2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高三（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.圆：与圆：的位置关系为( )
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离
3.函数的图象恒过定点，若点在直线上，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是数列的前项和，则等于( )
A. B. C. D.
6.学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则不同的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若对任意，，且，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，为实数，且，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
10.对于的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式中的常数项是
C. 展开式中各项系数之和为 D. 展开式中的二项式系数之和为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的增区间为
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，若，则 ．
13.已知函数，则在处的切线方程是______．
14.定义在上的函数满足：，，则不等式其中为自然对数的底数的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角、、的对边分别为、、，已知．
求角的度数；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知数列的前项和满足，且．
求数列的前项和；
求数列的通项公式；
记，为前项和，求．
17.本小题分
如图，三棱锥中，底面为直角三角形，，为的中点，，，．
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已经函数，．
Ⅰ讨论函数的单调区间；
Ⅱ若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：经过点，期左、右焦点分别为、，过的一条直线与椭圆交于、两点，的周长为
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、均异于点，证明直线与斜率之和为定值．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
所以；
因为，，
由余弦定理得，，
所以，
所以的面积．
16.解：由已知，
且，，
数列为首项为，公差为的等差数列，
，即，
由知当时，
，
又也满足上式，
；
由知，，
．
17.证明：，为的中点，，
，，、平面，
平面，
平面，，
又，，、平面，
平面．
解：由知，平面，，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
设与平面所成角为，则，，
故与平面所成角的正弦值为．
18.解：Ⅰ在区间上，．
若，则，是区间上的减函数；
若，令得．
在区间上，，函数是减函数；
在区间 上，，函数是增函数；
综上所述，当时，的递减区间是，无递增区间；
当时，的递增区间是，递减区间是．
因为函数在处取得极值，所以
解得，经检验满足题意．
由已知，则
令，则，
易得在上递减，在上递增，
所以，即．
19.解：Ⅰ由已知可知 的周长为，，得，
又椭圆经过点，得，
椭圆的方程为分
证明：Ⅱ由题设可设直线的方程为，，
化简，得，代入，得，
由已知，设，，，
则，，分
从而直线，的斜率之和
分
，
故直线与斜率之和为定值分
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