广东省茂名市高州市第一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·高州开学考）如图，在菱形中，E是的中点，F是的中点，连接．如果，那么的长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．（2024九上·高州开学考）如图，在□ABCD中，对角线相交于点，，若要使□ABCD为矩形，则的长应该为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024九上·高州开学考）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．
4．（2024九上·高州开学考）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15
C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15
5．（2024九上·高州开学考）若，且，则m的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024九上·高州开学考）若不等式组的解集为，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
7．（2024九上·高州开学考）将多项式分解因式正确的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·高州开学考）如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．2560 B．490 C．70 D．49
9．（2024九上·高州开学考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·高州开学考）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024九上·高州开学考）现定义一种新的运算： ，例如： ，则不等式 的解集为 .
12．（2024九上·高州开学考）将分解因式的结果为 ．
13．（2024九上·高州开学考）一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空.商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元.则两次共购进这种太阳伞 把.
14．（2024九上·高州开学考）已知 是关于x的一元二次方程，则m可取的值是 .
15．（2024九上·高州开学考）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是 ．
16．（2024九上·高州开学考）如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为 ．
17．（2024九上·高州开学考）（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
（2）分解因式：．
18．（2024九上·高州开学考）（1）计算：；
（2）化简：．
19．（2024九上·高州开学考）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
20．（2024九上·高州开学考）如图，直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），直线l1，l2交于点C（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集．
21．（2024九上·高州开学考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
22．（2024九上·高州开学考）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准备购进两种型号的兔子挂件．已知用160元购进型号兔子挂件的数量和用100元购买型号兔子挂件的数量相等，且型号兔子挂件比型号兔子挂件每件贵15元．
（1）该商店购进两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
（2）该商店计划购进两种型号的兔子挂件共50件，且两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则型号兔子挂件至少要购进多少件？
23．（2024九上·高州开学考）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）请回答：若D为中点时，则当的度数为 时，四边形是正方形．（不用写理由）
24．（2024九上·高州开学考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
（4）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，E是的中点，F是的中点，
=8，
四边形是菱形，
．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得BC=8，再根据菱形的四边相等即可求解．
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD是矩形，
∴CA=2OA=4，DB=2OB，AC=BD，
∴OA=OB=2．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得CA=2OA=4，DB=2OB，AC=BD，从而可得OA=OB=2．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
且
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求出k的取值范围即可。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣0.5x）=15，
故选：A．
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴m－2＜0，
解得：m＜2，
纵观各选项，m可能为1．
故答案为：A．
【分析】由不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变得m－2＜0，求解可得m的取值范围.
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】把字母a、b作为常数，先解不等式组中的每一个不等式，根据该不等式解集得a+2=-1，b-1=3，求解得出a、b的值再代入代数式计算即可．
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】此题是关于字母x的二次三项式，由于二次项系数为1，常数-12=-2×6，一次项系数4=-2+6，从而利用十字相乘法分解即可．
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴，，
∴
．
故答案为：B．
【分析】利用长方形面积公式得到ab=10，由周长公式得到a+b=7，进而将待求式子利用提取公因式法分解因式后再利用完全平方公式进行第二次分解，最后整体代入求值即可．
9．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】利用分式的乘法计算方法求解即可。
10．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，
根据题意列方程为： ．
故答案为：A
【分析】设平均亩产量为x，根据种植亩数比原来减少了10亩，列出方程，解出x的值即可。
11．【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】根据题意知：（﹣2）2﹣2x≥0，
﹣2x≥﹣4，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据题干给的定义计算即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提取各项的公因式x，再用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．【答案】600
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设商场第一批购进x把太阳伞，根据题意得
，
解之：x=200，
经检验x=200是方程的解，
∴x+2x=3x=3×200=600.
故答案为：600.
【分析】此题的等量关系为：商场第二批购进太阳伞的数量=商场第一批购进太阳伞的数量×2；8000÷商场第二批购进太阳伞的数量-3200÷商场第一批购进太阳伞的数量=4；再设未知数，列方程求出方程的解，然后求出两次共购进这种太阳伞的数量即可.
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得：
，解得： ，
故答案为：-2.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高指数是2，二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，根据定义即可列出关于m的混合组，求解即可.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据正方形四个角都是直角，四条边都相等得，根据等边三角形三条边都相等，三个内角都等于60°得，推出，根据等边对等角得出，最后根据三角形的内角和定理求解即可．
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵四边形是矩形，
∴∠ABC=90°，，，，
∴，，
∵，BC=8，
∴，，
∴，OB=OC=5，
∵
∴．
故答案为：．
【分析】连接OP，由矩形性质得∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，由等底同高三角形面积相等得S△BOC=S△AOB，由勾股定理算出AC从而可得OB、OC的长，然后根据矩形性质得，最后结合建立方程，求解即可.
17．【答案】解：（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是；
解集表示在数轴上如下：
（2）
.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可；
（2）直接利用提公因式法分解因式即可．
18．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据立方根定义、负整数指数幂性质“”、零次幂的性质“a0=1(a≠0)”分别计算，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先通分计算括号内异分母分式的减法，并把除式的分子利用完全平方公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简即可.
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，，，，
，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此题是一元二次方程的一般形式，二次项的系数为1，且一次项系数是偶数，故利用配方法求解较为简单；首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根即可.
（1）解：，
，
，
，
，
∴，；
（2），
，，，
，
∴，
∴，．
20．【答案】解：（1）把代入，
得，
解得，
即的值是2；
（2）把，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
（3）kx+b＜2x﹣2的解集为x＞2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）由图象可得kx+b＜2x﹣2的解集为x＞2.
【分析】（1）根据直线上点的坐标特点，将 C（m，2） 代入y=2x-2，可以求得m的值；
（2）将B、C两点的坐标分别代入y=kx+b，可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而即可得到直线l2的解析式；
（3）根据图象求关于字母x的不等式kx+b＜2x﹣2的解集，就是求直线l2的图象在l1的图象的下方部分相应的自变量的取值范围.
21．【答案】解：（1）∵S△PCQ2t（16﹣4t），S△ABC8×16=64，
∴2t（16﹣4t）=64，
整理得：t2﹣4t+4=0，
解得：t=2．
答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；
（2） △PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
假设△PCQ的面积能与四边形ABPQ面积相等，则有S△PCQS△ABC，
∴2t（16﹣4t）=64，
整理得：t2﹣4t+8=0，
△=（﹣4）2﹣4×1×8=﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据路程、速度、时间三者的关系得PC=2tcm，AQ=4tcm，则CQ=（16-4t）cm，根据三角形的面积公式求出出△ABC面积，及△PCQ的面积，然后根据“ △PCQ的面积是△ABC面积的 ”列出方程解答即可；
（2）假设△PCQ的面积能与四边形ABPQ面积相等，则有S△PCQS△ABC，据此列出方程，然后根据根的判别式判断该方程无解从而可得结论.
22．【答案】（1）解：设A型号兔子挂件每件进价元，则B型号兔子挂件每件进价元，
根据题意得：，
解得，
经检验x=40是原方程的根，且适合题意，
∴，
答：型号兔子挂件每件进价40元，型号兔子挂件每件进价25元；
（2）解：设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50-m)件，
由题意得，解得，
答：型号兔子挂件至少要购进21件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x-15)元，根据总价除以单价等于数量及用160元购进A型号兔子挂件的数量和用100元购买B型号兔子挂件的数量相等，解方程即可；
（2）设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50-m)件，根据单件利润乘以数量=总利润及两种挂件利润之和大于310列出不等式，解不等式求出最小整数解即可．
（1）解：设型号兔子挂件每件进价元，则型号兔子挂件每件进价元，根据题意得：
，解得，
∴，
答：型号兔子挂件每件进价40元，型号兔子挂件每件进价25元；
（2）解：设购进型号兔子挂件件，则购进型号的兔子挂件件，得：
，解得，
答：型号兔子挂件至少要购进21件．
23．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形CDBE是菱形，理由如下：
∵D为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，D为的中点，
．
四边形是菱形；
（3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3），，
，
．
D为的中点，
，
．
又四边形是菱形，
四边形是正方形．
当时，四边形是正方形．
故答案为：45°.
【分析】（1）由同位角相等量直线平行得AC∥DE，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ADEC是平行四边形，进而根据平行四边形的对边相等可得结论；
（2）结合中点定义及（1）的结论可得BD=CE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形CDBE为平行四边形，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得CD=BD，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（3）根据等腰直角三角形性质得∠CDB=90°，然后根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论.
（1）证明：，，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：D为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，D为的中点，
．
四边形是菱形．
（3）解：，，
，
．
D为的中点，
，
．
又四边形是菱形，
四边形是正方形．
当时，四边形是正方形．
24．【答案】（1）解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵，要，
∴四边形PQDC为平行四边形，
∴DP＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4，
即t＝4时，PQCD；
（2）解：不存在，理由：
∵四边形PQCD是菱形，
∴CQ＝CD，
∴2t＝10，
∴t＝5，
此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm），
而DP≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形；
（3）解：如图4，∵∠B＝90°，ADBC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
即t＝18﹣2t，
解得：t＝6，
∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形；
（4）解：不存在，理由如下：
由当t＝6时，四边形PQBA是矩形，
∴AP＝6cm，
∵AB＝8cm，
∴AP≠AB，
∴矩形PQBA不能是正方形，
即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）由路程、速度、时间三者的关系得AP＝tcm，CQ＝2tcm，则DP＝（12﹣t）cm，根据两组对边平行得四边形是平行四边形及平行四边形的对边相等可得DP=CQ，据此建立方程，求解即可；
（2）根据菱形四边相等可得CQ=CD，据此建立方程求出t的值，在此基础上判断出DP≠CD，即可；
（3）根据有一个是直角的平行四边形是矩形，结合已知条件可得AP=BQ，据此建立方程，求解即可；
（4）根据有一组邻边相等得矩形是正方形求解即可.
（1）解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵，要，
∴四边形CDPQ为平行四边形，
∴DP＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4，
即t＝4时，PQCD；
（2）不存在，理由：
∵四边形PQCD是菱形，
∴CQ＝CD，
∴2t＝10，
∴t＝5，
此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm），
而DP≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形；
（3）如图4，∵∠B＝90°，ADBC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
即t＝18﹣2t，
解得：t＝6，
∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形；
（4）由当t＝6时，四边形PQBA是矩形，
∴AP＝6cm，
∵AB＝8cm，
∴AP≠AB，
∴矩形PQBA不能是正方形，
即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形．
广东省茂名市高州市第一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·高州开学考）如图，在菱形中，E是的中点，F是的中点，连接．如果，那么的长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，E是的中点，F是的中点，
=8，
四边形是菱形，
．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得BC=8，再根据菱形的四边相等即可求解．
2．（2024九上·高州开学考）如图，在□ABCD中，对角线相交于点，，若要使□ABCD为矩形，则的长应该为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD是矩形，
∴CA=2OA=4，DB=2OB，AC=BD，
∴OA=OB=2．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得CA=2OA=4，DB=2OB，AC=BD，从而可得OA=OB=2．
3．（2024九上·高州开学考）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
且
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求出k的取值范围即可。
4．（2024九上·高州开学考）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15
C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣0.5x）=15，
故选：A．
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．
5．（2024九上·高州开学考）若，且，则m的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴m－2＜0，
解得：m＜2，
纵观各选项，m可能为1．
故答案为：A．
【分析】由不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变得m－2＜0，求解可得m的取值范围.
6．（2024九上·高州开学考）若不等式组的解集为，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】把字母a、b作为常数，先解不等式组中的每一个不等式，根据该不等式解集得a+2=-1，b-1=3，求解得出a、b的值再代入代数式计算即可．
7．（2024九上·高州开学考）将多项式分解因式正确的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】此题是关于字母x的二次三项式，由于二次项系数为1，常数-12=-2×6，一次项系数4=-2+6，从而利用十字相乘法分解即可．
8．（2024九上·高州开学考）如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．2560 B．490 C．70 D．49
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴，，
∴
．
故答案为：B．
【分析】利用长方形面积公式得到ab=10，由周长公式得到a+b=7，进而将待求式子利用提取公因式法分解因式后再利用完全平方公式进行第二次分解，最后整体代入求值即可．
9．（2024九上·高州开学考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】利用分式的乘法计算方法求解即可。
10．（2024九上·高州开学考）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，
根据题意列方程为： ．
故答案为：A
【分析】设平均亩产量为x，根据种植亩数比原来减少了10亩，列出方程，解出x的值即可。
11．（2024九上·高州开学考）现定义一种新的运算： ，例如： ，则不等式 的解集为 .
【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】根据题意知：（﹣2）2﹣2x≥0，
﹣2x≥﹣4，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据题干给的定义计算即可。
12．（2024九上·高州开学考）将分解因式的结果为 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提取各项的公因式x，再用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．（2024九上·高州开学考）一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空.商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元.则两次共购进这种太阳伞 把.
【答案】600
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设商场第一批购进x把太阳伞，根据题意得
，
解之：x=200，
经检验x=200是方程的解，
∴x+2x=3x=3×200=600.
故答案为：600.
【分析】此题的等量关系为：商场第二批购进太阳伞的数量=商场第一批购进太阳伞的数量×2；8000÷商场第二批购进太阳伞的数量-3200÷商场第一批购进太阳伞的数量=4；再设未知数，列方程求出方程的解，然后求出两次共购进这种太阳伞的数量即可.
14．（2024九上·高州开学考）已知 是关于x的一元二次方程，则m可取的值是 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得：
，解得： ，
故答案为：-2.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高指数是2，二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，根据定义即可列出关于m的混合组，求解即可.
15．（2024九上·高州开学考）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据正方形四个角都是直角，四条边都相等得，根据等边三角形三条边都相等，三个内角都等于60°得，推出，根据等边对等角得出，最后根据三角形的内角和定理求解即可．
16．（2024九上·高州开学考）如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵四边形是矩形，
∴∠ABC=90°，，，，
∴，，
∵，BC=8，
∴，，
∴，OB=OC=5，
∵
∴．
故答案为：．
【分析】连接OP，由矩形性质得∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，由等底同高三角形面积相等得S△BOC=S△AOB，由勾股定理算出AC从而可得OB、OC的长，然后根据矩形性质得，最后结合建立方程，求解即可.
17．（2024九上·高州开学考）（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
（2）分解因式：．
【答案】解：（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是；
解集表示在数轴上如下：
（2）
.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可；
（2）直接利用提公因式法分解因式即可．
18．（2024九上·高州开学考）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据立方根定义、负整数指数幂性质“”、零次幂的性质“a0=1(a≠0)”分别计算，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先通分计算括号内异分母分式的减法，并把除式的分子利用完全平方公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简即可.
19．（2024九上·高州开学考）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，，，，
，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此题是一元二次方程的一般形式，二次项的系数为1，且一次项系数是偶数，故利用配方法求解较为简单；首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根即可.
（1）解：，
，
，
，
，
∴，；
（2），
，，，
，
∴，
∴，．
20．（2024九上·高州开学考）如图，直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），直线l1，l2交于点C（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集．
【答案】解：（1）把代入，
得，
解得，
即的值是2；
（2）把，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
（3）kx+b＜2x﹣2的解集为x＞2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）由图象可得kx+b＜2x﹣2的解集为x＞2.
【分析】（1）根据直线上点的坐标特点，将 C（m，2） 代入y=2x-2，可以求得m的值；
（2）将B、C两点的坐标分别代入y=kx+b，可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而即可得到直线l2的解析式；
（3）根据图象求关于字母x的不等式kx+b＜2x﹣2的解集，就是求直线l2的图象在l1的图象的下方部分相应的自变量的取值范围.
21．（2024九上·高州开学考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【答案】解：（1）∵S△PCQ2t（16﹣4t），S△ABC8×16=64，
∴2t（16﹣4t）=64，
整理得：t2﹣4t+4=0，
解得：t=2．
答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；
（2） △PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
假设△PCQ的面积能与四边形ABPQ面积相等，则有S△PCQS△ABC，
∴2t（16﹣4t）=64，
整理得：t2﹣4t+8=0，
△=（﹣4）2﹣4×1×8=﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据路程、速度、时间三者的关系得PC=2tcm，AQ=4tcm，则CQ=（16-4t）cm，根据三角形的面积公式求出出△ABC面积，及△PCQ的面积，然后根据“ △PCQ的面积是△ABC面积的 ”列出方程解答即可；
（2）假设△PCQ的面积能与四边形ABPQ面积相等，则有S△PCQS△ABC，据此列出方程，然后根据根的判别式判断该方程无解从而可得结论.
22．（2024九上·高州开学考）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准备购进两种型号的兔子挂件．已知用160元购进型号兔子挂件的数量和用100元购买型号兔子挂件的数量相等，且型号兔子挂件比型号兔子挂件每件贵15元．
（1）该商店购进两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
（2）该商店计划购进两种型号的兔子挂件共50件，且两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则型号兔子挂件至少要购进多少件？
【答案】（1）解：设A型号兔子挂件每件进价元，则B型号兔子挂件每件进价元，
根据题意得：，
解得，
经检验x=40是原方程的根，且适合题意，
∴，
答：型号兔子挂件每件进价40元，型号兔子挂件每件进价25元；
（2）解：设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50-m)件，
由题意得，解得，
答：型号兔子挂件至少要购进21件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x-15)元，根据总价除以单价等于数量及用160元购进A型号兔子挂件的数量和用100元购买B型号兔子挂件的数量相等，解方程即可；
（2）设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50-m)件，根据单件利润乘以数量=总利润及两种挂件利润之和大于310列出不等式，解不等式求出最小整数解即可．
（1）解：设型号兔子挂件每件进价元，则型号兔子挂件每件进价元，根据题意得：
，解得，
∴，
答：型号兔子挂件每件进价40元，型号兔子挂件每件进价25元；
（2）解：设购进型号兔子挂件件，则购进型号的兔子挂件件，得：
，解得，
答：型号兔子挂件至少要购进21件．
23．（2024九上·高州开学考）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）请回答：若D为中点时，则当的度数为 时，四边形是正方形．（不用写理由）
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形CDBE是菱形，理由如下：
∵D为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，D为的中点，
．
四边形是菱形；
（3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3），，
，
．
D为的中点，
，
．
又四边形是菱形，
四边形是正方形．
当时，四边形是正方形．
故答案为：45°.
【分析】（1）由同位角相等量直线平行得AC∥DE，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ADEC是平行四边形，进而根据平行四边形的对边相等可得结论；
（2）结合中点定义及（1）的结论可得BD=CE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形CDBE为平行四边形，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得CD=BD，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（3）根据等腰直角三角形性质得∠CDB=90°，然后根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论.
（1）证明：，，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：D为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，D为的中点，
．
四边形是菱形．
（3）解：，，
，
．
D为的中点，
，
．
又四边形是菱形，
四边形是正方形．
当时，四边形是正方形．
24．（2024九上·高州开学考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
（4）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵，要，
∴四边形PQDC为平行四边形，
∴DP＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4，
即t＝4时，PQCD；
（2）解：不存在，理由：
∵四边形PQCD是菱形，
∴CQ＝CD，
∴2t＝10，
∴t＝5，
此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm），
而DP≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形；
（3）解：如图4，∵∠B＝90°，ADBC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
即t＝18﹣2t，
解得：t＝6，
∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形；
（4）解：不存在，理由如下：
由当t＝6时，四边形PQBA是矩形，
∴AP＝6cm，
∵AB＝8cm，
∴AP≠AB，
∴矩形PQBA不能是正方形，
即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）由路程、速度、时间三者的关系得AP＝tcm，CQ＝2tcm，则DP＝（12﹣t）cm，根据两组对边平行得四边形是平行四边形及平行四边形的对边相等可得DP=CQ，据此建立方程，求解即可；
（2）根据菱形四边相等可得CQ=CD，据此建立方程求出t的值，在此基础上判断出DP≠CD，即可；
（3）根据有一个是直角的平行四边形是矩形，结合已知条件可得AP=BQ，据此建立方程，求解即可；
（4）根据有一组邻边相等得矩形是正方形求解即可.
（1）解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵，要，
∴四边形CDPQ为平行四边形，
∴DP＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4，
即t＝4时，PQCD；
（2）不存在，理由：
∵四边形PQCD是菱形，
∴CQ＝CD，
∴2t＝10，
∴t＝5，
此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm），
而DP≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形；
（3）如图4，∵∠B＝90°，ADBC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
即t＝18﹣2t，
解得：t＝6，
∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形；
（4）由当t＝6时，四边形PQBA是矩形，
∴AP＝6cm，
∵AB＝8cm，
∴AP≠AB，
∴矩形PQBA不能是正方形，
即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形．
