7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一、选择题
1.复数1-i的辐角的主值是 ( )
A. B. C. D.
2.把复数+i化成三角形式,正确的是 ( )
A.cos+isin B.cos+isin
C.cos+isin D.cos+isin
3.若复数z=,则z2= ( )
A.-2i B.1+i
C.1-i D.2i
4.将复数i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,得到向量,则对应的复数是 ( )
A.+i B.-+i
C.--i D.-i
5.计算:= ( )
A.-1-I B.1+i
C.--i D.+i
6.设z1=-1+i,z2=,则arg z2= ( )
A. B. C. D.
7.(多选题)已知复数z=cos+isin,则下列结论中正确的是 ( )
A.|z|=1
B.=cos+isin
C.复数z是方程x3-1=0的一个根
D.复数-z的辐角的主值为-
二、填空题
8.复数1+i的模是 ,辐角的主值是 ,三角形式是 .
9.= .
10.在复平面中,已知O为坐标原点,向量对应的复数为-2i,将绕点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量,则对应的复数是 .
三、解答题
11.(1)在复平面内画出复数2-2i所对应的向量,并将复数2-2i表示成三角形式.
(2)在复平面内画出复数--i所对应的向量,并将复数--i表示成三角形式.
12.[2024·重庆育才中学高一期中] 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角形式表示为z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].如果z=r(cos θ+isin θ),令z1=z2=…=zn=z,那么能导出复数乘方公式:zn=rn(cos nθ+isin nθ).请用以上知识解决以下问题:
试应用复数乘方公式推导三倍角公式:sin 3θ=3sin θ-4sin3θ;cos 3θ=4cos3θ-3cos θ.
7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1.A [解析] 因为1-i=2×=2,所以1-i的辐角的主值是.
2.B [解析] 因为cos=,sin=,所以+i=cos+isin,故选B.
3.D [解析] z2=()2×=2i,故选D.
4.A [解析] 因为arg i=,绕原点O按顺时针方向旋转,得到,则对应的复数的辐角的主值为,所以对应的复数是cos+isin=+i.故选A.
5.A [解析] =2=2=-1-i.故选A.
6.B [解析] z2===(-1+i)2=--i,则复数z2在复平面内对应的点的坐标是,该点位于第三象限,且tan θ=,所以arg z2=.故选B.
7.ABC [解析] ∵z=-+i,∴|z|==1,故A正确;=--i=cos+isin,故B正确;∵z3=cos+isin=1,∴z3-1=0,故C正确;∵-z=-i,∴复数-z的辐角的主值为,故D错误.故选ABC.
8. [解析] 复数1+i的模是=.∵1+i对应的点在第一象限,且tan θ=1,∴arg(1+i)=,∴三角形式为.
9.-243 [解析] =35=243(cos π+isin π)=-243.
10.--i [解析] 因为-2i=2,所以由题意可得对应的复数为2·=3=3=3×=-i.
11.解:(1)复数2-2i所对应的向量如图①所示,则r==2,cos θ=.因为与2-2i对应的点在第四象限,所以arg(2-2i)=,
所以2-2i=2.
①
(2)复数--i所对应的向量如图②所示,
则r==2,cos θ=-.
因为与--i对应的点在第三象限,
所以arg(--i)=,
所以--i=2.
②
12.解:设模为1的复数为z=cos θ+isin θ,
则z3=(cos θ+isin θ)3=cos3θ+3(cos2θ)·(isin θ)+3(cos θ)·(isin θ)2+(isin θ)3=cos3θ+i(3cos2θ·sin θ)-3cos θsin2θ-isin3θ=(cos3θ-3cos θsin2θ)+i(3cos2θ·sin θ-sin3θ)=[cos3θ-3cos θ(1-cos2θ)]+i[3(1-sin2θ)sin θ-sin3θ]=(4cos3θ-3cos θ)+i(3sin θ-4sin3θ),
由复数乘方公式可得z3=cos 3θ+isin 3θ,
故sin 3θ=3sin θ-4sin3θ,cos 3θ=4cos3θ-3cos θ.
