第30章 旋转 同步练习2024-2025学年人教版（五四学制）数学九年级上学期
一、单选题
1．某市实验学校的美术课上，七年级同学创造了一批民间剪纸艺术作品，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．正方形的对称轴有四条
C．平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形
D．菱形的对角线互相垂直且平分
3．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，如果将线段沿点逆时针方向旋转，那么点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，图①，图②，图③，图④这四个图形中，可以由图A平移得到的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
6．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）．
A．120° B．90° C．60° D．30°
7．如图，将 绕点A逆时针旋转一定角度，得到 .若 ， ，且 ，则 的度数为（ ）
A．85° B．75° C．65° D．60°
8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
9．如图，在 ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将 ABC绕点A旋转到 的位置．使得 ，则旋转角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
10．如图中的四个图案，四位同学分别说出了它们的形成过程，其中说得不正确的是（ ）
A．图①是一个长方形绕着图形的中心按逆时针旋转90°，180°和270°所得
B．图②可由一个钝角三角形绕着图形的中心按同一方向旋转90°，180°和270°形成
C．图③可以看作以正方形的一条对角线所在直线为对称轴翻折所得
D．图④可以看作由长方形的一边的垂直平分线为对称轴翻折而成
11．如图，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
12．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
二、填空题
13．已知点P(x+2y，﹣3)和点Q(4，y)关于原点对称，则x+y＝ ．
14．点和点关于原点中心对称，已知点坐标为则点坐标为 ．
15．如图，将的直角三角尺绕直角顶点A逆时针旋转到的位置，使B点对应点D落在边上，连接、，则下列结论：①；②为的垂直平分线；③平分；④其中正确的是 ．
16．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，且AD⊥BC于点F，则∠D的度数为 °．
17．如图，正方形 的边长为4，点 为对角线 的交点，点 为边 的中点， 绕着点 旋转至 ，如果点 在同一直线上，那么 的长为 ．
三、解答题
18．如图，绕着顶点A逆时针旋转到，，，，求的度数．
19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积.
20．如图，在平面直角坐标系中，存在点A（﹣3，1）、点B（﹣2，0）．
（1）画出△ABO关于原点O对称的△A′B′D（点A与A′是对应点，点B与B′是对应点），并写出点A′、B′的坐标；
（2）连接AB′、BA′，求四边形ABA′B′的面积．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
22．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是中心对称图形，故C符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】A、矩形的对角线相等，不符合题意；
B、正方形的对称轴有四条，不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直且平分，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】直接利用矩形、菱形、正方形的性质分别判断得出答案．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、此交通标志不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此交通标志不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此交通标志不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此交通标志是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
4．【答案】A
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A，由图A顺时针旋转90°，再平移可得到图①，故A不符合题意；
B、由图A逆时针旋转90°，再平移可得到图②，故B不符合题意；
C、由图A平移可得到图③，故C符合题意；
D、由图A对折，再平移可得到图④，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用平移，旋转，轴对称的性质，可得出答案。
6．【答案】A
【解析】【解答】根据旋转图形的性质可得：旋转的角度为180°-60°=120°.
故答案为：A
【分析】旋转后，旋转角为∠，又因为旋转后点A、B、三点同线，那么∠+∠=180°，由题知∠=60°，所以∠=180°-60°=120°。
7．【答案】A
【解析】【解答】解： 将 绕点A逆时针旋转一定角度，得到 ，
，
，
.
故答案为：A
【分析】利用旋转的性质可证得∠BAD的度数及∠C的度数，再利用垂直的定义及直角三角形的两锐角互余，可求出∠DAC的度数，从而可求出∠BAC的度数.
8．【答案】C
【解析】【解答】∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC=5，BD=5-3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，
所以，D′（-2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（-2，0）
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，将三角形旋转共有两种情况，根据题意即可得到两种情况下的点的坐标即可。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠ACC′＝∠AC′C，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
即旋转角为40°．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质得出∠C′CA＝∠CAB＝70°，根据旋转的性质得出△ACC′为等腰三角形，
从而可得∠ACC′＝∠AC′C，利用三角形内角和即可求出∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
10．【答案】A
【解析】【解答】解：A、图①是一个长方形绕着图形的中心按逆时针旋转90°，180°和270°所得，
也可以是顺时针旋转90°，180°和270°所得，故此选项错误，符合题意；
B、图②可由一个钝角三角形绕着图形的中心按同一方向旋转90°，180°和270°形成，正确，不合题意；
C、图③可以看作以正方形的一条对角线所在直线为对称轴翻折所得，正确，不合题意；
D、图④可以看作由长方形的一边的垂直平分线为对称轴翻折而成，正确，不合题意；
故选：A．
【分析】利用轴对称图形的性质以及图形的旋转变换分别分析得出即可．
11．【答案】B
12．【答案】C
【解析】【解答】解：设灯旋转的时间为秒，
灯光束第一次到达 所需时间为 秒， 灯光束第一次到达 所需时间为 秒，
灯先转动2秒， 灯才开始转动，
，即 ，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当 时， ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，符合题设；
②如图，当 时， ，
，
，
，
，即 ，
解得 符合题设；
③如图，当 时， ，
，
同理可得： ，即 ，
解得 ，不符题设，舍去；
综上， 灯旋转的时间为1秒或 秒，
故答案为：C．
【分析】由题意，分以下三种情况：①如图，当时，②如图，当时，③如图，当时，分别得出，解出t的值，再判断即可。
13．【答案】-7
【解析】【解答】解：∵点P(x+2y，﹣3)和点Q(4，y)关于原点对称，
∴ ，
解得： ，
故x+y＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出答案．
14．【答案】
【解析】【解答】解：根据关于原点中心对称特点可得Q（4，-3）
故答案为：（4，-3）
【分析】根据关于原点对称两点坐标关系求解即可。
15．【答案】①②④
【解析】【解答】解：在中，，，
绕直角顶点A逆时针旋转到的位置，
，，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，所以符合题意；
∴，
，，
为等边三角形，
，
为的垂直平分线，所以符合题意；
，
，
∴AB∥DE，
，
，
，
，
平分不符合题意，所以不符合题意；
在中，，
，
，所以符合题意．
故答案为：．
【分析】结合图形，利用旋转的性质，垂直平分线的性质和等边三角形的性质等对每个结论一一判断即可。
16．【答案】40
17．【答案】
【解析】【解答】解：∵正方形 的边长为4，
∴ ，
∴ ，
∵点 为边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过 作 于 ，连接 ，
∴ ，
∵∠AED=∠FEB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕着点 旋转至 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： ．
【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD＝4，根据勾股定理得到BD＝AB=，DE=
，过B作BF⊥DD1于F，根据相似三角形的性质得到EF＝，求得DF＝，根据旋转的性质得到BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
18．【答案】的度数为
19．【答案】（1）解： 如图，C1坐标为（－3，2）；
（2）解：
【解析】【分析】（1）由关于原点对称的点的坐标特征可知，关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数，在平面直角坐标系中分别描出点A、点B和点C关于原点对称的点，连接起来写出C1的坐标即可；
（2）求平面直角坐标系中三角形的面积可以采用割补法，用三角形ABC所在的矩形的面积减去多余的三角形的面积即可求得三角形ABC的面积。
20．【答案】（1）如图所示：A′（3，﹣1）；B′（2，0）
（2）∵（﹣2，0），B′（2，0），∴BB′=4，四边形ABA′B′的面积： ×4×1×2=4．
【解析】【解答】解：（1）：如图所示：A′（3，﹣1）；B′（2，0）；（2）∵（﹣2，0），B′（2，0），∴BB′=4，四边形ABA′B′的面积： ×4×1×2=4．
【分析】（1）首先找出A、B的对称点，再顺次连接即可；（2）计算出△ABB′的面积，四边形的面积等于△ABB′的面积的2倍．
21．【答案】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE，
∵△ABC的面积为5cm2，
∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2；
（3）∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四边形ABDE为矩形．
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
22．【答案】（1）解：由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣×150°＝15°；
（2）解：由（1）∴∠DOE＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠DOE＝90°﹣（180°﹣∠AOC），
∴∠DOE＝∠AOC＝a；
（3）解：①∠AOC＝2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，
则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），
所以得：∠AOC＝2∠DOE．
②设∠DOE＝x，∠AOF＝y，
∵∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∠AOC＝2∠DOE．
∴2x﹣4y＝2∠BOE+y，
∵∠BOE＝90°﹣∠DOE，
∴2x﹣4y＝2（90°﹣x）+y，
∴4x﹣5y＝180°．
即4∠DOE﹣5∠AOF＝180°
【解析】【分析】（1） 先求出∠BOC＝150°，根据 ∠COD是直角，OE平分∠BOC，得出∠DOE＝∠COD﹣∠BOC即可；
（2）仿照（1）即可求解；
（3）①由∠COD是直角，OE平分∠BOC，得到∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，由∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），比较两式即可得出结论；
②设∠DOE＝x，∠AOF＝y，根据∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∠AOC＝2∠DOE．得到2x﹣4y＝2∠BOE+y，根据∠BOE＝90°﹣∠DOE即可得到x，y的关系，即 ∠AOF与∠DOE的度数之间的关系 .
