高二质量检测数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章 选择性必修第一册第一章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知空间向量，且，则（ ）
A. B.4 C.2 D.
2.已知在正四面体中，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3.有一个正十二面体，如图所示.其12个面上分别写着1到12这12个连续的整数.投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数是素数的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则下列选项可能正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知在空间直角坐标系中，在方向上的投影向量为，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.2
7.在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C.1 D.
8.如图，在正方体中，点满足.设二面角的平面角为，则当增大时，的大小变化为（ ）
A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽 蓝色水晶崽崽 粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（ ）
A.与不互斥 B.
C. D.与相互独立
10.在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.2
11.已知四棱柱的底面是边长为4的菱形，平面，，点满足，其中.若，则的值可能为（ ）
A. B. C.8 D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知空间单位向量满足，则__________.
13.在空间直角坐标系中，点均在球的同一个大圆（球面被经过球心的平面截得的圆）上，则球的表面积为__________.
14.如图，图中共有10个交汇点：.已知质点甲在地，质点乙在地，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在正方体中，分别为棱的中点，.
（1）试用表示.
（2）证明：四点共面.
（3）证明：三点共线.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，，.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
某知识比赛积分规则如下：参赛队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.某校代表队参加该次知识比赛，已知该校代表队与A队进行一场红色知识比赛获胜的概率为，平的概率为，负的概率为；与B队进行一场科技知识比赛获胜的概率为，平的概率为，负的概率为.这两场比赛结果相互独立.
（1）求该校代表队与队进行红色知识比赛获得积分超过与B队进行科技知识比赛获得积分的概率；
（2）求该校代表队与队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和不小于4分的概率.
18.（17分）
在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2.
（1）当二面角为时，判断与平面是否平行；
（2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.
19.（17分）
若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为与的混合积为.若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点.
（1）证明：与是异面直线.
（2）若点，求的长的最小值.
（3）若直线为坐标原点，求的坐标.
高二质量检测数学参考答案
1.D 依题意得，解得.
2.A 根据题意可得分别为的中点，则.因为，所以.
3.C 投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数是素数的情况有，则向上一面的数是素数的概率为.
4.B ，A错误.易得三个向量不共面，B正确.
错误.错误.
5.C 因为，所以.对于，A错误.
对于B，，B错误.对于C，，C正确.
对于D，，D错误.
6.B 根据题意可得点到直线的距离为.
7.C 因为，所以.
因为，所以.
因为四点共面，所以，即.
因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1.
8A 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（图略）.设，则，所以，.设平面的法向量为，则得取.连接（图略），易得平面的一个法向量为，所以.因为
，所以的值随着的增大而减小，则钝角随着的增大而增大.由图可知为钝角，所以随着的增大而增大.
9.ACD 和可以同时发生，A正确.因为，所以，B错误.，C正确.因为，所以正确.
10.BC 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则.设，则，所以.设，连接（图略），则.
因为为长方体的中心，所以.因为，所以，所以.
11.BCD 因为点满足，所以点在底面上，连接（图略），则，得.因为平面，所以，则5.因为，且当点与点或重合时，取得最大值，最大值为4，所以，即的取值范围为.
12.2 因为，所以.
由，得，则，所以为直角三角形，则即外接圆的直径，即是球的直径.因为，所以，得球的半径为，故球的表面积为.
14. 由题意可得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率为，易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率相等.同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率为，易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率相等.故同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为.
15.（1）解：依题意可得，
.
（2）证明：连接.因为
所以，
则共面，故四点共面.
（3）证明：连接.
因为
，
，
所以，则.
因为，所以三点共线.
16.（1）证明：取的中点，连接.
因为，所以.
因为，所以四边形是平行四边形，
所以.
因为，所以，
所以.
因为，所以.
因为平面，且，所以平面.
（2）解：易证两两垂直，则以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可得，
则.
设平面的法向量为，
则
令，得.
设直线与平面所成的角为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）设事件为“该校代表队与A队进行一场红色知识比赛获得积分3分，与B队进行一场科技知识比赛获得积分1分”，则；
事件为“该校代表队与A队进行一场红色知识比赛获得积分3分，与B队进行一场科技知识比赛获得积分0分”，则；
事件为“该校代表队与A队进行一场红色知识比赛获得积分1分，与B队进行一场科技知识比赛获得积分0分”，则.
故该校代表队与A队进行红色知识比赛获得积分超过与B队进行科技知识比赛获得积分的概率为.
（2）设事件为“该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和等于4分”，则；
设事件为“该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和等于6分”，则.
故该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和不小于4分的概率为.
18.解：（1）若二面角为，则平面平面.
因为平面平面，且，所以平面.
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.
设平面的法向量为，因为，
所以令，得.
因为，所以，所以不与平面平行.
（2）取的中点，连接，则，
因为，所以二面角的平面角为，即.
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.
设平面的法向量为，因为，
所以令，得.
设平面的法向量为，
因为，
所以令，得
因为，所以不垂直，所以平面不与平面垂直.
（3）在（2）中的坐标系中，设平面的法向量为，
因为，
所以令，得.
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19.（1）证明：由题意得.
因为
所以，故与是异面直线.
（2）解：设与都垂直的向量，由，
可取.则的长的最小值为.
（3）解：（方法一）由题意可设，
则.
设平面的法向量为，则取
由，解得，
则.
（方法二）由题意可设，
，
则.
由（2）得，
则
解得
故.
