2024~2025学年高二10月质量检测卷
数学（A卷）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.两平行直线，之间的距离为（ ）
A. B.3 C. D.
5.曲线与轴围成区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.3
7.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ）
A.若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面
B.若，则，的夹角是锐角
C.不相等的两个空间向量的模可能相等
D.若，是两个不共线的向量，且（，且），则构成空间的一个基底
10.已知直线，直线，则（ ）
A.当时，与的交点为 B.直线恒过点
C.若，则 D.存在，使
11.“太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（ ）
A.黑色阴影区域在轴右侧部分的边界所在圆的方程为
B.直线与白色部分有公共点
C.点是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为4
D.过点作互相垂直的直线，，其中与圆交于点，，与圆交于点，，则四边形面积的最大值是22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为_________.
13.圆和圆的公切线的方程为________.
14.如图，在四棱锥中，，且，若，，则平面与平面夹角的余弦值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知直线与交于，两点.
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）若，求的值.
16.（本小题满分15分）
如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
在平行四边形中，，，.
（1）若圆过，，三点，求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，切点为，，求.
18.（本小题满分17分）
如图，四边形是直角梯形，，，，为的中点，是平面外一点，，，，是线段上一点，三棱锥的体积是.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，为线段上一点且满足，记点的轨迹为曲线.
①求曲线的方程，并说明曲线的形状；
②在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.
20242025学年高二10月质量检测卷 数学（A卷）
参考答案、提示及评分细则
1.C 设直线的倾斜角为，则，又，所以.故选C.
2.A 圆的方程可化为，圆心的坐标是.故选A.
3.D .故选D.
4.A 直线可化为，直线，所以两平行直线之间的距离为.故选A.
5.B 曲线的方程化为，即，所以这条曲线与轴围成的区域是一个半径的半圆，其面积为.故选B.
6.C ，点到平面的距离.故选C.
7.B 解法一：设，由以为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，得关于的不等式有解，即有解，所以，解得或.故选B.
解法二：圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.又直线上存在点，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，所以只需圆与直线有公共点即可.由，解得或.故选B.
8.D 因为在正三棱柱中，为的中点，取的中点，连接，如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，因为是棱上的动点，设，且，因为，所以，于是令，，所以，.又因为函数在上单调递增，所以当时，，即线段长度的最小值为.故选D.
9.AC 选项A，由空间向量基本定理可知正确；
选项B，当且，时，，故B错误；
选项C，由向量定义可知正确；
选项D，由平面向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误.故选AC.
10.ABC 对于A.当时，直线，直线，
由解得所以两直线的交点为，故A正确；
对于B，直线，令解得即直线恒过点，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，假设存在，使，则，解得或，当时，，，两直线重合，舍去，当时，直线，直线，两直线重合，舍去，所以不存在，使，故D错误.故选ABC.
11.ABD 对于A，黑色阴影区域在轴右侧部分的边界所在圆的圆心为，半径为2，所以圆的方程为，故A正确；
对于B，白色部分包含左侧小半圆和右侧大半圆，直线的斜率大于0，且过点，所以直线与右侧大半圆无公共点，左侧小半圆的方程为，圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以左侧小半圆与直线有公共点，故B正确；
对于C，黑色阴影部分小半圆的方程为，设，由题意知直线与圆有公共点，此时，解得，又黑色阴影部分小半圆在轴右侧，当直线与半圆相切时有最大值，此时在轴截距为，故，故C错误；
设原点到直线，的距离分别为，，则，，且，四边形的面积为，
当且仅当，即时等号成立，所以四边形面积的最大值是22，故D正确.故选ABD.
12.因为直线与直线垂直，所以直线的斜率，又直线在轴上的截距为4，即直线过点，由点斜式可得直线，化简得.
13.或或由题意易得两圆相外切，且均与直线相切，直线与直线的交点为，所以设过的另外一条切线为，故，解得，或，故.因为的斜率为，故过两圆切点的切线斜率为，设过公切点的切线方程为，则，所以，故.
14. 因为，所以，，又，
所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.分别取，的中点，，因为，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以，又，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，则平面与平面夹角的余弦值.
15.解：（1）方程可化为，圆心，半径，
取的中点，则直线是线段的垂直平分线，
所以，因为，所以，
所以线段的垂直平分线的方程为，即.
（2）点到直线的距离，
所以，即，解得.
16.解：（1）以为原点，，，的方向分别作为，，轴的正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，.
设直线与所成的角为，则
，
即直线与所成角的余弦值是.
（2）由（1）知，，，
设平面的法向量为，则
取，得，所以平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）设圆的方程为，
则解得
故所求圆的方程为，
其标准方程为.
（2）设，由题意知，所以，所以，，
即，所以，所以，
所以四边形的面积.
又，所以，
所以.
18.（1）证明：如图，连接交于点，
因为，，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即.
又因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以.
又因为，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，、所在直线分别为、轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，.
设，则，即点，
则三棱锥的体积，
解得，所以.
则，设平面的法向量，
由令，得平面的一个法向量，
易知，为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值是.
19.解：（1）设圆心，因为圆与轴正半轴相切，所以，且半径.
因为圆截直线所得的弦长为4，所以，
解得（负根舍），
故圆心为，半径等于3，所以圆的方程为.
（2）①设，，因为，所以，所以，
即所以
又因为点在圆上，所以，
即，所以，
所以点的轨迹方程为，
它是一个以为圆心，以为半径的圆.
②假设存在一点，满足，
设，则，
整理化简得：，
因为在曲线上，所以，
即.
所以，
所以，
所以解得
故点的坐标为与原点重合，不合题意，故不存在异于原点的点满足题目要求条件.
