§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.(log312-2log32)=( )
A.0 B.1
C.2 D.4
2.若a>0,且a≠1,x>0,n∈N*,给出下列各式:
①(logax)n=nlogax;
②(logax)n=logaxn;
③logax=-loga;
④=logax;
⑤=loga.
其中正确的个数为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,其中,x>0,a>0,b>0,c>0,那么 ( )
A.x=a+3b-c
B.x=
C.x=
D.x=a+b3+c3
4.[2024·北京西城区高一期末] 已知3a=4,b=log3,则a+b= ( )
A.9 B.2
C. D.-2
5.已知lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,则= ( )
A. B. C. D.
6.若lg 2=m,lg 3=n,则= ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·山西太原外国语学校、成成中学高一月考] 常用pH来表示溶液酸碱度,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.经检测某饮料中氢离子的浓度为1.25×10-3摩尔/升,令lg 2=a,则此饮料的pH是 ( )
A.2+2a B.3+2a
C.2+3a D.3+3a
8.(多选题)若a>0,a≠1,则下列说法错误的是 ( )
A.若logaM=logaN,则M=N
B.若M=N,则logaM=logaN
C.若logaM2=logaN2,则M=N
D.若M=N,则logaM2=logaN2
9.(多选题)下列等式成立的是 ( )
A.=1
B.=2
C.lg 14-2lg +lg 7-lg 18=0
D.(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5=2
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.若log72=a,log73=b,则log76= .(用a,b表示)
11.方程log2x+log2(x-3)=2的解为x= .
12.若实数m=4log32,则= .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)用ln x,ln y,ln z表示下列各式:
(1)ln ;(2)ln(x2y4z3);(3)ln(×).
14.(10分)计算下列各式的值:
(1)log3+lg 125+lg 8++log1251+log77;
(2)4lg 5+lg 16+2ln-;
(3)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2×lg 5.
15.(5分)[2024·四川凉山安宁河联盟高一期末] 已知实数a,b满足3a-2+a=,b3+log3b=-,则= .
16.(15分)已知a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2.
(1)求log2+log2的值;
(2)若log4=1,log8(a+b-c)=,求a,b,c的值.
§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
1.B [解析] (log312-2log32)=(log6+log63)(log312-log322)=log6(2×3)×log3=log66×log33=1×1=1.故选B.
2.A [解析] 根据对数的运算性质logaMb=blogaM(M>0,a>0,且a≠1)知③与⑤正确.故选A.
3.C [解析] ∵lg x=lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b3-lg c5=lg,∴x=.故选C.
4.B [解析] 因为3a=4,所以log34=a,又因为b=log3,所以a+b=log34+log3=log39=log332=2.故选B.
5.D [解析] ∵lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,∴lg a+lg b=,lg a·lg b=-,
∴=(lg b-lg a)2=(lg b+lg a)2-4lg a·lg b=-4×=,故选D.
6.C [解析] ===.
7.C [解析] pH=-lg(1.25×10-3)=-(lg 1.25-3)=3-lg=2+3lg 2=2+3a.故选C.
8.BCD [解析] 对于A选项,若logaM=logaN,则M=N>0,说法正确;对于B选项,当M=N≤0时结论不成立,说法错误;对于C选项,若logaM2=logaN2,则M2=N2>0,M=N不一定成立,说法错误;对于D选项,当M=N=0时结论不成立,说法错误.故选BCD.
9.AC [解析] ===1,A成立;===1,B不成立;
lg 14-2lg+lg 7-lg 18=(lg 7+lg 2)-(2lg 7-2lg 3)+lg 7-(2lg 3+lg 2)=0,C成立;(lg 2)2+lg 2·lg 5
+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1,D不成立.故选AC.
10.a+b [解析] log76=log72+log73=a+b.
11.4 [解析] 因为log2x+log2(x-3)=log24,所以log2[x(x-3)]=log24,即x(x-3)=4,解得x=4或x=-1,又因为对数的真数大于0,即 x>3,所以x=4.
12. [解析] 因为m=4log32,所以=====.
13.解:(1)ln =ln x+ln y-ln z.
(2)ln(x2y4z3)=ln x2+ln y4+ln z3=2ln x+4ln y+3ln z.
(3)ln(×)=ln +ln =ln x+ln y+ln z.
14.解:(1)log3+lg 125+lg 8++log1251+log77
=log3+lg(125×8)+2+=+lg 1000+2+=+3+2+=7.
(2)4lg 5+lg 16+2ln-=4lg 5+lg 24+2ln -
=4(lg 5+lg 2)+-=4+-=4.
(3)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2×lg 5=(lg 2+lg 5)×[(lg 2)2-lg 2×lg 5+(lg 5)2]+3lg 2×lg 5
=(lg 2)2-lg 2×lg 5+(lg 5)2+3lg 2×lg 5=(lg 2)2+2lg 2×lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=12=1.
15.9 [解析] 由b3+log3b=-得b3+3log3b=-,即b3+log3b3=+log3b3=-,则+log3b3+=0.由3a-2+a=得3a-2+a-2=-,即3a-2+a-2+=0.构造函数f(x)=3x+x+,因为f(x)在R上单调递增,所以f(log3b3)=f(a-2)=0,则log3b3=a-2,所以3a-2=b3,所以=32=9.
16.解:(1)∵a2+b2=c2,∴log2+log2=log2=
log2=log2=log2=1.
(2)由log4=1,得1+=4,即3a-b-c=0.由log8(a+b-c)=,得a+b-c==4.
又a2+b2=c2,且a,b,c∈N*,∴a=6,b=8,c=10.
