姓名 座位号
（在此卷上答题无效）
绝密 ★ 启用前
2024年“江南十校”新高三第一次综合素质检测
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 A x log2 x 2 ， B x x 4 ， A B
A． ( ,4) B． (0,4) C． ( 4,4) D． ( 4,0)
2．记等差数列 an 的前 n项和为 Sn，已知 a3 a6 8，则 S8
A． 28 B．30 C．32 D．36
3．已知函数 f (x) 1 2 x ，则对任意实数 x，有2 1
A． f ( x) f (x) 0 B． f ( x) f (x) 0
C． f ( x) f (x) 2 D． f ( x) f (x) 2
4．已知 ， 都是锐角， cos 1 ， cos( ) 11 ，求 cos
7 14
1 39 59 71
A． B． C． D．
2 98 98 98
5．已知 1 2x n的展开式中各项系数的和为 243，则该展开式中的 x4项的系数为
A．5 B．16 C． 40 D．80
6．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 3，以顶点 A为球心， 2为半径作一个球，则球面
与正方体的表面相交所得到的曲线的长为
3 5
A． B． C． 2 D．
2 2
数学试题 第 1 页（共 4 页）
7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决
赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动
员丙第一个出场”的概率为
3 1 1 4
A． B． C． D．
13 5 4 13
2 x 18．对于 x 0， e ln x 0恒成立，则正数 的范围是
1 1A． B． C． 2e D． e
e 2e
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．设复数 z在复平面内对应的点为 Z ，原点为O， i为虚数单位，则下列说法正确的是
2
A． z z z
B．5 i 4 i
C．若 z 1，则 z 1或 z i
D．若1 z 2，则点 Z 的集合所构成的图形的面积为
10．箱中装有 5张相同的卡片，分别标有数字 1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次
取 1张卡片． A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”， B表示事件“第二次取出的卡
片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则
A． P(A B) 1 P(B C) 13B．
25
C． A与 B相互独立 D． B与C相互独立
11．定义：设 f (x)是函数 f (x)的导数， f (x)是函数 f (x)的导数，若方程 f (x) 0有实数
解 x0，则称点 (x0 , f (x0 ))为函数 y f (x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都
3 2 5
有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数 f (x) ax bx ，
3
(ab 0)的对称中心为 (1,1)，则下列说法中正确的有
a 1A． ，b 1
3
f ( 1 ) f ( 2B． ) f (
18) 19 f ( )的值是19
10 10 10 10
C．函数 f (x)有三个零点
D．过 ( 1, 1)只可以作两条直线与 y f (x)图象相切
3
数学试题 第 2 页（共 4 页）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．抛物线 y 2x2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 ．
13．已知样本 x1, x2 , , x6的平均数为3，方差为 4，样本 y1, y2 , , y9的平均数为8，方差为 2，
则新样本 x1, x2 , , x6 , y1, y2 , , y9的方差为 ．
1 2
14．在△ABC中， AB CB AC BC BC ，则 tan(B C)的最大值为 ．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13分）
如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个
单位．
（I）求质点移动5次后移动到1的位置的概率；
（II）设移动5次中向右移动的次数为 X ，求 X 的分布列和期望．
16．（本小题满分 15分）
如图，直角梯形 ABCD中， AB //CD， AB BC， DAB 60 ， AB AD 4，等腰
直角三角形 ADE 中，AE DE，且平面 ADE 平面 ABC，平面 ABE与平面CDE交于 EF ．
（I）求证：CD // EF；
（II）若CD EF ，求二面角 A BC F的余弦值．
数学试题 第 3 页（共 4 页）
17．（本小题满分 15分）
已知 a 0，函数 f (x) xe x ax．
（I）证明 f (x)存在唯一的极值点；
（II）若存在 a，使得 f (x) b 2a对任意 x R成立，求实数b的取值范围．
18．（本小题满分 17分）
已知圆M ： (x 1)2 y2 16，动圆D过定点 N (1,0)且与圆M 内切，圆心D的轨迹为曲
线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）曲线C上三个不同的动点 P，E，F 满足 PE与 PF 的倾斜角互补，且 P不与曲线C的顶
点重合，记P关于 x轴的对称点为P ，线段EF 的中点为H ，O为坐标原点，证明：P ，H ，
O三点共线．
19．（本小题满分 17分）
M a a x2 2设集合 y , x Z , y Z ．对于数列 an ，如果 ai M ， (i 1,2,3...)，则
称 an 为“平方差数列”．
（I）已知在数列 an 中， a1 3， (n 1)an nan 1 1．求数列 an 的通项公式，并证明数
列 an 是“平方差数列”；
II n（ ）已知bn 2 ，判断 bn 是否为“平方差数列”？说明理由；
（III）已知数列 cn 为“平方差数列”，求证： cic j M ， (i, j 1,2,3...)．
数学试题 第 4 页（共 4 页）
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数 学 答 案
★选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C A A D B A B AD BCD ABD
★填空题：
7
12. 13.8.8 314.
8 3
★解答题：
15.
5
解：（I）设质点移动到 1为事件 A，则向左移动 2次，向右移动 3次，P(A) C 2 1 55 …………5分
2 16
（II） X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5
1 1 1 5P(X 0) C 0 ( )5 1 5 2 1 5 10 5 ， P(X 1) C5 ， P(X 2) C5 ( ) 2 32 2 32 2 32
P(X 3) C 3(1)5 10 P(X 4) C 4 (1 5
5
55 ， ) ， P(X
1 1
5) C 5
2 32 5 2 32 5
2 32
X 0 1 2 3 4 5
P 1 5 5 5 5 1
32 32 16 16 32 32
…………11分
1
所以期望 E(X ) 0 1 5 2 5 5 5 1 5 3 4 5 …………13分
32 32 16 16 32 32 2
16.
解：（I）∵ AB //CD， AB 平面 ABFE ，CD 平面 ABFE
∴CD //平面 ABFE …………2分
又∵平面 ABE与平面CDE交于 EF ，CD 平面CDE
∴CD // EF …………4分
（II）取 AD中点O，连接OE，OB，BD
∵ DAB 60 ， AB AD 4 ∴△ABD是等边三角形
1
由三线合一得：OB AD …………5分
又∵△ADE是等腰直角三角形
∴OE AD
∵平面 ADE 平面 ABC，平面 ADE 平面 ABC AD
∴OE 底面 ABCD …………6分
∵OB 平面 ABCD
∴OE OB
故OA，OB，OE三线两两垂直 …………7分
以O为坐标原点，分别以OA，OB，OE所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，
A(2,0,0)， B(0,2 3,0)，C( 3, 3,0)，D( 2,0,0)，E(0,0,2) …………8分
∵CD EF 且由第一问得知CD // EF ,
所以四边形CDEF 是平行四边形,
∴可得： F ( 1, 3,2)， …………9分
∴ BC ( 3, 3,0)，CF (2,0,2)
m BC 0 3x 3y 0
设平面 BCF的法向量为m (x, y, z)，则
m CF 0 2x 2z 0
令 x 1，得： y 3， z 1，解得：m (1, 3, 1) …………12分
平面 ABC的法向量为 n (0,0,1)
cos m n m n 5
5 …………14分m n
设二面角 A BC F 5大小为 ，由题意得 为锐角所以 cos …………15分
5
2
17.
解：（I） f (x) (x 1)e x a， f (x) (x 2)e x . …………2分
当 x ( , 2)时， f (x) 0， f (x)单调递减；当 x ( 2, )时， f (x) 0， f (x)单调递增.
…………3分
①当 x 1时， f (x) (x 1)e x a a 0，所以 x 1时 f (x)无零点； …………4分
②当 x 1时而 f ( 1) a 0， f (a) (a 1)ea a (a 1) a 0，
由零点存在定理， x 1时， f (x)有唯一零点m ( 1,a) …………6分
综上， f (x)在 R上存在唯一零点.
所以，当 x ( ,m)时， f (x) 0， f (x)单调递减；当 x (m, )时， f (x) 0， f (x)单调递增.
所以 f (x)存在唯一的极值点m . …………7分
（II）由（I）知 f (x)min f (m)，
此时 f (m) (m 1)em a 0，得 a (m 1)em ,由于 a 0，所以m 1 . …………8分
f (x) b 2a等价于b f (x) 2a，令 h(x) f (x) 2a，则
h(x)min f (m)min 2a me
m am 2a mem m(m 1)em 2(m 1)em ( m2 2m 2)em，m 1
…………10分
令 v(x) ( x2 2x 2)e x , x 1
若存在 a，使得 f (x) b 2a对任意 x R成立，等价于b v(x)max， …………11分
v (x) ( x2 4)e x , x 1
当 x ( 1,2)时， v (x) 0， v(x)单调递增；当 x (2, )时， v (x) 0， v(x)单调递减，
所以 v(x)max v(2) 2e
2
， …………14分
故b 2e2，所以实数b的取值范围 ，2e2 …………15分
3
18.
解：（I）已知圆M 的圆心为M ( 1,0)，半径为 4；设动圆D的圆心为D(x, y)，半径为 R .
DN R, DM 4 R, DM DN 4 MN ,点D的轨迹是以M ,N 分别为左右焦点且长轴为 4的椭
2 2
圆，则曲线C x y的方程为 1 . …………5分
4 3
（II）设 P(x0 , y0 ),E(x1, y1),F (x2 , y2 ),H (x3 , y3), P (x0 , y0 )，由题意 x1 x2 , y1 y2，可知
x 2 y 2 x 2 22x3 x1 x2 ,2y3 y y
1 y
1 2， 1 1, 2 2 1
4 3 4 3
k y1 y2 3(x x ) 3x两式相减得 EF 1 2 3 ,x x 4(y y ) 4y …………7分1 2 1 2 3
而 k
y 4
OH
3
x ，所以
kOH 3k . …………8分3 EF
设直线 PE的方程为 y y0 k(x x0 )，则直线 PF 的方程为 y y0 k(x x0 )，
x2 y2
将 PE的方程代入 1得
4 3
（3 4k 2 )x2 8k(y 20 kx0 )x 4(y0 kx0 ) 12 0 ①
x x x x 4(y0 kx )
2 12
0是方程①的一个根，
0
0 1 ② …………10分3 4k 2
2
同理可得 x0x
4(y
0
kx0 ) 12
2 ③ …………11分3 4k 2
② ③得 x0 (x1 x
16kx0 y0
2 ) 2 ④3 4k
2 2 2
② ③得 x0 (x1 x2 )
8(y0 k x 0 ) 24 ⑤
3 4k 2
k y1 y2 k(x1 x0 ) y0 k(x2 x0 ) y0 k(x1 x
2
2
) 2kx0 kx0 (x1 x2 ) 2kx0
EF x1 x2 x
⑥
1 x2 x1 x2 x0 (x1 x2 )
k 8(y
2 k 2x 20 0 ) 2kx 2 2
k 3 4k
2 0 8y0 24 6x
2
把④⑤代入⑥，得 0EF ⑦ 16kx0 y
0 16kx0 y0
3 4k 2
4
x 20 y
2
显然 0 1 2，得8y0 24 6x
2
0 ⑧4 3
12x 2 3x
把⑧代入⑦，得 k 0 0EF …………14分 16kx0 y0 4y0
y0 4
而 kOP x ，所以
kOP 3k …………15分0 EF
4
又∵ kOH kOP k3k OH …………16分EF
即 P ,H ,O三点共线. …………17分
19.
解：（I）由 (n 1)an nan 1 1，得 (n 2)an 1 (n 1)an 2 1，
两式相减，得 (2n 2)an 1 (n 1)(an 2 an )，即 2an 1 an 2 an，
所以数列 an 是等差数列.
a1 3
由 ，得 a2 5，所以公差d a2a a 1 2
a1 2，
1 2
故 an a1 (n 1)d 2n 1，即 an 2n 1 . …………5分
又因为 2n 1 (n 1)2 n2 ， n 1 Z ,n Z，
所以 2n 1 M ,即数列 an 是“平方差数列” …………7分
（II） bn 不是“平方差数列”。 …………8分
a x2 y2 (x y)(x y)， x Z , y Z
①当 x, y均为奇数时， x y, x y均为偶数，则 a被 4整除；
②当 x, y均为偶数时， x y, x y均为偶数，则 a被 4整除；
③当 x, y一奇一偶时， x y, x y均为奇数，则 a为奇数；
综上，集合M中的元素要么被 4整除要么为奇数，
所以b1 2 M .
所以 bn 不是“平方差数列” …………12分
5
（III）法一：因为 4n (2n 1)2 （2n 1）2，2n 1 Z ,2n 1 Z ，所以 4n M ,即被 4整除的数都属于
M 。
令 A x x 2k 1,k Z ， B x x 4k ,k Z ，C x x 4k 2,k Z ,
结合（I）（II）得， A B M ，所以所有奇数与被 4整除的数都属于M
由题意， ci M ,c j M
①当 ci ,c j 均为奇数时， cic j 为奇数，则 cic j M ；
②当 ci ,c j 至少有一个被 4整除时， cic j 被 4整除，则 cic j M ；
综上， cic j M 。 …………17分
法二：由题意， ci M ,c j M
2 2
设， ci x1 y1 ,c j x
2
2 y
2
2 ， x1, y1, x2 , y2 Z，则
c 2 2 2ic j (x1 y1 )(x2 y
2 2 2
2 ) (x1 x2 y
2 y 2 ) (x 2 y 2 x 2 21 2 1 2 2 y1 )
(x 2 2 2 2 2 2 21 x2 2x1x2 y1y2 y1 y2 ) (x1 y2 2x1x2 y1y2 x2 y
2
1 )
(x1x2 y1y2 )
2 (x 21y2 x2 y1) M
所以， cic j M 。 …………17分
6
