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2024 年湖北省新八校协作体高三 10 月联考
高三数学试卷参考答案
1-4 ADBD 5-8 CBCC 9.BD 10.BCD 11.AD
12.5 13.-4 14. [ e, )
14.【详解】 f (x) x 3 px 2 x q ， f (x) 3x 2 2px 1 ， f (x) 6x 2 p，
因为 f (x) 图象的对称中心点为 ( 1, 2) ，所以 f ( 1) 6 2 p 0，所以 p 3，
由 f ( 1) 1 3 1 q 2，所以 q 1，f(x)= x3 3x 2 x 1
x
原不等式为 e mx e (ln x 1) [x 1 e]x e，
因为 x (1, )，所以m
设 g(t) et t 1，则 g (t) et 1，
当 t 0时， g (t) 0 ，当 t 0时， g (t) 0，
所以当 t 0时， g (t)单调递减，当 t 0时， g (t)单调递增，
所以 g(t) g(0) 0 ，即 et t 1，
因为 ex elnx x elnx 1，当且仅当 x elnx 0，即 x e时等号成立，
ex elnx ( x 1 e) x elnx 1 ( x 1 e)
所以 e，所以其最小值为 e，故 m ．
lnx 1 lnx 1 e
15.解：（1）由 f (x) 2 f (1)x 1 2 ，取 x 1得到
x
f (1) 2 f (1) 1 2，解得 f (1) 1 . 2 分
代入可得 f (x) x 2 x 2ln x 5 分
（2）对于曲线y e x 2x, y e x 2
曲线y e x 2x在点(0,1)处的切线方程为：y 1 3x，即y 3x 1 8 分
g(x) ln x a，设g(x)在点（x0 , ln x0 a)的切线为y 3x 1
1
3，且 ln x0 a 3x0 1 11分x0
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则a 2 ln 3 13 分
16.解：（1）
f (x) (1 3)cos2 x sin xcos x sin(x )sin(x )
4 4
(1 3)1 cos 2x 1 sin 2x 1 (sin 2 x cos2 x)
2 2 2
(1 3)1 cos 2x 1 sin 2x 1 cos 2x
2 2 2
1 3 3 cos 2x 1
sin 2x
2 2
sin(2x ) 1 3 5分
3 2
f (x) 2 的最小正周期为 . 7 分
2
（2）t 2x , t 5 [ , ]
3 3 3
y sin t 在t [ , ],[3 , 5 ]上单调递增 11分
3 2 2 3
2x [ , 故 ],[3 , 5 ]
3 3 2 2 3
5 11
解得x [0, ],[ , ]
12 12
故f (x) 5 11 的单调增区间为[0, ],[ , ] 15分
12 12
17.解析（I）由bcosC 3bsinC a c 0 及正弦定理得
sin B cosC 3 sin B sinC sin A sinC 0 .
因为 sin A sin B C sin B C sin BcosC cosBsinC，
所以 3 sin B sinC cosB sinC sinC 0 . 5 分
由于 sinC 0， 3 sin B cos B 1 0
1
所以 sin B 6
.
2
0 B B 又 ，故 . 7 分
3
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（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
2 2 2因为 B ，并利用余弦定理整理得b a c ac，即3ac (a c)
2 b 2 .
3
a c 2 a c结合 ac ，得 2 .由临界状态（不妨取 A
）可知
2 b 2
a c
3 .
b
10 分
V ABC a c而 为锐角三角形，所以 3 .由余弦定理得
b
b2 c2 a2 2 2 2cos A cos B cosC 1 a b c ，
2bc 2 2ab
b2 a2 c2 ac，代入化简得 cos A cos B 1 a c cosC 1
2 b
故 cos A cosB cosC 的取值范围是 3 1 3 . 15 分 ,
2 2
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：
cos A cos B cosC 1 cos A cos 2 A 1 3 1
2 3 cos A cos A sin A 2 2 2
3
sin A 1 cos A 1
2 2 2
10 分
2
sin A 1
0 A
.由
3 2
可得：
A ，
6 2 6 2
12 分
0 A
2
A 2 ，则 sin A 3,1 ， sin A 1 3 1 3
3 6 3 6 2 6 2
, .
2 2
即 cos A cosB cosC 的取值范围是 3 1 3 .
,2 2
15 分
V (3 2x)2 x 0 x 318.【详解】(1)由题意, ,
2
2 分
V (x) (3 2x)(3 6x)(0 3 x )
2
由V (x) 0 x 1 ，
2
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当0 x 1 1 3 时函数递增，当 x 时函数递减，
2 2 2
所以当 x 1 时，盒的容积 V最大.
2
6 分
2 V （ ） (x) (3 2x)(3 6x) 9 24x 12x
2
f (x) e x ln(x m) 8 分
当m 2,x ( m, ) 时, ln(x m) ln(x 2) ,
故只需证明当m 2 时, f (x) ex ln(x 2) 0 , 10 分
y ex y 1当m 2 时，函数 与函数 在 ( 2, ) 上单调递增,所以函数
x 2
f x 1 ex 在 ( 2, ) 上单调递增,
x 2
又 f ( 1) 0, f (0) 0 ,故 f (x) 0在 ( 2, ) 有唯一 实数根，记为 x x0 ，且 x0 ( 1,0) ,
12分
当 x ( 2, x0) 时， f (x) 0, f (x) 单调递减;当 x (x0 , ) 时， f (x) 0, f (x) 单调递增,
x 10
从而当 x x0 时， f (x) 取得最小值,由 f (x0 ) 0 得 e x0 2
即 ln(x0 2) -x0 ， 14分
故 f (x)的最小值 >0
综上，当 m≤2 时， f (x) 0 . 17 分
19.解：（1） y 1 x ， 0,
y -
cos x
， 2分
sin x 2 sin2 x
y sin x(1 cos
2 x)
>0，x 0, ，
sin4 x 2
函数 y 1 在x 0,
为凹函数. 4分sin x 2
（2）由（1）可知函数 f x 1 在x
sin x
0, 为凹函数.
2
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f x1 f x2 f x3 x x x
所以由琴生不等式 f ( 1 2 3 ), 6分
3 3
1 1 1
sin A B2 sin 2 sin C可得 2 1 A B C 2, 8分3
sin( 2 2 2 )
3
1 1 1
A B C 6，得证 .sin sin sin
2 2 2
当且仅当 A B C时等号成立. 9分
（3）构造函数 g x x ln x，g x 1+ ln x，g x 1 >0，
x
n
g(xi ) n
g x x x ln x为凹函数. i 1 g(
n
i )
i 1 n
n
xi ln xi
i 1 g 1 1 1
n n
ln ,
n n
n
xi ln x ln 1 1i , 即xx1 xx2 xn1 2 xn 得证. 17分
i 1 n n
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