
故时，可得对于，不等式恒成立，
当时，对于，不等式恒成立，
若时，也有恒成立，满足题设；
以下讨论且，
此时，只需，
即，
令，所以，
令，所以，
所以，即，
所以在上单调递增，又，
所以时，成立，
综上所述：的取值范围为．
21.对于集合，已知，根据的定义当且仅当，当时，．
要使，即，解得因为是正整数，
所以都满足．
所以
对于集合，已知，．
根据的定义当且仅当
当时，要使，即，解得 ．
当时，，满足
当时，，满足
当时，，满足
所以
假设中只有有限个因为，所以．
由于，则存在，当时，或者恒成立．
不妨设，那么，即，这与各项都是正整数矛盾所以假设不成立，即中有无穷多个．
设．
因为是无限集，对于任意大的，存在使得，
即，整理得对任意大的成立，所以同理，因为是无限集，对于任意大的，存在使得，
即，整理得对任意大的成立，所以．
设对于任意，存在使得，
即，移项得．
对于这个，也存在使得，即，
移项得，所以，即．
同理可证，所以．
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