1.2 利用二分法求方程的近似解
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2023·江西靖安中学高一月考] 下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是 ( )
A B C D
2.用二分法求方程x+lg x-3=0的近似解,以下区间可以作为初始区间的是 ( )
A.[1,2] B.[2,3]
C.[3,4] D.[4,5]
3.下列是关于函数f(x),x∈[a,b]的四个命题:
①若x0∈[a,b],且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但方程f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
其中真命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.3 D.4
4.用二分法研究方程2x+log2x-4=0在区间(1,3)上的根,如果取区间的中点2,那么下一个有根的区间是 ( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(1,1.5) D.(2.5,3)
5.用二分法求函数f(x)=log2x+a-2x的一个零点的近似值时,如果确定该零点所在的初始区间为,那么a的取值范围为 ( )
A.(-∞,2)
B.
C.
D.(-∞,2)∪
6.已知函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点附近的函数值如表:
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5
f(x) -1 0.875 -0.296 9 0.224 6 -0.051 51
则方程x3-x-1=0的一个近似根(精确度为0.1)可以为 ( )
A.1.3 B.1.32
C.1.437 5 D.1.25
7.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ξ(ξ为精确度)时,函数零点的近似值x0=与真实零点的误差最大不超过 ( )
A. B.
C. ξ D.2ξ
8.(多选题)下列函数中,能用二分法求零点的是 ( )
A.f(x)=3x-2 B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-2
9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的曲线,且函数f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),,内,则下列函数值中与f(0)符号不同的是 ( )
A.f(4) B.f(2)
C.f(1) D.f
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2023·江西铜鼓中学高一月考] 已知函数f(x)=x2+ax+4有零点,但不能用二分法求出该零点,则a的值为 .
11.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平(无砝码),则用二分法的思想,最多称 次就可以发现这枚假币.
12.[2023·山东潍坊高一期中] 已知函数f(x)满足对任意x1,x2∈[a,b],都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻求f(x)零点的过程中,依次确定了零点x0所在区间为(a,b),,,,则b-a= ;若要求精确度为0.001,则至少需要进行 次区间中点函数值的计算.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)利用二分法求函数f(x)=2x+3x-7的近似零点.(精确度为0.1)
14.(10分)已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)证明:f(x)有且只有一个零点;
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.
15. (5分)用二分法求函数f(x)=ln (x+1)+x-1在区间(0,1)上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
16.(15分)已知函数f(x)=2x2-8x+m+3.
(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围.
(2)若m=-4,判断f(x)在(-1,1)上是否存在零点 若存在,请在精确度为0.1的条件下,用二分法求出这个零点所在的区间;若不存在,请说明理由.
1.2 利用二分法求方程的近似解
1.B [解析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.对于选项B,不满足函数在零点x0附近函数值异号,不能用二分法求零点.对于选项A,C,D,满足函数在零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.故选B.
2.B [解析] 设f(x)=x+lg x-3,显然函数图象是一条连续曲线,且f(x)在(0,+∞)上单调递增.计算得f(1)=-2<0,f(2)=lg 2-1<0,f(3)=lg 3>0,所以f(2)·f(3)<0,故区间[2,3]可以作为初始区间.故选B.
3.A [解析] ∵x0∈[a,b]且f(x0)=0,∴x0是f(x)的一个零点,①为假命题;当f(x)在[a,b]上的图象不是一条连续曲线,或x0是f(x)的不变号零点时,不可以用二分法求x0的近似值,②为假命题;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,③为假命题;用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,④为假命题.故选A.
4.A [解析] 设f(x)=2x+log2x-4,因为f(1)·f(2)=(2+0-4)×(4+1-4)=-2<0,所以下一个有根的区间为(1,2).
5.C [解析] 由题知ff=·(-1+a-1)<0,可得a∈,故选C.
6.B [解析] ∵f(1.312 5)<0,f(1.375)>0,|1.312 5-1.375|<0.1,∴方程x3-x-1=0的一个近似根可以为1.32.故选B.
7.B [解析] 根据精确度的定义可知选B.
8.ACD [解析] 对于B,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0,当x>1时,f(x)>0,因为在零点两侧函数值同号,所以不能用二分法求函数零点.其余选项中,函数图象均为连续的曲线,且在函数的零点两侧函数值均异号,都能用二分法求零点.故选ACD.
9.ABD [解析] 由二分法的步骤可知:①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,则f(4)<0;②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,因为f(0)>0,所以f(2)<0;③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,因为f(2)<0,所以f(1)>0;④零点在内,则有f(1)·f<0,因为f(1)>0,所以f<0;⑤零点在内,则有f·f<0,因为f<0,所以f>0.所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f,故选ABD.
10.±4 [解析] 由题意知Δ=a2-16=0,解得a=±4.
11.4 [解析] 利用二分法思想,第一次将金币平均分成两份,则假币一定在质量小的那13枚金币里,第二次将质量小的13枚金币分成6枚、6枚、1枚共三份,用天平称两份6枚金币,若天平平衡,则未称的1枚为假币,否则假币一定在质量小的那6枚金币里,一直重复下去,最多称4次就可以发现这枚假币.
12.4 12 [解析] 由题意得解得所以b-a=4.设需要进行k(k∈N*)次区间中点函数值的计算,则×4<0.001,又k∈N*,所以k≥12,所以至少需要进行12次区间中点函数值的计算.
13.解:经计算f(1)=-2<0,f(2)=3>0,所以函数f(x)=2x+3x-7在区间(1,2)内存在零点,
设为x0,取区间(1,2)的中点1.5,经计算,f(1.5)≈0.33>0,∴x0∈(1,1.5);
取区间(1,1.5)的中点1.25,经计算f(1.25)≈-0.87<0,∴x0∈(1.25,1.5);
取区间(1.25,1.5)的中点1.375,经计算f(1.375)≈-0.28<0,∴x0∈(1.375,1.5);
取区间(1.375,1.5)的中点1.437 5,经计算f(1.437 5)≈0.02>0,∴x0∈(1.375,1.437 5).
∵|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1,
∴1.4可以是函数f(x)=2x+3x-7的近似零点.
14.解:(1)证明:f(x)的定义域为(0,+∞).
令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且>1,x1-x2>0,∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),则f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)至多有一个零点.
又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
(2)f(2)<0,f(3)>0,取x1==,
则f=ln-1<0,∴f(3)f<0,即f(x)的零点x0∈.
取x2==,则f=ln->0,
∴ff<0,∴x0∈.
又=≤,
∴满足题意的一个区间为.
15.C [解析] 开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作,区间长度变为.因为精确度为0.01,所以需满足<0.01,又n∈N*,所以n≥7且n∈N*,故所需二分区间的次数最少为7,故选C.
16.解:(1)∵f(x)=2x2-8x+m+3为二次函数,其图象的开口向上,对称轴为直线x=2,
∴函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
∵f(x)在区间[-1,1]上存在零点,∴
即解得-13≤m≤3,
∴实数m的取值范围是[-13,3].
(2)当m=-4时,f(x)=2x2-8x-1,其图象的开口向上,对称轴为直线x=2,∴f(x)在区间(-1,1)上单调递减.
∵f(-1)=9,f(1)=-7,∴f(-1)·f(1)<0,
∴函数f(x)在(-1,1)上存在唯一零点x0.
∵f(0)=-1<0,∴f(-1)·f(0)<0,∴x0∈(-1,0);
∵f=>0,∴f·f(0)<0,
∴x0∈;∵f=>0,
∴f·f(0)<0,∴x0∈;
∵f=>0,∴f·f(0)<0,
∴x0∈;∵f=-<0,∴f·f<0,∴x0∈.
此时=<0.1,即满足精确度为0.1,
∴零点所在的区间为.
