综合检测试卷 [时间:120分钟 分值:150分]
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知全集U={0,1,2,3}, UA={0,2},则集合A的真子集共有 ( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.命题“ x>1,x+x2≥2 ”的否定形式是 ( )
A. x≤1,x+x2<2 B. x>1,x+x2<2
C. x>1,x+x2<2 D. x≤1,x+x2<2
3.已知函数f(x)=则f(f(3))等于 ( )
A. B.4
C. D.
4.“0
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.定义在R上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则函数y=f(x+a)的值域为 ( )
A.[2a,a+b] B.[0,b-a]
C.[a,b] D.[-a,a+b]
6.已知函数g(+2)=x+4-6,则g(x)的最小值是 ( )
A.-6 B.-8
C.-9 D.-10
7.函数y=的图象大致为 ( )
8.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),且在[0,1]上是增函数,则有 ( )
A.f
9.下列命题为真命题的是 ( )
A. x∈R,x2+x+1>0
B.当ac>0时, x∈R,ax2+bx-c=0
C.f(0)=0是函数f(x)为奇函数的充要条件
D.“-2
A.a+b+c≤ B.(a+b+c)2≥3
C.++≥2 D.a2+b2+c2≥1
11.已知函数f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0有8个不同的实根,则a的值可能为 ( )
A.-6 B.8
C.9 D.12
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数f(x)=x2+(1-k)x-k有两个零点,分别在1的两侧,则实数k的取值范围是 .
13.已知x>0,y>0,且4x+y=1,则+的最小值为 .
14.设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分)
15.(13分)已知集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B={x|-2≤x≤4},全集U=R.
(1)当a=2时,求A∩B,( UB)∩( UA);(6分)
(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,求实数a的取值范围.(7分)
16.(15分)设集合A={a,|a|,b+1},B={0,a2,b},且A=B.
(1)求a+b的值;(7分)
(2)判断函数f(x)=ax+在[1,+∞)上的单调性,并用定义法加以证明.(8分)
17.(15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1.
(1)求f(x)的解析式;(7分)
(2)若g(x)=-2f(x)+px在[2,4]上单调,求p的取值范围.(8分)
18.(17分)某地森林出现火灾,火势正以每分钟60 m2的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队员前去,在火灾发生后5分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火30 m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟80元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁一平方米森林损失费为30元.
(1)设派x名消防队员前去救火,用t分钟将火扑灭,试建立t关于x的函数关系式;(6分)
(2)问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失费用最少 (注:总损失费=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费)(11分)
19.(17分)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,试求函数y=(x>0)的最小值;(8分)
(2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,试求实数a的取值范围.(9分)
答案精析
1.A 2.B 3.C 4.A 5.C
6.A ［g(+2)=x+4-6，设t=+2(t≥2)，
∴x=(t-2)2，
g(t)=(t-2)2+4t-8-6=t2-10(t≥2)，
故 g(t)min=g(2)=-6，即g(x)的最小值是-6.］
7.A ［令f(x)=，
则f(x)的定义域为R，
且f(-x)==-f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，排除C，D；
又当x=1时，f(1)==2，
排除B.］
8.B ［由题设知f(x)=-f(x-2)=f(2-x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，
又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，
由于函数f(x)在［0，1］上是增函数，
故f(x)在［-1，0］上也是增函数，
综上，函数f(x)在［-1，1］上是增函数，在［1，3］上是减函数.
又f=f=f，
所以f
10.BD ［a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
上述三个不等式全部相加得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)=2，∴a2+b2+c2≥1，当且仅当a=b=c时，等号成立.
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3，
∴a+b+c≤-或a+b+c≥，
若a=b=c=-，则++=-3<2，
∴A，C选项错误，B，D选项正确.］
11.CD ［当a≤0时，方程f(x)=0只有1个实根，从而方程f(f(x))=0不可能有8个不同的实根，故a≤0不成立.当a>0时，f(x)=0的实根为-2a，0，a.令f(x)=t，则f(f(x))=f(t)=0，
则t=-2a，0，a，结合图象(图略)可知，直线y=a与f(x)的图象有2个交点，直线y=0与f(x)的图象有3个交点，所以由题意可得直线y=-2a与f(x)的图象有3个交点，则必有-2a>-，又a>0，所以a>8.］
12.(1，+∞)
13.17
解析 因为x>0，y>0，所以+=1+×1=1+(4x+y)=9++≥9+2=17，
当且仅当=，
即x=，y=时取等号.
14.(3，6)
解析 作出函数f(x)的图象如图所示，
因为f(x1)=f(x2)=f(x3)，不妨设x1
所以x1+x2+x3∈(3，6).
15.解 (1)当a=2时，A=｛x|1≤x≤7｝，则A∩B=｛x|1≤x≤4｝；
UA=｛x|x<1或x>7｝， UB=｛x|x<-2或x>4｝，则( UA)∩( UB)=｛x|x<-2或x>7｝.
(2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，
∴A B，
①若A= ，则a-1>2a+3，解得a<-4；
②若A≠ ，由A B，得且a-1≥-2与2a+3≤4的等号不能同时取到，
解得-1≤a≤，
综上所述，a的取值范围是(-∞，-4)∪.
16.解 (1)由集合A=B及集合中元素的互异性知b+1=0，即b=-1，此时A=｛a，|a|，0｝，B=｛0，a2，-1｝，
所以a=-1，
此时A=｛-1，1，0｝，B=｛0，1，-1｝，满足A=B，
故a+b=-2.
(2)由(1)知f(x)=-x-，f(x)=-x-在［1，+∞)上单调递减.
证明：任取x1，x2∈［1，+∞)且x1
=(x2-x1)+
=(x2-x1)
=(x2-x1).
因为x1，x2∈［1，+∞)且x1
x1x2>0，
所以f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
故f(x)=-x-在［1，+∞)上单调递减.
17.解 (1)∵f(x)=ax2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1，
∴a(x-1)2+b(x-1)
=ax2+bx+x-1，
即ax2-(2a-b)x+a-b=ax2+(b+1)x-1，
∴
解得
∴f(x)=-x2+x.
(2)∵g(x)=-2f(x)+px
=-2+px=x2+(p-1)x在区间［2，4］上单调，
∴其对称轴x=-≤2，
或x=-≥4，
∴p≥-3，或p≤-7.
即p的取值范围为(-∞，-7］∪［-3，+∞).
18.解 (1)由题意可知60(t+5)=30xt，
即t=.由30x>60可得x>2.
故t关于x的函数关系式为t=(x>2且x∈N+).
(2)设总损失费为f(x)，则f(x)=80xt+100x+30(60t+300)，
即f(x)=80x×+100x+30
=+100(x-2)+10 000
≥2+10 000=12 800.
当且仅当=100(x-2)，
即x=16时等号成立.
故应该派16名消防队员前去救火，才能使总损失费用最少.
19.解 (1)依题意得
y===x+-4.
因为x>0，所以x+≥2，
当且仅当x=，
即x=1时，等号成立.
所以y≥-2.
所以当x=1时，y=取得最小值为-2.
(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1，
所以要使“ x∈［0，2］，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2-2ax-1≤0在［0，2］上恒成立”.
不妨设g(x)=x2-2ax-1，
则只要g(x)≤0在［0，2］上恒成立即可.
所以
即解得a≥.
则实数a的取值范围为.
