4.7 相似三角形的性质
第一课时
今日复习
1.相似三角形对应 、 和 等于相似比.
2.相似三角形的周长之比等于 .
3. 相似三角形的面积之比等于 .
名师点拨
1.应用相似三角形的性质求线段长度是常用的方法，应用时要注意边的对应.
2.用相似符号“∽”确定的相似三角形已经指明对应关系，而用文字阐述“相似”时，要注意分类讨论.
3.在三角形中截矩形或正方形时，注意应用高的比等于相似比.
4.相似多边形的性质：
(1)相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比；
(2)相似多边形中，对应线段的比等于相似比；
(3)相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.
课时三级达标
A级 双基过手
1.(1)已知△ABC∽△DEF,且相似比为 4 : 3,△ABC 中BC 边上的中线AM=8,则△DEF 中EF 边上的中线DN= .
(2)若△ABC与△DEF相似,且相似比为1:3,则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为 .
2.(1)已知△ABC∽△A'B'C',AD 和A'D'是它们的对应角平分线，且 AD=8cm,A'D'=3cm,则△ABC与△A'B'C'对应高的比为 .
(2)已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2:3,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 .
3.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=36,BC=60,延长两腰BA,CD交于点O,OF⊥BC交 AD 于点 E,交 BC于点 F,若EF=32,则OF= .
4.如图,在锐角△ABC中,BC=10,BC 边上的高AQ =6,正方形EFGH的顶点E,F 在BC 边上,点 G,H分别在AC，AB边上，则此正方形的边长为 .
5.已知△ABC∽△A B C ,BD 和 B D 是它们的对应中线，若 则BD的长是( )
A B C.6 D.8
6.如图,在△ABC中,DE∥BC,AG⊥BC 于点 G,交 DE 于点 H,AD=5,BD=10,AH=3,则 HG的长为
( )
A.9 B.6 C.3 D.4
7.若△ABC与△DEF 相似,且相似比为1: 3,则△ABC 与△DEF 的面积比为 ( )
A.1:3 B.1: 9
C.3: 1
8.如图，有一块直角三角形余料ABC,∠BAC=90°,G,D 分别是AB,AC 边上的点，现从中切出一个矩形DEFG,其中点 E,F 在 BC 上,若 BF =4.5cm,CE=2cm,则GF的长为 ( )
A.3cm
C.2.5cm D.3.5cm
9.如图,在锐角三角形 ABC中,点 D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点 G,AF ⊥DE 于点 F,∠EAF =∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求 的值.
10.有一块三角形铁片 ABC, ，现要按图中方式把它加工成一个正方形DEFG(加工中的损耗忽略不计)，求正方形 DEFG 的边长.
B级 能力提升
11.如图,有一块形状为Rt△ABC的斜板余料,∠A=90°,AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成一个形状为□DEFG 的工件,使GF 在边 BC 上,D,E两点分别在边AB,AC上,若 D 是边AB 的中点，则平行四边形 DEFG 的面积为 .
12.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为 36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm.
13.如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱 AB的长为30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC的长为 10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂 AC 与灯柱AB 垂直时，沿CE 边射出的光线刚好射到底座 B 点.若不考虑其他因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度 BD的长为 cm.
14.如图,在 D,E分别是AB,AC上的点, 相似比为 AD: AC=2:3,△ABC的角平分线AF 交DE 于点G,交 BC于点F,求AG与GF的比.
C级 综合拓展
15.如图,在矩形 ABCD 中,AB=20,BC=10,P 为AB 边上一动点,DP交AC 于点Q.
(1)求证:
(2)点 P 从 A 点出发沿 AB 边以每秒1个单位长度的速度向 B 点移动，移动时间为 t秒.
①当t为何值时,DP⊥AC
②设 写出y与t之间的函数解析式.
第二课时
今日复习
1.相似多边形中，对应的三角形 ，其相似比等于原相似多边形的 .
2. 相似多边形中，对应线段的比等于 .
3.相似多边形的周长之比等于 ，面积之比等于 .
名师点拨
1.要注意分清相似多边形的相似比，求图形面积时可应用相似形的性质，而不必用面积公式.
2.注意将相似多边形转化成相似三角形.
3.运用相似多边形性质的关键：把一般的线段之比转化为“对应边”之比.
4.在“运动”类相似形问题中，解答之前，应把相关的边用时间“t”的表达式表示出来，以便利用“相似性质”建立方程求解.
课时三级达标
A级 双基过手
1.若△ABC∽△DEF,且面积之比为9：4，则相似比为 .
2.(1)两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是 .
(2)两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm ，则较大多边形的面积为 .
3.(1)两个相似三角形的对应边分别是 15 cm和23 cm,它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是 .
(2)若△ABC∽△A'B'C',且面积比为 4 ：9，则其对应边上的高的比为 .
4.(1)如图,在△ABC中,点D,E分别在边BA,BC上,且 则△DBE 与四边形ADEC的面积的比为 .
(2)如图,在 ABCD中,AC,BD 相交于点O,E是OA 的中点,连接 BE 并延长交AD 于点 F，已知 ，有下列结论：①②S△BCE=36;③S△ABE =12;④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是 .(填序号)
5.若△ABC∽△DEF,且S△ABC : S△DEF = 5 : 4,则△ABC 与△DEF的周长比为 ( )
A.5:4 B.4:5 C.2 D.
6.如图,在□ABCD 中,E 是边AD上的一点,且AE=5,BC=8,则下列说法不正确的是 ( )
B.△DEF∽△BCF
7.已知△ABC∽△DEF,若△ABC 与△DEF 的相似比为 1: 3,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9
8.已知△ABC∽△DEF,相似比为 1 : 2,且△DEF 的面积为 12,则△ABC的面积为 ( )
A.84 B.24 C.6 D.3
9.如图,在 Rt△ABC 中, 将△ABC 绕点 A顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB'C',连接 BB',CC',求△CAC'与△BAB'的面积之比.
10.如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F 是AM 的中点,EF⊥AM,垂足为 F,交 AD 的延长线于点E,交 DC 于点 N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
B级 能力提升
11.如图,在菱形 ABCD 中,AC 与BD 相交于点 O.将菱形沿 EF 折叠，使点C与点O重合.若在菱形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为 .
12.如图,DE 是△ABC 的中位线,F 为 DE 的中点,连接 AF 并延长交BC 于点G,若S△EFG =1,则S△ABC =
13.如图,在 中， BC,垂足为 D, 四边形EFGH和四边形HGNM 均为正方形，且点E,F,G,N,M都在 的边上，那么 与四边形 BCME 的面积比为
14.如图,在 中， 点 D,E分别在BC,AC上, 2BD,CE=2AE,BE 交 AD 于点 F,求△AFE 面积的最大值.
C级 综合拓展
15.如图,在矩形ABCD 中,线段EF,GH分别平行于AD,AB,它们相交于点 P，点 分别在线段 PF,PH上， 连接 与 相交于点 Q. 已知 ,设AG=a,
(1)四边形 EBHP 的面积 (填“>”“=”或“<”)四边形GPFD的面积；
(2)求证:
(3)设四边形 的面积为S ，四边形 CFQH 的面积为 求 的值.
