8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.已知A α,则过点A且与平面α平行的直线有 ( )
A.一条 B.两条
C.四条 D.无数条
2.已知直线a在平面α外,则 ( )
A.a∥α
B.直线a与平面α至少有一个公共点
C.a∩α=A
D.直线a与平面α至多有一个公共点
3.下列说法正确的是 ( )
A.如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,那么这条直线与这个平面平行
B.两个平面相交于唯一的公共点
C.如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,那么它们必有无数个公共点
D.平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,下列直线与AA1异面的是 ( )
A.BB1 B.CC1
C.B1C1 D.AB
5.两条异面直线在一个平面上的射影是 ( )
A.两条相交直线
B.两条平行直线
C.一条直线和一个点
D.以上都有可能
6.若异面直线m,n分别在平面α,β内,且α∩β=l,则直线l ( )
A.与m,n都相交
B.与m,n都平行
C.与m,n中的一条相交,另一条平行
D.至少与m,n中的一条相交
7.正方体上的点M,N,P,Q是所在棱的中点,则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的图形是 ( )
A B C D
8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n= ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
9.(多选题)[2024·湖北华师大一附中高一期中] 下列说法错误的是 ( )
A.空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种
B.若空间中两条直线没有公共点,则这两条直线异面
C.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线
D.若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线,则这两条直线可能相交,也可能异面
二、填空题
10.已知平面α和平面β平行,若两直线m,n分别在平面α,β内,则m,n的位置关系是 .
11.在底面为正六边形的六棱柱中,共有 对互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有 个.
12.不在同一条直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A α,给出以下三个命题:①△ABC中至少有一条边所在直线平行于α;②△ABC中至多有两边所在直线平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是 (填序号).
三、解答题
13.已知α∩β=l,a α且a β,b β且b α,a∩b=P.求证:a与β相交,b与α相交.
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,证明:直线BC1与直线A1C是异面直线.
15.(多选题)如图是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则下列说法中正确的是 ( )
A.C∈GH
B.CD与EF是共面直线
C.AB∥EF
D.GH与EF是异面直线
16.如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A l,B l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系 证明你的结论.
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.D [解析] ∵A α,∴过点A且与平面α平行的直线有无数条.故选D.
2.D [解析] 因为直线a在平面α外,所以直线a与平面α平行或相交,则直线a与平面α至多有一个公共点,故选D.
3.C [解析] 在A中,如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内,故A错误;在B中,两个平面相交于一条直线,故B错误;在C中,如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,那么这条直线在平面内,它们必有无数个公共点,故C正确;在D中,当平面外的一条直线与平面相交时,平面外的这条直线必与该平面内的任何直线都不平行,故D错误.故选C.
4.C [解析] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥AA1,CC1∥AA1,B1C1与AA1异面,AA1∩AB=A,故选C.
5.D [解析] 两条异面直线在一个平面上的射影可以是两条相交直线、两条平行直线、一条直线和一个点.故选D.
6.D [解析] 因为α∩β=l,所以l α,l β,则l与m平行或相交,l与n平行或相交,又m,n为异面直线,所以l不能与m,n同时平行,即l与m,n可能都相交,也可能与其中一条相交,故A,B,C错误,D正确.故选D.
7.B [解析] 对于A,直线MN与直线PQ相交,不是异面直线,不符合题意;对于B,直线MN与直线PQ是异面直线,符合题意;对于C,直线MN与直线PQ相交,不是异面直线,不符合题意;对于D,直线MN与直线PQ平行,不是异面直线,不符合题意.故选B.
8.A [解析] 直线CE与正方体的上底面所在平面平行,在正方体的下底面所在平面内,与其他四个平面相交;直线EF与正方体的左、右两个面所在平面平行,与其他四个平面相交,所以m=4,n=4,故选A.
9.ABC [解析] 对于A,空间中两条直线的位置关系有平行、相交和异面三种,故A中说法错误;对于B,若空间中两条直线没有公共点,则这两条直线异面或平行,故B中说法错误;对于C,和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线,故C中说法错误;对于D,如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,当A'B所在直线为a,BC'所在直线为b时,a与b相交,当A'B所在直线为a,B'C所在直线为b时,a与b异面,所以若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线,则这两条直线可能相交,也可能异面,故D中说法正确.故选ABC.
10.平行或异面 [解析] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AC,把平面ABCD看作是平面α,平面A1B1C1D1看作是平面β,可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AB∥A1B1,AC与A1B1异面,平面ABCD与平面A1B1C1D1内的直线均没有公共点,故m,n的位置关系是平行或异面.
11.4 6 [解析] 六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其相对的侧面平行,故共有4对互相平行的面.六棱柱共有8个面,与其中一个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均相交.
12.① [解析] 如图,三点A,B,C可能在α同侧,也可能在α两侧,当A,B,C在α同侧时,AB,BC,AC均与α平行,当A,B,C在α两侧时,△ABC的两条边与α相交,另一条边所在直线与α平行,故只有①是真命题.
13.证明:如图,∵a∩b=P,
∴P∈a,P∈b,
又b β,∴P∈β.
∴a与β有公共点P,
又a β,∴a与β相交.
同理,b与α相交.
14.证明:假设直线BC1与直线A1C不是异面直线,则直线BC1与直线A1C共面.设直线BC1与直线A1C所在的平面为α,则B,C,C1,A1∈α,∵不在同一条直线上的B,C,C1三点确定的平面为平面BCC1B1,∴平面BCC1B1为α,
∴A1∈平面BCC1B1,显然这与事实相矛盾,故假设不成立.故直线BC1与直线A1C是异面直线.
15.ABD [解析] 还原后的正方体如图所示,其中点C与G重合,点F与B重合,则C∈GH,故A正确;CD与EF平行,故CD与EF是共面直线,故B正确;AB与EF是相交直线,故C错误;GH与EF是异面直线,故D正确.故选ABD.
16.解:平面ABC与平面β的交线与l相交.
证明如下:∵AB与l不平行,且AB α,l α,∴AB与l一定相交.设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.
又∵AB 平面ABC,l β,∴P∈平面ABC,P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点.
而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,∴直线PC就是平面ABC与β的交线,即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,∴平面ABC与β的交线与l相交.
