2.2 分层随机抽样
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.从某市中小学生中抽取部分学生,进行肺活量调查.经了解,该市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男、女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )
A.抽签法
B.按性别分层随机抽样
C.按学段分层随机抽样
D.随机数法
2.要从含有50个红球的1000个球中采用分层随机抽样的方法抽取100个球进行分析,则应抽取红球的个数为 ( )
A.5 B.10 C.20 D.45
3.某单位有青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层随机抽样的方法从中抽取样本,若抽取的青年职工有7人,则样本容量为 ( )
A.35 B.25 C.20 D.15
4.[2024·江西奉新一中高一期末] 某班有学生50人,其中30名男生,20名女生.现调查该班学生的平均身高,已知男、女生身高明显不同,抽取一个容量为10的样本,则抽出的男、女生人数之差为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
5.某中学采用分层随机抽样的方法从高中三个年级的教师队伍中抽取若干名教师调查心血管疾病情况,有关数据如表,则抽取的教师人数为 ( )
年级 年级教师人数 抽取人数
高一 50 x
高二 30 y
高三 20 2
A.10 B.20 C.5 D.15
6.某工厂的一、二、三车间在2023年11月份共生产了3600双皮靴,在出厂前检查这些产品的质量,决定采用分层随机抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且满足2b=a+c,则二车间生产的产品数为 ( )
A.800 B.1000 C.1200 D.1500
7.《九章算术》“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何 ”其大意为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,三人一起出关,共需要交关税100钱,要按各人带钱多少的比例交税,问三人各应交多少税 ”以上问题中乙应交税的钱数约为(所得结果四舍五入,保留整数) ( )
A.50 B.32 C.31 D.19
8.(多选题)[2023·山东潍坊高密三中高一月考] 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人,来自中部地区的学生有1600人,来自西部地区的学生有1000人.从中选取100人调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有 ( )
A.用分层随机抽样的方法分别抽取来自东部地区的学生48人、来自中部地区的学生32人、来自西部地区的学生20人
B.用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合
C.来自西部地区的学生小刘被选中的可能性为
D.来自中部地区的学生小张被选中的可能性为
9.(多选题)[2024·江西分宜中学高一期末] 为了实现教育资源的均衡化,某地决定派遣480名教师志愿者(480名教师情况如图)轮流支援当地的教育工作.若第一批志愿者采用分层随机抽样的方法随机派遣150名教师,则 ( )
A.派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同
B.派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%
C.派遣的老年教师有144人
D.派遣的青年女教师有15人
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.在120个零件中,一级品有24个,二级品有36个,三级品有60个,用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本,则三级品a被抽到的可能性为 .
11.为了调查某快餐店各分店的经营状况,统计机构用分层随机抽样的方法从A,B,C三个城市中抽取若干个分店进行深入研究,有关数据见下表:
城市 分店总个数 抽取个数
A 26 2
B 13 x
C 39 y
则样本容量为 .
12.[2023·江西宜春滨江中学高一月考] 某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从9~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取一个容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生问卷中抽取的份数为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)某公司有1000名员工,其中高层管理人员有50名,属于高收入者,中层管理人员有150名,属于中等收入者,一般员工有800名,属于低收入者.现要了解这个公司员工的收入情况,从这个公司的员工中抽取100名员工进行调查,应当怎样进行抽样
14.(10分)某机械厂三个车间共有工人1000名,各车间男、女工人数如表:
第一车间 第二车间 第三车间
女工 170 120 y
男工 180 x z
已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0.13,第三车间的男、女工人数之比为3∶2.
(1)求x,y,z的值;
(2)现用分层随机抽样的方法在全厂男工中抽取55名工人进行技术比试,则在第三车间抽取多少名男工
15.(5分)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①②所示,为了解该地区中小学生近视形成的原因,用分层随机抽样的方法从全体中小学生中抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生中近视学生的人数分别为 .
16.(15分)某地区中小学生人数的分布情况如下表所示(单位:人):
学段 城市 县镇 农村
小学 357 000 222 000 259 000
初中 226 000 134 000 11 000
高中 112 000 43 000 6000
请根据上述数据,设计一个样本容量为总体容量千分之一的抽样方案.
2.2 分层随机抽样
1.C [解析] 已经了解到该市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男、女生的肺活量差异不大,所以按学段进行分层随机抽样最合理.故选C.
2.A [解析] 由题意知,应抽取50×=5(个)红球.
3.D [解析] 设样本容量为x,则由题意得=,解得x=15,所以样本容量为15.故选D.
4.D [解析] 抽出的男生人数为10×=6,女生人数为10×=4,故抽出的男、女生人数之差为6-4=2.故选D.
5.A [解析] 由题意得==,解得x=5,y=3,所以抽取的教师人数为x+y+2=10,故选A.
6.C [解析] 由题意可知,二车间生产的产品数为3600×=3600×=1200.故选C.
7.B [解析] 交税比例为=,所以乙应交的税为350×≈32(钱).
8.AC [解析] 由题设可得来自东部地区、中部地区、西部地区的学生人数之比为12∶8∶5,故用分层随机抽样的方法抽取的来自东部地区、中部地区、西部地区的学生人数分别为100×,100×,100×,即48,32,20,故A正确.来自东部地区、中部地区、西部地区的学生的饮食习惯差异较大,所以不适合用简单随机抽样的方法,故B错误.由分层随机抽样的性质可得无论哪一个地区的学生,被抽取到的可能性均为=,故C正确,D错误.故选AC.
9.ABD [解析] 因为=0.2,所以派遣的青年男教师的数量占派遣人员总数的20%,则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的1-30%-40%-20%=10%,则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同,均占总数的30%,故A,B正确;派遣的老年教师人数为150×0.3=45,故C错误;派遣的青年女教师的人数为150×0.1=15,故D正确.故选ABD.
10. [解析] 三级品a被抽到的可能性为=.
11.6 [解析] 设样本容量为n,则由题意得=,解得n=6.
12.120 [解析] 从11~12岁年龄段回收的问卷为180份,样本中11~12岁的学生问卷有60份,则抽样比为.因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取一个容量为300的样本,所以从9~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷总数为=900(份),则从15~16岁年龄段回收的问卷份数x=900-120-180-240=360,所以在15~16岁学生问卷中抽取的份数为360×=120.
13.解:根据题意可知,该公司员工按照收入水平可分成三部分,即高收入者、中等收入者、低收入者,所以应该采用分层随机抽样的方法抽取样本.
从题中数据可以看出,高收入者有50名,占所有员工的比例为×100%=5%,为保证样本的代表性,在所抽取的100名员工中,高收入者所占的比例也应为5%,所以应抽取的高收入者人数为100×5%=5,
所以应在50名高收入者中采用简单随机抽样的方法抽取5人.同理,应抽取15名中等收入者、80名低收入者,再对抽取的100名员工的收入情况分别进行调查.
14.解:(1)由题意知,=0.13,解得x=130.
因为第一车间的工人数是170+180=350,第二车间的工人数是120+130=250,
所以第三车间的工人数是1000-350-250=400.
所以y=400×=160,z=400×=240.
(2)设在第三车间抽取m名男工,则=,解得m=24,所以应在第三车间抽取24名男工.
15.200,20 [解析] 该地区中小学生的总人数为3500+2000+4500=10 000,则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取的高中生中近视学生的人数为2000×2%×50%=20.
16.解:因为样本容量为总体容量的千分之一,所以总体中的每个个体被抽到的可能性都是千分之一,则易得在各层中应抽取的个体数目如下表所示:
学段 城市 县镇 农村
小学 357 222 259
初中 226 134 11
高中 112 43 6
按照上表中数目在各层中用合适的方法抽取个体,将抽取出的个体合在一起形成所需的一个样本.
