第3讲 力与曲线运动
题型1曲线运动的性质和特点
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1．条件
F合与v的方向不在同一直线上，或加速度方向与速度方向不共线．
2．性质
(1)F合恒定：做匀变速曲线运动．
(2)F合不恒定：做非匀变速曲线运动．
3．速度方向： 沿轨迹切线方向．
4．合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧．
二、规律方法提炼
1．合运动与分运动
物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成
2．合运动的性质
根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质．
3．运动的合成与分解
指速度、位移、加速度等的合成与分解，遵守平行四边形定则．
[例题1] （2022 温州三模）如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图，乙图是其示意图。比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先后经过A、P、B、C、D五点。运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【解答】解：根据曲线运动速度的特点：曲线运动某一点速度的方向沿该点切线的方向，可以画出各点速度的方向大体如图，可知A点速度的方向与经过P点的速度方向最接近。故A正确，BCD错误。
故选：A。
[例题2] （2024 宁夏模拟）如图所示为运动员用脚背接触球面带动足球旋转，足球两侧的压力差使足球在空中做曲线运动（即高难度的“香蕉球”），并射门成功。以下说法正确的是（ ）
A．足球在运动轨迹的最高点处于平衡状态
B．研究足球的旋转对轨迹的影响，可以将足球看成质点
C．足球在空中运动过程中，所受合力方向总指向球门方向
D．足球在空中运动过程中，速度方向与加速度方向不在同一直线上
【解答】解：A.足球在最高点时受到重力及多个方向空气阻力的作用，且这些力并不能完全相互抵消，因此未处于平衡状态，故A错误；
B.研究足球的旋转时与足球的形状有关，因此不可将足球看作质点，故B错误；
C.曲线运动的物体所受合力方向指向运动轨迹凹陷的一侧，因此足球所受的合力并非指向球门，故C错误；
D.物体做曲线运动的条件即为加速度方向与速度方向不在同一直线上，由题知足球的运动过程为曲线运动，因此速度方向与加速度方向不在同一直线上，故D正确。
故选：D。
[例题3] （2024 金台区模拟）我国研制的“威龙”J﹣20是高性能五代歼击机，它在空中能做连续的开普勒抛物线飞行，飞机飞行的轨迹从左向右运动，图中各点的速度与飞机所受合力的方向可能正确的（ ）
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点
【解答】解：由于曲线运动的速度方向沿轨迹上该点的切线方向，合外力应指向曲线的内侧，故ACD错误，B正确
故选：B。
[例题4] （2024 贵州模拟）曲线运动是常见的运动形式。图甲中投出的篮球在空中做曲线运动，图乙是中国（珠海）航展中飞机飞行表演的精彩镜头。关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体，其速度方向一定变化
B．做曲线运动的物体，其速度大小一定变化
C．物体受恒力作用，不可能做曲线运动
D．物体受变力作用，一定做曲线运动
【解答】解：A、做曲线运动的物体，速度方向沿轨迹的切线方向，是一定变化的，故A正确；
B、做曲线运动的物体，速度大小不一定变化，如匀速圆周运动，故B错误；
C、物体受恒力作用时，若恒力的方向和速度方向不在一条直线上，物体做曲线运动，故C错误；
D、物体受到变力的作用不一定做曲线运动，如简谐振动力的方向做周期性的变化，但是直线运动，故D错误。
故选：A。
[例题5] （2024 浙江模拟）如图所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设圆周与上木板的接触点为P，圆心为O，角的顶点为A，连接AO，AP之间的距离为x，将圆心的速度分解为板的速度和圆上P点的速度，如图所示
由几何关系有
由运动的合成与分解有
v板＝vsinθ
板的角速度为
解得
故B正确，ACD错误。
故选：B。
题型2平抛运动规律的应用
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1．位移关系：
位移方向偏转角tan α＝.
2．速度关系：
速度方向偏转角tan θ＝＝＝2tan α.
分析题目条件是位移(方向)关系，还是速度(方向)关系，选择合适的关系式解题．
二、规律方法提炼
1．基本思路
处理平抛(或类平抛)运动时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动．
2．两个突破口
(1)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值．
(2)若平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．
[例题6] （2024 浙江二模）如图为2023年杭州亚运会中国女排队员比赛中高抛发球的瞬间，若球离开手时正好在底线中点正上方3.50m处，速度方向水平且与底线垂直。已知每边球场的长和宽均为9m，球网高2.25m，不计空气阻力（g＝10m/s2，）。为了使球能落到对方场地，下列发球速度大小可行的是（ ）
A．14m/s B．17m/s C．20m/s D．23m/s
【解答】解：排球做平抛运动，设球刚好过网所用时间为t1，发球速度为v1，则球在竖直方向的位移h1为发球高度减去球网高度，水平方向位移x1为9m，则球下落的高度为
x1＝v1t1
代入数据解得排球能过网的最小速度为
v1＝18m/s
设球刚好落在对方底线中点所用时间为t2，发球速度为v2，则
x2＝9+9m＝v2t2
解得排球落在界内的最大速度为
v2≈21.4m/s
综上所述，为了使球能落到对方场地，排球的速度范围为
18m/s＜v≤21.4m/s，故C正确，ABD错误。
故选：C。
[例题7] （2024 金东区校级模拟）如图所示，甲同学在地面上将排球以速度v1击出，排球沿轨迹①运动；经过最高点后，乙同学跳起将排球以水平速度v2击回，排球沿轨迹②运动，恰好落回出发点。忽略空气阻力，则排球（ ）
A．沿轨迹②运动的最大速度可能为v1
B．沿轨迹①运动的最小速度为v2
C．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
D．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小可能相同
【解答】解：AB.根据图像可知，轨迹①最高点大于轨迹②最高点，分析在最高点往左运动，根据平抛规律可知
轨迹①运动时间长，但水平位移小，所以轨迹①水平分速度小；
竖直分速度 v2＝2gh 轨迹①的大，所以沿轨迹②运动的最大速度可能为v1，沿轨迹①运动的最小速度即水平速度，小于v2，故A正确，B错误；
C.沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量Δv＝gΔt不同，因为运动时间不同，故C错误；
D.沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小不同，因为位移大小相同，但时间不同，故D错误。
故选：A。
[例题8] （2024 浙江二模）如图在水平地面上放置一边长为0.8m的正方形水箱，一水管可在ABCD面内绕A点转动θ≤90°，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为2.5m/s，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，则（ ）
A．任何方向喷出的水柱都能打到DCGH或CGFB侧面
B．水在空中运动时间的最大值为
C．空中运动的水的质量最大值为0.5kg
D．若保持θ不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短
【解答】解：AB．根据平抛规律，假设全都落在水平面上，则在竖直方向上做自由落体运动
水平方向上做匀速直线运动，
x＝v0t
联立解得
t＝0.4s，x＝1m
而由几何关系可知
所以不是所有方向喷出的水都能达到DCGH或CGFB侧面，水在空中运动时间的最大值为t＝0.4s，AB错误；
C．水流量
水质量最大值m＝ρQt＝1.0×103×1.25×10﹣3×0.4kg＝0.5kg
C正确；
D．若保持θ与AD边一个较小的角或者与AB边一个较小的角不变，使喷出的水打到侧面一个较高位置处，则随着液面上升，水在空中运动的时长先不变，然后再减小，D错误。
故选：C。
[例题9] （2024 西湖区校级模拟）如图所示，某环保人员在一次检查时发现一根圆形排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，管口离水面的高度为h，环保人员测量出管口中空直径为D，污水从管口落到水面的水平位移为x，该管道的排污流量为Q（流量为单位时间内流体通过某横截面的体积，流量Q＝Sv，S为横截面的面积，v为液体的流动速度）。若不计一切阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．污水流速越快，水从出管口到抛入水面的时间越长
B．污水流速越快，留在空中水的体积越小
C．管道的排污流量为
D．污水抛入水面时速度方向可能与水面垂直
【解答】解：A、根据平抛运动规律可知，污水到达水面的时间，由高度决定，与流速无关，故A错误；
B、污水流速越快，一定时间内流出水的体积越大，故B错误；
C、流速v，因为Q＝Sv，所以Q，故C正确；
D、由于污水有初速度，最终速度必不与水面垂直，故D错误。
故选：C。
[例题10] （2024 浙江模拟）“晨阳”杯篮球赛中，奔跑中的小硕想传球给站在侧面无人防守的小轩，已知二人的位置与小硕的速度v方向如图所示，不计空气阻力，则小硕要将球传给小轩（ ）
A．应该让球沿着1的方向抛出
B．应该让球沿着2的方向抛出
C．应该让球沿着3的方向抛出
D．应该让球沿着4的方向抛出
【解答】解：由于小硕具有向右的速度v，球与小硕具有相同的速度，为使静止的小轩接到球，则需要抵消篮球原有的速度，所以应该让求沿着1的方向抛出，故A正确，BCD错误。
故选：A。
题型3圆周运动问题
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1．物理量间的关系
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2．三种传动方式
(1)皮带传动、摩擦传动：两轮边缘线速度大小相等
(2)同轴转动：轮上各点角速度相等
二、规律方法提炼
1．基本思路
(1)进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心、轨道平面以及半径．
(2)列出正确的动力学方程F＝m＝mrω2＝mωv＝mr.
2．技巧方法
(1)竖直平面内圆周运动的最高点和最低点的速度通常利用动能定理来建立联系；
(2)最高点和最低点利用牛顿第二定律进行动力学分析．
3．两种模型
(1)绳球模型：小球能通过最高点的条件是v≥.
(2)杆球模型：小球能到达最高点的条件是v≥0.
[例题11] （2024 宁波二模）如图所示，厨师在展示厨艺时，将蛋糕放置在一水平托盘上，并控制托盘做竖直平面内半径为R的匀速圆周运动，托盘始终保持水平。蛋糕可视为质点，与托盘之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若蛋糕始终与托盘保持相对静止，则托盘做匀速圆周运动的最大速率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：蛋糕转至左上或右上两侧时，且当摩擦力达到最大静摩擦力时，托盘做匀速圆周运动的速率最大，设托盘给蛋糕最大静摩擦力为f，支持力为N，对于右上方或左上方可以得到
又f＝μN
两个式联立可以解得，当时，速度有最大值，则解得
故B正确，ACD错误。
故选：B。
[例题12] （2024 镇海区校级模拟）在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的通信卫星A，其公转周期约为4h，对地球赤道信号覆盖的最大张角α＝60°。有一人静立在赤道上（图中未画出），并用华为手机进行卫星通话，那么能一次连续通过卫星A直接进行信号传递的最长时间约为（ ）
A．0.67h B．0.8h C．1.6h D．4h
【解答】解：地球自转周期为T＝24h，则人随地球转动的角速度为ω人
卫星A的公转周期约为TA＝4h，则卫星A的角速度为ωA
结合几何关系可知，设能一次连续通过卫星A直接进行信号传递的最长时间为t，则卫星A与人转动的角度之差Δθ＝180°﹣60°＝120°
则有
解得：t＝1.6h，故ABD错误，C正确。
故选：C。
[例题13] （2024 浙江模拟）如图所示，ABC为在竖直平面内的金属半圆环，AC为其水平直径，AB为固定的直金属棒，在金属棒上和半圆环的BC部分分别套着两个完全相同的小球M、N（视为质点），B固定在半圆环的最低点。现让半圆环绕对称轴以角速度ω＝25rad/s匀速转动，两小球与半圆环恰好保持相对静止。已知半圆环的半径R＝1m，金属棒和半圆环均光滑，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列选项正确的是（ ）
A．N、M两小球做圆周运动的线速度大小之比为1：
B．N、M两小球做圆周运动的线速度大小之比1：
C．若稍微增大半圆环的角速度，小环M稍许靠近A点，小环N将到达C点
D．若稍微增大半圆环的角速度，小环M将到达A点，小环N将稍许靠近C点
【解答】解：AB、金属棒AB与竖直方向夹角为45°，小球M受到重力和杆的支持力，在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，则有：
FN＝mgtan45°＝mωvM，解得：
设半圆环的圆心为O，NO与竖直方向之间的夹角为θ，对小球N，同理可得：
FN′＝mgtanθ＝mωvN，解得：vN
又：FN′＝mω2r，r＝Rsinθ
联立解得：vN
则：，故AB错误；
CD、设半圆环的圆心为O，NO与竖直方向之间的夹角为θ，对小球N，由牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mω2rN
rN＝Rsinθ
解得：
可见当ω稍微增大时，cosθ会减小，θ增大，小球N将向C靠近，当ω趋近无穷大，θ会趋近90°，即稍微增大半圆环的角速度，小环N将靠近C点而不会到达C点。
对于小球M，由牛顿第二定律得：
mgtan45°＝mω2rM，
rM＝Rsinβ，β是MO与竖直方向的夹角，
g＝mω2Rsinβ，
可见小球M做匀速圆周运动时向心力大小是一定的，即为mgtan45°，当角速度增大时，所需要的向心力增大，所能提供的向心力一定，小于小球M所需要的向心力，M将做离心运动，则圆周运动半径rM将变大，所需向心力更大，故小球M将一直离心运动直到到达A点。故C错误，D正确；
故选：D。
[例题14] （2024 镇海区校级模拟）如图半径为L的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，下列说法不正确的是（ ）
A．经过最低点时小球可能处于失重状态
B．经过最高点Z时小球可能处于完全失重状态
C．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点Z的速度v最小值为0
D．若经过最高点Z的速度v增大，小球在Z点对管壁压力可能减小
【解答】解：A.小球在最低点，加速度向上，则小球处于超重状态，故A错误；
B.小球经过最高点P时，若对轨道的压力为零，则重力完全提供向心力，小球处于完全失重状态，故B正确；
C.由于在最高点圆管能支撑小球，所以速度的最小值为零，故C正确；
D.若过最高点的速度较小，则在P点，小球在P点对管壁压力向下，轨道对小球有向上的弹力，根据牛顿第二定律可得
mg﹣F＝m
此时经过最高点P的速度增大，小球在P点和管壁的作用力减小，故D正确。
本题选不正确的，故选：A。
[例题15] （2024 温州二模）如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运动轨迹可视作半径为R的水平圆周。航母在圆周运动中，船身发生了向外侧倾斜，且甲板法线与竖直方向夹角为θ，船体后视简图如图乙所示。一质量为m的小物块放在甲板上，与甲板始终保持相对静止，两者之间的动摩擦因数为μ（μ＞tanθ）。假设航母的运动半径R、夹角θ不随航速改变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．航母对小物块的支持力FN＝mgcosθ
B．小物块可能只受重力、支持力两个力作用
C．航母的航速越大，则小物块受到的摩擦力越大
D．航母的最大航速
【解答】解：AB、根据题意可知，小物块做圆周运动，一定受到重力、支持力、摩擦力，通过正交分解法如图所示：
由图可知
mg﹣f2＝FN2
而FN2＝FNcosθ
f2＝fsinθ
联立解得
故AB错误；
CD、由图可知，小物块做圆周运动的向心力由f1和FN1提供，有
由于
FN1＝FNsinθ
f1＝fcosθ
联立上式整理解得
可得航母的航速越大，小物块受到的摩擦力越大；
当最大静摩擦力等于滑动摩擦力时，航母有最大航速，有
f＝μFN
代入上式得
由A中得
联立解得
故C正确，D错误。
故选：C。
题型4万有引力定律的理解和应用
一、相关知识链接
天体质量和密度
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力提供向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝.
二、规律方法提炼
1．环绕天体模型
环绕天体做圆周运动的向心力由中心天体对它的万有引力提供，即G＝mr＝m＝mω2r＝ma等，可得：
中心天体质量M＝，ρ＝(r＝R时有ρ＝)
环绕天体运行速度v＝ ，加速度a＝.
角速度ω＝，周期T＝，故r增大时，速度v、角速度ω、加速度a均减小，周期T增大．
2.变轨问题
(1)同一卫星在不同轨道上运行时机械能和周期不同，轨道半径越大，机械能越大，周期越长．
(2)卫星经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，在外轨道的速度大于在内轨道的速度．
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3．双星问题
双星各自做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力提供，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，得m1r1＝m2r2
另：G＝ω2(r1＋r2)
双星总质量：m1＋m2＝.
[例题16] （2024 镇海区模拟）如图所示，位于教室中央的光源发出一个闪光，闪光照到了教室的前壁和后壁。教室的长度为10m。在平行于教室高速运动的太空飞船上的观察者（ ）
A．测得照到前壁的光速度小于c
B．观测到飞船上的时间进程比教室慢
C．测得教室的长度小于10m
D．观察到光同时到达前、后壁
【解答】解：AD．根据光速不变原理，不论光源与观察者之间做怎样的相对运动，光速都是一样的等于c，教室相对于飞船向左运动，则光到前壁的路程变短，光先到达前壁，故AD错误；
BC．根据爱因斯坦的时间相对论公式Δt，可知飞太空飞船上的观察者认为看到教室中的时钟变慢，即观测到飞船上的时间进程比教室快，
根据长度相对论公式l，l＝l0教室的长度变短小于10m，故B错误，C正确。
故选：C。
[例题17] （2024 浙江模拟）A点和B点位于地球两侧，且两点间存在一隧道，如图所示。现在A处同时释放两个载人宇宙飞船。其中一个飞船从静止开始沿着隧道运动，一段时间到达B点。另一飞船沿着近地轨道环绕地球运动，一段时间后也到达B点。已知地球半径为R，地表的重力加速度为g，且不计一切阻力。则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0）（ ）
A．在沿着隧道穿行的飞船中的人会先经历超重，再经历失重过程
B．沿着隧道穿行的飞船飞行的最大速度
C．设x为沿着隧道穿行的飞行器距离地球球心的距离，则其受到的合力为Fmg，其中为其质量
D．两飞行器同时到达B点
【解答】解：A、在沿着隧道穿行的飞船中的人与飞船的加速度相同，对飞船没有压力，始终处于完全失重状态，故A错误；
BC、根据和，可得地球密度为，设飞行器沿着隧道穿行，到距离地球球心的距离为x时所受的力F，解得F，因此该飞船做简谐运动，到达地心时速度最大，根据机械能守恒定律有，解得最大速度，故BC错误；
D、利用简谐振动的周期公式T＝2
可知沿着隧道穿行的飞行器到达B点时恰好运动了半个周期，所用时间为t1，沿地球表面飞行的速度v，从A到B飞行的时间为
，因此两飞行器同时到达B点，故D正确。
故选：D。
[例题18] （2024 浙江模拟）假设宇宙是一团球形的密度均匀的物质，其各物理量均具有球对称性（即只与球的半径有关）。宇宙球对称地向外膨胀，半径为r的位置具有速度v（r）。不难发现，宇宙膨胀的过程中，其平均密度必然下降。若假设该宇宙球在膨胀过程中密度均匀（即球内各处密度相等），则应该有v＝Hrα，其中H是一个可变化但与r无关的系数，那么α的值应为（ ）
[提示：若p（t）是某一物理量，则pα对时间的导数为apα﹣1p′（t）]
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设t＝0时刻，半径为r1，宇宙球内质量为M1，半径在r1～r2，之间的质量为M2，由于各处的密度相等，则
①
在经过极短时间Δt后，各处的密度仍相等，则
②
整理可得
③
将①代入③忽略去二阶小量和三阶小量
整理得
r1、r2大小无关，若等式恒成立，则
α＝1
故A正确，BCD错误。
故选：A。
[例题19] （2024 镇海区校级模拟）秋分这天太阳光几乎直射赤道。现有一人造卫星在赤道上空距离地面高度为R处绕地球做圆周运动。已知地球的半径为R，地球的质量为M，引力常量为G。则秋分这天在卫星运动的一个周期内，卫星的太阳能电池板接收不到太阳光的时间为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如下图所示，人造卫星（设其质量为m）在AB劣弧轨道运行过程中，卫星的太阳能电池板接收不到太阳光。
sinθ，则θ＝30°
由几何关系可知，α＝2θ＝2×30°＝60°
人造卫星由地球的万有引力提供向心力，则有：Gm（R+R）
卫星的太阳能电池板接收不到太阳光的时间为：tT
联立方程，代入数据解得：t
故A正确，BCD错误。
故选：A。
[例题20] （2024 杭州二模）太阳系行星轨道（近圆轨道）的平均半径R和绕日公转周期T的现代测量值如表所示，下列说法正确的是（ ）
行星 轨道的平均半径R/×106km 绕日公转周期T/年
水星 58 0.2
金星 108 0.6
地球 150 1.0
火星 228 1.9
木星 778 11.9
土星 1430 29.5
天王星 2870 84.0
海王星 4500 165.
A．周期T与半径R成正比
B．已知引力常量可估算太阳的质量
C．地球公转线速度小于火星公转线速度
D．所有行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
【解答】解：根据开普勒第三定律可知，半径R越大，周期T越大，但周期与半径并不是成正比关系，故A错误；
B、万有引力提供向心力，设太阳质量为M，行星的质量为m，则可得M，因为半径R和周期T是已知的，所以知道了引力常量G，即可得到太阳的质量，故B正确；
C、根据可得，v，因为地球的半径小于火星的半径，所以地球公转线速度大于火星公转线速度，故C错误；
D、根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。
故选：B。
专题强化练
1. （2024 温州三模）如图所示，将两小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5s水平相向抛出，同时落在水平面同一处，且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点，并在同一竖直面内运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．A处比B处高1.25m
B．若将两沙包同时水平抛出，落地前可能会相遇
C．若已知B处高度和沙包b的下落时间，可求出A、B的水平距离
D．若已知A处高度和沙包a的初速度，可求出A、B的水平距离
【解答】解：A.设A处高度h1，B处高度为h2，沙包a、b在竖直方向下做自由落体运动，A比B先释放0.5s，但是同时落地，肯定的A下落到B高度处不是0.5s，B的下落时间未知，肯定求不了，故A错误；
B.若将两沙包同时水平抛出，初速度不同，水平位移肯定不同，这里应该用竖直方向上不可能在同一高度分析，则落地前不会相遇，故B错误；
C.若已知B处高度和沙包b的下落时间。根据x＝v0t可知，不可求出沙包a的水平位移，但不能求出A、B的水平距离，故C错误。
D.若已知A处高度和沙包a的初速度，根据hgt2可求出沙包b的下落时间t，沙包b的下落时间为（t+0.5），根据x＝v0t可知，可求出沙包a的水平位移，同时落在水平面同一处，且速度方向与竖直方向夹角相等，即，又因为vay＝g（t+0.5），vvby＝gt，可求出vb0，根据x＝v0t可知，可求出沙包b的水平位移，故D正确，ABC错误。
故选：D。
2. （2024 浙江模拟）实验小组利用风洞研究曲线运动，如图所示。在风洞内无风时，将一小球从O点以某一速度水平抛出后，经过一段时间小球落到水平面上的O2点。现让风洞内存在图示方向的风，使小球受到恒定的风力，小球仍以相同的速度从O点水平抛出。下列说法正确的是（ ）
A．小球从抛出到落到水平面上的时间一定将增大
B．小球落到水平面上时的速度方向一定不与水平面垂直
C．小球可能落在水平面上的O1点
D．小球可能落在水平面上的O2点
【解答】解：A．无风时小球在竖直方向上的加速度a1＝g，有风时，设风力大小为F，小球受力情况如图所示
此时小球竖直方向的加速度
根据
则有风时小球运动的时间减小，故A错误；
B．由于v0、h、F及θ大小关系不确定，小球可能在水平方向向右刚好减速到零时，小球下落的速度方向与水平面垂直，故B错误；
C．由于v0、h、F及θ大小关系不确定，小球也可能在水平方向上向右减速到零后，再反向加速回到OO1竖直线上时，小球刚好落到水平面上的O1点，故C正确；
D．O1O2＝v0t，有风时，小球水平向右移动的最大距离
由A项分析已知t′＜t，故有x＜O1O2，即小球一定不能落到O2点，故D错误。
故选：C。
3. （2023 浙江模拟）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面AB与水平方向夹角为30°且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同
B．运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比
C．运动员落在B处的速度与水平方向夹角60°
D．运动员的质量越大，落点离A越远
【解答】解：A．运动员在空中只受重力，加速度恒定，由v＝gt可知，单位时间内速度变化相同，故A正确；
B．落点到A的距离利用平抛规律可知，水平方向上有：x＝v0t，竖直方向上有：；根据运动的合成和分解规律可知，，解得水平位移，联立解得，
所以运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度的平方成正比，故B错误；
C．根据平抛运动的结论速度夹角的正切值是位移夹角正切值的2倍可知，速度与水平方向夹角的正切值是2tan30°，故C错误；
D．根据平抛运动的规律可知，平抛运动与质量无关，所以落点与质量无关，故D错误。
故选：A。
4. （2023 台州二模）如图所示，一架战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上水平间距相等的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1，击中B、C的时间间隔为t2，释放炸弹的时间间隔分别为Δt1、Δt2。不计空气阻力，则（ ）
A．t1＞t2 B．t1＝t2 C．Δt1＞Δt2 D．Δt1＝Δt2
【解答】解：设释放第一颗炸弹的时刻为t01，击中山坡上A点的时刻为tA，释放第二颗炸弹的时刻为t02，击中山坡上B点的时刻为tB，释放第三颗炸弹的时刻为t03，击中山坡上C点的时刻为tC，由于炸弹在空中下落过程，战斗机一直处于炸弹的正上方，根据水平方向上的运动特点可得：xAB＝v0（tB﹣tA）＝v0t1
xBC＝v0（tC﹣tB）＝v0t2
由于xAB＝xBC
可得：t1＝t2
设三颗炸弹在空中下落的高度分别为hA、hB、hC；因为平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动，则三颗炸弹在空中的下落时间分别为：
则有
由图可知下落高度关系为：hB略小于hA，hC比hB小得多；由此可知Δt1＜Δt2，故B正确，ACD错误；
故选：B。
5. （2024 金华二模）在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图，假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．P位置的小水珠速度方向沿a方向
B．P、Q两位置，杯子的向心加速度相同
C．P、Q两位置，杯子的速度相同
D．从Q到P，杯子所受合外力做功为零
【解答】解：A．根据图乙中水珠做离心运动的方向，可知杯子旋转方向为逆时针方向，则P位置的小水珠速度方向应沿b方向，故A错误；
B．杯子做匀速圆周运动，向心加速度方向指向圆心，P、Q两位置，杯子的向心加速度大小相同，方向不同，向心加速度是矢量，则P、Q两位置，杯子的向心加速度不同，故B错误；
C．杯子的速度为矢量，P、Q两位置，杯子的速度不相同，故C错误；
D．杯子做匀速圆周运动，杯子所受合外力提供向心力，合外力方向始终指向圆心、且与速度（位移）方向始终垂直，所以合外力始终不做功，即从Q到P，杯子所受合外力做功为零，故D正确。
故选：D。
6. （2023 嘉兴二模）如图所示是港珠澳大桥的一段半径为120m的圆弧形弯道。晴天时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍。若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度，则（ ）
A．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为3.0m/s2
B．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6rad/s
C．晴天时汽车以180km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D．下雨时汽车以70km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
【解答】解：AB．汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动，轨道半径为120m，运动速率v＝72km/h＝20m/s
向心加速度为：
代入数据得：a≈3.3m/s2
角速度为：
代入数据得：
故AB错误；
C．以汽车为研究对象，当路面对轮胎的径向摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时，此时汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率vm。设汽车的质量为m，在水平方向上根据牛顿第二定律得：
在竖直方向有
FN＝mg
径向最大静摩擦力变为正压力的0.8倍，即
fm＝kFN
联立得：
解得：vm≈111.5km/h
由于180km/h＞vm
所以晴天时，汽车以180km/h的速率不能安全通过此圆弧形弯道，故C错误；
D．下雨时，路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，有
解得：vm＝78.9km/h
由于vm＞70km/h
所以下雨时汽车以70km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道，故D正确。
故选：D。
7. （2023 浙江二模）如图所示是从高空拍摄的一张地形照片，河水沿着弯弯曲曲的河床做曲线运动。若在标注位置处的河水速度近似相等，则河床受力最大的是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【解答】解：根据向心力的计算公式可得：
F向＝m
则半径越小的地方受到的河水冲击力越大，且因为A是河流的凹岸，A处河岸对水的力指向圆心，根据牛顿第三定律，可知河床A处受力最大，而B处虽然也在河流的拐弯处，水流几乎不受河岸B处的弹力，即B处河床不受水的弹力，故A正确，BCD错误；
故选：A。
8. （2023 杭州一模）作用在飞机上的气动力和发动机推力的合力与飞机重力之比称为飞机的过载。则当飞机以g的加速度向上加速时，我们称飞机的过载为2g。现有一位飞行员所能承受的最大过载为9g，已知g取10m/s2，声速约为340m/s，当飞机在竖直面内以声速做圆周运动在经过最低点时对其半径的要求是（ ）
A．小于1445m B．大于1445m C．小于1284m D．大于1284m
【解答】解：飞机经过最低点时，飞行员所能承受的最大过载为9g，此时，由牛顿第二定律得：9mg﹣mg＝m
代入数据解得：r＝1445N
则飞机在竖直面内以声速做圆周运动在经过最低点时的半径应大于1445m，故B正确，ACD错误；
故选：B。
9. （多选）（2024 鹿城区校级模拟）如图甲所示，光电编码器由码盘和光电检测装置组成，电动机转动时，码盘与电动机旋转轴同速旋转，发光二极管发出的光经凸透镜转化为平行光，若通过码盘镂空的明道照在光敏管上，信号端输出高电位，反之输出低电位，两个光敏管分布在同一半径上。根据输出两路信号可以测量电动机的转速和判断旋转方向。从左往右看，内、外都均匀分布20个明道的码盘如图乙所示，电动机转动时两信号的图像如图丙所示，则（ ）
A．从左往右看，电动机顺时针转动
B．从左往右看，电动机逆时针转动
C．电动机转动的转速为50r/s
D．电动机转动的转速为125r/s
【解答】解：AB．由图丙可知，在t＝1×10﹣3s时，信号A开始输出低电位，此时信号B开始输出高电位，结合图乙可知，从左往右看，电动机顺时针转动，故A正确，B错误；
CD．由图丙可知，电动机转动的周期为T＝20×1×10﹣3s＝2×10﹣2s
则角速度为
根据ω＝2πn
可得电动机转动的转速为
故C正确，D错误。
故选：AC。
10. （2024 温州二模）2024年1月17日，搭载“天舟七号”货运飞船的运载火箭在文昌航天发射场发射。次日凌晨，“天舟七号”货运飞船成功对接空间站“天和”核心舱，如图所示。对接后，“天舟七号”与空间站组成组合体，运行在离地高度约为400km的圆形轨道上，下列说法正确的是（ ）
A．组合体的角速度小于地球自转的角速度
B．组合体的线速度大于地球同步卫星的线速度
C．组合体的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
D．“天舟七号”携带的一未开封货物，在发射前与对接后的重力相等
【解答】解：A、地球同步卫星距离地面的高度大约是36000km，其角速度等于地球自转的角速度。卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：mrω2，解得：ω，所以组合体的角速度大于地球同步卫星的角速度，即大于地球自转的角速度，故A错误；
B、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v，所以组合体的线速度大于地球同步卫星的线速度，故B正确；
C、根据牛顿第二定律可得ma，解得a，所以组合体的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故C错误；
D、根据万有引力可得：F，“天舟七号”携带的一未开封货物，在发射前受到的地球引力大于对接后受到的引力，所以“天舟七号”携带的一未开封货物，在发射前的重力大于对接后的重力，故D错误。
故选：B。
11. （2024 西湖区校级模拟）如图所示，A、B、C分别为太阳、地球和月球，地球绕太阳运动的轨道形状为椭圆，P点为近日点，到太阳的距离为R1，Q点为远日点，到太阳的距离为R2，地球公转周期为T；月球绕地球的运动可视为匀速圆周运动（忽略太阳对月球的引力），月球运行轨道半径为r，月球公转周期为t。则（ ）
A．相同时间内，月球与地球的连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
B．地球在P点和Q点的速率之比
C．地球从P点运动到Q点的过程中，动能一直变大
D．由开普勒第三定律可知为常数
【解答】解：A、根据开普勒第二定律可知，在同一轨道上绕同一中心天体运行的天体与中心天体的连线在相同时间内扫过的面积相等，可知相同时间内，月球与地球的连线扫过的面积与地球与太阳连线扫过的面积不相等，故A错误；
B、由开普勒第二定律可知在相同时间内，在近日点和远日点地球与太阳的连线扫过的面积相等，则有：
R1vP ΔtR2vQ Δt，解得地球在P点和Q点的速率之比，故B正确；
C、由上分析可知，vP＞vQ，则知地球从P点运动到Q点的过程中，速度减小，动能减小，故C错误；
D、由开普勒第三定律有k，k是与中心天体质量有关的常数，由于地球与月球围绕的中心天体不同，所以，即，故D错误。
故选：B。
12. （2024 温州三模）2024年3月20日，我国“鹊桥二号”卫星发射成功，多次调整后进入周期为24h的环月椭圆轨道运行，并与在月球上开展探测任务的“嫦娥四号”进行通讯测试。已知月球自转周期27.3天，下列说法正确的是（ ）
A．月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的中心位置
B．“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小相同
C．“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度
D．“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积相等
【解答】解：A.由开普勒第一定律可知，月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；
B.“鹊桥二号”在近月点距离月球最近，受到的万有引力最大，加速度最大；在远月点距离月球最远，受到的万有引力最小，加速度最小，故“鹊桥二 号”在近月点和远月点的加速度大小不相同，故B错误；
C.“鹊桥二号”在远月点的速度小于轨道与远月点相切的卫星的线速度，轨道与远月点相切的卫星的线速度小于第一宇宙速度，故“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度，故C正确；
D.由开普勒第二定律可知，同一颗卫星与月球的连线在相同时间扫过的面积相等，但是“鹊桥二 号”与“嫦娥四号”是两颗轨道不同的卫星，相同时间扫过的面积不相等，故D错误。
故选：C。
13. （2024 镇海区校级三模）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2t1，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB，假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（ ）
A．B与A的绕行周期之比为
B．rA的最大值与rB的最小值之比为2：1
C．rB的最小值与rA的最小值之比为2：3
D．卫星A与卫星B的质量之比为8：9
【解答】解：A、由题图可知，A、B的周期分别为TA＝t1，TB＝2t2，结合t2，可知B与A的绕行周期之比为：，故A错误；
BC、由图可知，当A卫星离行星的距离rA最小时，卫星A受到的万有引力最大，有：8F
当rA最大时，卫星A受到的万有引力最小，有：2F
联立以上可得rA的最大值与rA的最小值之比为：。
由图可知，当rB最小时，卫星B受到的万有引力最大，有：9F
当rB最大时，卫星B受到的万有引力最小，有：F
可得rB的最大值与rB的最小值之比为：，
再根据开普勒第三定律：k，有：
解得：或或：，对比三个选项，故B错误，C正确；
D、由题图可有：B受力最大时：9F，A受力最小时：2F
两式相除可得：，故D错误。
故选：C。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第3讲 力与曲线运动
题型1曲线运动的性质和特点
一、相关知识链接
1．条件
F合与v的方向不在同一直线上，或加速度方向与速度方向不共线．
2．性质
(1)F合恒定：做匀变速曲线运动．
(2)F合不恒定：做非匀变速曲线运动．
3．速度方向： 沿轨迹切线方向．
4．合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧．
二、规律方法提炼
1．合运动与分运动
物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成
2．合运动的性质
根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质．
3．运动的合成与分解
指速度、位移、加速度等的合成与分解，遵守平行四边形定则．
[例题1] （2022 温州三模）如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图，乙图是其示意图。比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先后经过A、P、B、C、D五点。运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
[例题2] （2024 宁夏模拟）如图所示为运动员用脚背接触球面带动足球旋转，足球两侧的压力差使足球在空中做曲线运动（即高难度的“香蕉球”），并射门成功。以下说法正确的是（ ）
A．足球在运动轨迹的最高点处于平衡状态
B．研究足球的旋转对轨迹的影响，可以将足球看成质点
C．足球在空中运动过程中，所受合力方向总指向球门方向
D．足球在空中运动过程中，速度方向与加速度方向不在同一直线上
[例题3] （2024 金台区模拟）我国研制的“威龙”J﹣20是高性能五代歼击机，它在空中能做连续的开普勒抛物线飞行，飞机飞行的轨迹从左向右运动，图中各点的速度与飞机所受合力的方向可能正确的（ ）
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点
[例题4] （2024 贵州模拟）曲线运动是常见的运动形式。图甲中投出的篮球在空中做曲线运动，图乙是中国（珠海）航展中飞机飞行表演的精彩镜头。关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体，其速度方向一定变化
B．做曲线运动的物体，其速度大小一定变化
C．物体受恒力作用，不可能做曲线运动
D．物体受变力作用，一定做曲线运动
[例题5] （2024 浙江模拟）如图所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为（ ）
A． B．
C． D．
题型2平抛运动规律的应用
一、相关知识链接
1．位移关系：
位移方向偏转角tan α＝.
2．速度关系：
速度方向偏转角tan θ＝＝＝2tan α.
分析题目条件是位移(方向)关系，还是速度(方向)关系，选择合适的关系式解题．
二、规律方法提炼
1．基本思路
处理平抛(或类平抛)运动时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动．
2．两个突破口
(1)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值．
(2)若平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．
[例题6] （2024 浙江二模）如图为2023年杭州亚运会中国女排队员比赛中高抛发球的瞬间，若球离开手时正好在底线中点正上方3.50m处，速度方向水平且与底线垂直。已知每边球场的长和宽均为9m，球网高2.25m，不计空气阻力（g＝10m/s2，）。为了使球能落到对方场地，下列发球速度大小可行的是（ ）
A．14m/s B．17m/s C．20m/s D．23m/s
[例题7] （2024 金东区校级模拟）如图所示，甲同学在地面上将排球以速度v1击出，排球沿轨迹①运动；经过最高点后，乙同学跳起将排球以水平速度v2击回，排球沿轨迹②运动，恰好落回出发点。忽略空气阻力，则排球（ ）
A．沿轨迹②运动的最大速度可能为v1
B．沿轨迹①运动的最小速度为v2
C．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
D．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小可能相同
[例题8] （2024 浙江二模）如图在水平地面上放置一边长为0.8m的正方形水箱，一水管可在ABCD面内绕A点转动θ≤90°，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为2.5m/s，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，则（ ）
A．任何方向喷出的水柱都能打到DCGH或CGFB侧面
B．水在空中运动时间的最大值为
C．空中运动的水的质量最大值为0.5kg
D．若保持θ不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短
[例题9] （2024 西湖区校级模拟）如图所示，某环保人员在一次检查时发现一根圆形排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，管口离水面的高度为h，环保人员测量出管口中空直径为D，污水从管口落到水面的水平位移为x，该管道的排污流量为Q（流量为单位时间内流体通过某横截面的体积，流量Q＝Sv，S为横截面的面积，v为液体的流动速度）。若不计一切阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．污水流速越快，水从出管口到抛入水面的时间越长
B．污水流速越快，留在空中水的体积越小
C．管道的排污流量为
D．污水抛入水面时速度方向可能与水面垂直
[例题10] （2024 浙江模拟）“晨阳”杯篮球赛中，奔跑中的小硕想传球给站在侧面无人防守的小轩，已知二人的位置与小硕的速度v方向如图所示，不计空气阻力，则小硕要将球传给小轩（ ）
A．应该让球沿着1的方向抛出
B．应该让球沿着2的方向抛出
C．应该让球沿着3的方向抛出
D．应该让球沿着4的方向抛出
题型3圆周运动问题
一、相关知识链接
1．物理量间的关系
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2．三种传动方式
(1)皮带传动、摩擦传动：两轮边缘线速度大小相等
(2)同轴转动：轮上各点角速度相等
二、规律方法提炼
1．基本思路
(1)进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心、轨道平面以及半径．
(2)列出正确的动力学方程F＝m＝mrω2＝mωv＝mr.
2．技巧方法
(1)竖直平面内圆周运动的最高点和最低点的速度通常利用动能定理来建立联系；
(2)最高点和最低点利用牛顿第二定律进行动力学分析．
3．两种模型
(1)绳球模型：小球能通过最高点的条件是v≥.
(2)杆球模型：小球能到达最高点的条件是v≥0.
[例题11] （2024 宁波二模）如图所示，厨师在展示厨艺时，将蛋糕放置在一水平托盘上，并控制托盘做竖直平面内半径为R的匀速圆周运动，托盘始终保持水平。蛋糕可视为质点，与托盘之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若蛋糕始终与托盘保持相对静止，则托盘做匀速圆周运动的最大速率为（ ）
A． B． C． D．
[例题12] （2024 镇海区校级模拟）在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的通信卫星A，其公转周期约为4h，对地球赤道信号覆盖的最大张角α＝60°。有一人静立在赤道上（图中未画出），并用华为手机进行卫星通话，那么能一次连续通过卫星A直接进行信号传递的最长时间约为（ ）
A．0.67h B．0.8h C．1.6h D．4h
[例题13] （2024 浙江模拟）如图所示，ABC为在竖直平面内的金属半圆环，AC为其水平直径，AB为固定的直金属棒，在金属棒上和半圆环的BC部分分别套着两个完全相同的小球M、N（视为质点），B固定在半圆环的最低点。现让半圆环绕对称轴以角速度ω＝25rad/s匀速转动，两小球与半圆环恰好保持相对静止。已知半圆环的半径R＝1m，金属棒和半圆环均光滑，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列选项正确的是（ ）
A．N、M两小球做圆周运动的线速度大小之比为1：
B．N、M两小球做圆周运动的线速度大小之比1：
C．若稍微增大半圆环的角速度，小环M稍许靠近A点，小环N将到达C点
D．若稍微增大半圆环的角速度，小环M将到达A点，小环N将稍许靠近C点
[例题14] （2024 镇海区校级模拟）如图半径为L的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，下列说法不正确的是（ ）
A．经过最低点时小球可能处于失重状态
B．经过最高点Z时小球可能处于完全失重状态
C．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点Z的速度v最小值为0
D．若经过最高点Z的速度v增大，小球在Z点对管壁压力可能减小
[例题15] （2024 温州二模）如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运动轨迹可视作半径为R的水平圆周。航母在圆周运动中，船身发生了向外侧倾斜，且甲板法线与竖直方向夹角为θ，船体后视简图如图乙所示。一质量为m的小物块放在甲板上，与甲板始终保持相对静止，两者之间的动摩擦因数为μ（μ＞tanθ）。假设航母的运动半径R、夹角θ不随航速改变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．航母对小物块的支持力FN＝mgcosθ
B．小物块可能只受重力、支持力两个力作用
C．航母的航速越大，则小物块受到的摩擦力越大
D．航母的最大航速
题型4万有引力定律的理解和应用
一、相关知识链接
天体质量和密度
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力提供向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝.
二、规律方法提炼
1．环绕天体模型
环绕天体做圆周运动的向心力由中心天体对它的万有引力提供，即G＝mr＝m＝mω2r＝ma等，可得：
中心天体质量M＝，ρ＝(r＝R时有ρ＝)
环绕天体运行速度v＝ ，加速度a＝.
角速度ω＝，周期T＝，故r增大时，速度v、角速度ω、加速度a均减小，周期T增大．
2.变轨问题
(1)同一卫星在不同轨道上运行时机械能和周期不同，轨道半径越大，机械能越大，周期越长．
(2)卫星经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，在外轨道的速度大于在内轨道的速度．
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3．双星问题
双星各自做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力提供，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，得m1r1＝m2r2
另：G＝ω2(r1＋r2)
双星总质量：m1＋m2＝.
[例题16] （2024 镇海区模拟）如图所示，位于教室中央的光源发出一个闪光，闪光照到了教室的前壁和后壁。教室的长度为10m。在平行于教室高速运动的太空飞船上的观察者（ ）
A．测得照到前壁的光速度小于c
B．观测到飞船上的时间进程比教室慢
C．测得教室的长度小于10m
D．观察到光同时到达前、后壁
[例题17] （2024 浙江模拟）A点和B点位于地球两侧，且两点间存在一隧道，如图所示。现在A处同时释放两个载人宇宙飞船。其中一个飞船从静止开始沿着隧道运动，一段时间到达B点。另一飞船沿着近地轨道环绕地球运动，一段时间后也到达B点。已知地球半径为R，地表的重力加速度为g，且不计一切阻力。则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0）（ ）
A．在沿着隧道穿行的飞船中的人会先经历超重，再经历失重过程
B．沿着隧道穿行的飞船飞行的最大速度
C．设x为沿着隧道穿行的飞行器距离地球球心的距离，则其受到的合力为Fmg，其中为其质量
D．两飞行器同时到达B点
[例题18] （2024 浙江模拟）假设宇宙是一团球形的密度均匀的物质，其各物理量均具有球对称性（即只与球的半径有关）。宇宙球对称地向外膨胀，半径为r的位置具有速度v（r）。不难发现，宇宙膨胀的过程中，其平均密度必然下降。若假设该宇宙球在膨胀过程中密度均匀（即球内各处密度相等），则应该有v＝Hrα，其中H是一个可变化但与r无关的系数，那么α的值应为（ ）
[提示：若p（t）是某一物理量，则pα对时间的导数为apα﹣1p′（t）]
A．1 B．2 C．3 D．4
[例题19] （2024 镇海区校级模拟）秋分这天太阳光几乎直射赤道。现有一人造卫星在赤道上空距离地面高度为R处绕地球做圆周运动。已知地球的半径为R，地球的质量为M，引力常量为G。则秋分这天在卫星运动的一个周期内，卫星的太阳能电池板接收不到太阳光的时间为（ ）
A． B．
C． D．
[例题20] （2024 杭州二模）太阳系行星轨道（近圆轨道）的平均半径R和绕日公转周期T的现代测量值如表所示，下列说法正确的是（ ）
行星 轨道的平均半径R/×106km 绕日公转周期T/年
水星 58 0.2
金星 108 0.6
地球 150 1.0
火星 228 1.9
木星 778 11.9
土星 1430 29.5
天王星 2870 84.0
海王星 4500 165.
A．周期T与半径R成正比
B．已知引力常量可估算太阳的质量
C．地球公转线速度小于火星公转线速度
D．所有行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
专题强化练
1. （2024 温州三模）如图所示，将两小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5s水平相向抛出，同时落在水平面同一处，且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点，并在同一竖直面内运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．A处比B处高1.25m
B．若将两沙包同时水平抛出，落地前可能会相遇
C．若已知B处高度和沙包b的下落时间，可求出A、B的水平距离
D．若已知A处高度和沙包a的初速度，可求出A、B的水平距离
2. （2024 浙江模拟）实验小组利用风洞研究曲线运动，如图所示。在风洞内无风时，将一小球从O点以某一速度水平抛出后，经过一段时间小球落到水平面上的O2点。现让风洞内存在图示方向的风，使小球受到恒定的风力，小球仍以相同的速度从O点水平抛出。下列说法正确的是（ ）
A．小球从抛出到落到水平面上的时间一定将增大
B．小球落到水平面上时的速度方向一定不与水平面垂直
C．小球可能落在水平面上的O1点
D．小球可能落在水平面上的O2点
3. （2023 浙江模拟）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面AB与水平方向夹角为30°且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同
B．运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比
C．运动员落在B处的速度与水平方向夹角60°
D．运动员的质量越大，落点离A越远
4. （2023 台州二模）如图所示，一架战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上水平间距相等的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1，击中B、C的时间间隔为t2，释放炸弹的时间间隔分别为Δt1、Δt2。不计空气阻力，则（ ）
A．t1＞t2 B．t1＝t2 C．Δt1＞Δt2 D．Δt1＝Δt2
5. （2024 金华二模）在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图，假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．P位置的小水珠速度方向沿a方向
B．P、Q两位置，杯子的向心加速度相同
C．P、Q两位置，杯子的速度相同
D．从Q到P，杯子所受合外力做功为零
6. （2023 嘉兴二模）如图所示是港珠澳大桥的一段半径为120m的圆弧形弯道。晴天时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍。若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度，则（ ）
A．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为3.0m/s2
B．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6rad/s
C．晴天时汽车以180km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D．下雨时汽车以70km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
7. （2023 浙江二模）如图所示是从高空拍摄的一张地形照片，河水沿着弯弯曲曲的河床做曲线运动。若在标注位置处的河水速度近似相等，则河床受力最大的是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
8. （2023 杭州一模）作用在飞机上的气动力和发动机推力的合力与飞机重力之比称为飞机的过载。则当飞机以g的加速度向上加速时，我们称飞机的过载为2g。现有一位飞行员所能承受的最大过载为9g，已知g取10m/s2，声速约为340m/s，当飞机在竖直面内以声速做圆周运动在经过最低点时对其半径的要求是（ ）
A．小于1445m B．大于1445m C．小于1284m D．大于1284m
9. （多选）（2024 鹿城区校级模拟）如图甲所示，光电编码器由码盘和光电检测装置组成，电动机转动时，码盘与电动机旋转轴同速旋转，发光二极管发出的光经凸透镜转化为平行光，若通过码盘镂空的明道照在光敏管上，信号端输出高电位，反之输出低电位，两个光敏管分布在同一半径上。根据输出两路信号可以测量电动机的转速和判断旋转方向。从左往右看，内、外都均匀分布20个明道的码盘如图乙所示，电动机转动时两信号的图像如图丙所示，则（ ）
A．从左往右看，电动机顺时针转动
B．从左往右看，电动机逆时针转动
C．电动机转动的转速为50r/s
D．电动机转动的转速为125r/s
10. （2024 温州二模）2024年1月17日，搭载“天舟七号”货运飞船的运载火箭在文昌航天发射场发射。次日凌晨，“天舟七号”货运飞船成功对接空间站“天和”核心舱，如图所示。对接后，“天舟七号”与空间站组成组合体，运行在离地高度约为400km的圆形轨道上，下列说法正确的是（ ）
A．组合体的角速度小于地球自转的角速度
B．组合体的线速度大于地球同步卫星的线速度
C．组合体的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
D．“天舟七号”携带的一未开封货物，在发射前与对接后的重力相等
11. （2024 西湖区校级模拟）如图所示，A、B、C分别为太阳、地球和月球，地球绕太阳运动的轨道形状为椭圆，P点为近日点，到太阳的距离为R1，Q点为远日点，到太阳的距离为R2，地球公转周期为T；月球绕地球的运动可视为匀速圆周运动（忽略太阳对月球的引力），月球运行轨道半径为r，月球公转周期为t。则（ ）
A．相同时间内，月球与地球的连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
B．地球在P点和Q点的速率之比
C．地球从P点运动到Q点的过程中，动能一直变大
D．由开普勒第三定律可知为常数
12. （2024 温州三模）2024年3月20日，我国“鹊桥二号”卫星发射成功，多次调整后进入周期为24h的环月椭圆轨道运行，并与在月球上开展探测任务的“嫦娥四号”进行通讯测试。已知月球自转周期27.3天，下列说法正确的是（ ）
A．月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的中心位置
B．“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小相同
C．“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度
D．“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积相等
13. （2024 镇海区校级三模）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2t1，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB，假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（ ）
A．B与A的绕行周期之比为
B．rA的最大值与rB的最小值之比为2：1
C．rB的最小值与rA的最小值之比为2：3
D．卫星A与卫星B的质量之比为8：9
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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