第1单元长方体和正方体的体积重难点应用题专项突破-数学六年级上册苏教版
一、解答题
1．一根长5m的长方体木料，把它锯成3段，表面积正好增加了48dm2这根木料的体积是多少m3？
2．把110厘米长的铁丝焊成一个长方体框架，长是宽的2倍，宽是高的1.5倍，这个长方体的体积是多少？
3．在长为6m，宽为2.8m的沙坑中，铺50cm厚的一层沙子，需要多少立方米的沙子？
4．在一个长方体的一个角上挖去小正方体做成一种零件。求这个零件的表面积和体积。
5．一根长方体木料长35分米，横截面是边长为2分米的正方形，这根木料的体积是多少？
6．做一个如图的无盖长方体铁皮水槽最少需要多大面积的铁皮？这个水槽最多可以盛多少升水？
（单位：分米）
7．小猪佩奇拾到一块奇特的石头，佩奇想知道这块石头的体积。你能帮助佩奇设计一份方案求出这块石头的体积吗？（请写明所准备的工具、测量的步骤或计算的方法等）
8．一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深50厘米，箱中水面高10厘米，放进一个棱长为20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面高多少厘米？
9．一个密封的长方体容器长8dm，宽2dm，高4dm，水深30cm。
（1）水与容器的接触面积是多少平方分米？
（2）若把这个容器的左侧放在桌面上，此时，水深多少分米？
10．一个长方体包装盒的展开图如下：（单位：厘米）
（1）请计算这个长方体包装盒的表面积。
（2）忽略纸的厚度和接头，计算长方体包装盒的最大容积。
11．如图1，把一张长方形卡纸折一下，立放在桌子上。底部是一个面积为36平方厘米的正方形，直立部分的长是10厘米。
（1）如果把直立的卡纸作为长方体纸盒的其中两个面，那么长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？
（2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，再将这个长方体盒子平放（如图2）。那么此时牛奶高度是多少厘米？
12．有一个正方体水箱，从里面量每边长4分米，如果把一满箱水倒入一个长8分米、宽4分米的长方体水池内，水深多少分米？
13．用一根木条围成一个长10厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体框架，这个长方体框架的体积是多少？
14．一辆汽车油箱是一个长方体，从里面量长是6分米，宽是5分米，高是2分米。如果这辆汽车每千米用油75毫升，那么这箱汽油最多能供汽车行驶多少千米？
15．如图。如果长方体水箱的底面积是16平方分米，那么石块的体积是多少立方分米？
16．一块长24厘米，宽18厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边为4厘米的正方形，将它焊成一个无盖的盒子。这个盒子的表面积和容积是多少？
17．把一块体积为48立方厘米的珊瑚石放进一个装有水的正方体容器中，完全浸没且没有水溢出，水面上升了3厘米。这个正方体容器的底面积是多少平方厘米？
18．在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如下图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。
（1）玻璃容器原来盛了多少升水？
（2）该土豆的体积是多少立方分米？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．0.6m3
【分析】把长方体木料截成3段后，表面积比原来增加了4个长方体的底面积，根据表面积增加了48dm2，可求出这个长方体的底面积是48÷4＝12（dm2），再利用长方体的体积＝底面积×高即可解答。
【详解】48dm2＝0.48m2
0.48÷4×5
＝0.12×5
＝0.6（m3）
答：这根木料的体积是0.6m3。
【点睛】抓住长方体的切割特点，得出表面积是增加了4个长方体的底面积，从而利用增加的表面积求出长方体的底面积是解决此题的关键。要注意单位的统一。
2．562.5立方厘米
【分析】根据“长是宽的2倍，宽是高的1.5倍”，可以把高看作1份，则宽是1.5份，长是1.5×2＝3份，一共（3＋1.5＋1）份；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长、宽、高之和＝棱长总和÷4，用长、宽、高之和除以它们的总份数，求出一份数，即是高，进而求出宽和长；最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体的体积。
【详解】长、宽、高之和：110÷4＝27.5（厘米）
高：
27.5÷（1.5×2＋1.5＋1）
＝27.5÷（3＋1.5＋1）
＝27.5÷5.5
＝5（厘米）
宽：5×1.5＝7.5（厘米）
长：7.5×2＝15（厘米）
体积：
15×7.5×5
＝112.5×5
＝562.5（立方厘米）
答：长方体的体积是562.5立方厘米。
【点睛】本题考查长方体的棱长总和、长方体的体积公式的灵活运用，根据长、宽、高之间的倍数关系，利用和倍问题求解。
3．8.4立方米
【分析】根据长方体的体积公式：v＝abh，把数据代入公式即可求出沙子的体积。
【详解】50cm＝0.5 m
6×2.8×0.5＝8.4（立方米）
答：需要8.4立方米的沙子。
【点睛】此题主要考查长方体的体积公式在实际生活中的应用，注意单位的统一。
4．表面积1440cm2，体积是3384cm3
【分析】由题意可知：挖去一个小正方体后，减少了小正方体的3个面，同时又增加了小正方体的3个面，因此后来的表面积就等于长方体的表面积，利用长方体的表面积公式即可得解；剩下部分的体积等于长方体的体积减去小正方体的体积，据此求解即可。
【详解】（20×12＋20×15＋12×15）×2
＝（240＋300＋180）×2
＝720×2
＝1440（cm2）
20×12×15－6×6×6
＝3600－216
＝3384（cm3）
答：这个零件的表面积是1440cm2，体积是3384cm3。
【点睛】解答此题的关键是明确：长方体的表面积不变，体积等于长方体的体积减去小正方体的体积。
5．140立方分米
【分析】已知横截面是边长为2分米的正方形，根据长方体的体积公式＝横截面积×长，用2×2×35即可求出这根木料的体积。
【详解】2×2×35
＝4×35
＝140（立方分米）
答：这根木料的体积是140立方分米。
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
6．128平方分米，120升
【分析】求需要铁皮的面积，根据长方体的表面积公式：，由于水槽无盖，所以只它的一个底面和4个侧面的总面积；求可以盛水多少升，根据长方体的容积（体积）公式：，把数据代入公式即可求出能盛水多少升。
【详解】12×5＋（12×2＋5×2）×2
＝60＋（24＋10）×2
＝60＋34×2
＝60＋68
＝128（平方分米）
＝60×2
＝120（立方分米），
120立方分米升
答：做这个水槽最少需要128平方分米的铁皮，最多可以盛120升水。
【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
7．见详解
【分析】可以用排水法求不规则物体的体积，需要用到能读出体积的量杯，需要测量体积的石头，和一些水。
根据把石头完全浸没在水中时，水面会上升，水上升部分的体积等于石头的体积，据此设计方案。
【详解】准备的工具：一个量杯、一块石头、一些水。
第一步，往量杯里注入一定高度的水，记录水的体积；
第二步，把石头完全浸没水中，水面上升，记录此时水和石头的体积；
用减法求出两次体积的差，就是这块石头的体积。
（答案不唯一）
【点睛】掌握用排水法求不规则物体的体积的方法是解题的关键。
8．15厘米
【分析】铁块顶面仍高于水面，说明铁块未被完全淹没，铁块浸没部分的体积未知。此时抓住水的总体积不变这一关键点，用水的总体积除以现在的水的底面积即可求出水面高度。此时水的底面积等于水箱底面积减去正方体底面积。
【详解】水的体积：40×30×10
＝1200×10
＝12000（立方厘米）
水的底面积：40×30－20×20
＝1200－400
＝800（平方厘米）
高：1200÷800＝15（厘米）
答：这时水面高15厘米。
9．（1）76平方分米
（2）6分米
【分析】（1）水的形状是长方体，前、后、左、右、下面，5个面与容器接触，根据长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，列式解答即可。
（2）根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，用水的体积÷左侧面即可。
【详解】（1）30厘米＝3分米
8×2＋8×3×2＋2×3×2
＝16＋48＋12
＝76（平方分米）
答：水与容器的接触面积是76平方分米。
（2）8×2×3÷（2×4）
＝48÷8
＝6（分米）
答：水深6分米。
【点睛】关键是掌握长方体表面积和体积公式。
10．（1）224平方厘米
（2）192立方厘米
【分析】从长方体包装盒的展开图中可知，长方体的长是12厘米，宽是4厘米，高是4厘米。
（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可；
（2）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。
【详解】（1）（12×4＋12×4＋4×4）×2
＝（48＋48＋16）×2
＝112×2
＝224（平方厘米）
答：这个长方体包装盒的表面积是224平方厘米。
（2）12×4×4
＝48×4
＝192（立方厘米）
答：长方体包装盒的最大容积是192立方厘米。
【点睛】本题考查长方体的表面积、体积计算公式的运用，从长方体的展开图中找到长方体的长、宽、高是解题的关键。
11．（1）312平方厘米
（2）3厘米
【分析】（1）根据长方体的特征可知，长方体有两个面是正方形，那么其他四个侧面是完全相同的长方形。已知这个长方体的底面是面积为36平方厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，可知正方形的边长是6厘米，即长方体的长、宽都是6厘米；那么4个侧面都是“10×6”的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出侧面积，再加上2个正方形的面积，即是这个长方体纸盒的表面积。
（2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，根据长方体的体积＝底面积×高，求出牛奶的体积；再将这个长方体盒子平放，即长方体的底面变成“10×6”的长方形，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出此时牛奶的高度。
【详解】（1）因为36＝6×6，所以正方形的边长是6厘米。
36×2＋10×6×4
＝72＋240
＝312（平方厘米）
答：长方体纸盒的表面积是312平方厘米。
（2）36×5＝180（立方厘米）
180÷（10×6）
＝180÷60
＝3（厘米）
答：此时牛奶高度是3厘米。
12．2分米
【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体水箱容积，求水池内水深相当于求长方体的高，再根据长方体体积公式，长方体的高＝体积÷长÷宽，列式解答即可。
【详解】4×4×4÷8÷4
＝64÷8÷4
＝2（分米）
答：水深2分米。
13．150立方厘米
【分析】已知长方体框架的长、宽、高，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个长方体框架的体积。
【详解】10×5×3
＝50×3
＝150（立方厘米）
答：这个长方体框架的体积是150立方厘米。
14．800千米
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出油箱容积，1立方分米＝1升＝1000毫升，据此统一单位，油箱容积÷每千米耗油量＝行驶路程，据此列式解答。
【详解】6×5×2＝60（立方分米）＝60（升）＝60000（毫升）
60000÷75＝800（千米）
答：这箱汽油最多能供汽车行驶800千米。
15．11.2立方分米
【分析】据题意可知，石块的体积等于上升的水的体积，用水箱的底面积乘上升的水的高度，即可得解。
【详解】
（立方分米）
答：石块的体积是11.2立方分米。
16．368平方厘米；640立方厘米
【分析】在长方形铁皮的四个角上剪去了边长为 4 厘米的正方形，所以盒子底面的长为原来长方形的长减去两个正方形的边长，底面的宽为原来长方形的宽减去两个正方形的边长，盒子的高等于正方形的边长，先分别计算盒子四周的面积、底面积再相加得到表面积，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出盒子的容积，据此解答。
【详解】盒子的长是：
24－4×2
＝24－8
＝16（厘米）
盒子的宽是：
18－4×2
＝18－8
＝10（厘米）
高是4厘米，盒子的表面积是：
24×18－4×4×4
＝432－64
＝368（平方厘米）
盒子的体积是：
16×10×4＝640（立方厘米）
答：这个盒子的表面积是368平方厘米，容积是640立方厘米。
17．16平方厘米
【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，即容器的底面积＝不规则物体的体积÷水面上升的高度，据此解答即可。
【详解】48÷3＝16（平方厘米）
答：这个正方体容器的底面积是16平方厘米。
18．（1）0.9升
（2）0.5立方分米
【分析】（1）观察左图，根据长方体体积公式，长方体玻璃容器的长×宽×水面高度＝水的体积，据此列式解答，注意统一单位；
（2）观察右图，用竖起来的长方体玻璃容器底面积×现在水的高度，求出水和土豆的体积，再减去原来水的体积就是土豆的体积。
【详解】（1）30×10×3＝900（立方厘米）＝0.9（立方分米）＝0.9（升）
答：玻璃容器原来盛了0.9升水。
（2）10×10×14－900
＝1400－900
＝500（立方厘米）
＝0.5（立方分米）
答：该土豆的体积是0.5立方分米。
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