2024学年初三第一学期第一次学情调研
数学学科
（满分150分，时间：100分钟）
2024．9
考生注意：
1．本试卷共25题。
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，在答题纸相应题号选项上用2B铅笔正确填涂】
1．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为4，那么的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
2．下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个圆 B．两个矩形 C．两个直角梯形 D．两个等腰三角形
3．如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
4．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知直线////，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．已知，那么的值是____________．
8．已知线段厘米，厘米，那么线段与的比例中项是____________厘米．
9．如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是____________厘米．
10． 已知的三边之比是2：3：4，与它相似的的最小边长是6，那么的最大边长是____________．
11．如图所示，在中，//，平分，交于点，如果，那么的长是____________．
12．如图所示，已知等边的边长为4，点在边上且，点在边上，，那么的长是____________．
13．如图所示，在正方形中，为对角线，点在边的延长线上，，联结交于点，那么的值是____________．
14．如图所示，在梯形中，//，点、分别在、上，且//，如果，，，那么的长为____________．
15．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义。如图所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为3米，那么灯杆的高度为____________米．
16．如图所示，点是的重心，点是边的中点，过点作∥交于点，过点作∥交的延长线于点，如果四边形的面积为12，那么的面积为____________．
17．定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在中，，，，分别在、上取点、，如果四边形为单邻等对补四边形，那么的长为____________．
18．如图所示，在中，已知，，点为边上一点，点在边上，且，将沿翻折，使得的对应边经过点，当时，点到点的距离是____________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（本题满分10分）
已知，，求、、的值．
20．（本题满分10分）
如图所示，在中，点是边上一点，已知，如果在边上有一点，使得与相似，求的长．
21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知如图所示，在中，点在边上，点、在边上，且//，使．
（1）求证：//；
（2）把与的周长分别记作、，如果，求的值．
22．（本题满分10分）
表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图16、图17所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大．
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图所示，在四边形中，为对角线，过点作，垂足为，已知，点在边上，且；
（1）求证：；
（2）联结、，如果点在的垂直平分线上，求证：．
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题①4分，②4分）
（1）如图所示，在梯形中，//，，点为边上一点，联结、，已知，求的长；
（2）①在一场数学设计活动中，老师提出了一个问题：
【问题】已知直线、，满足//，点为直线、之间一点，试用直尺、圆规在如图所示中作出，使得，其中点在直线上，点在直线上．
【设计】活动成员小明结合作业题中的解题思路，尝试利用尺规完成作图：
第一步：利用直尺，过点作直线的垂线，分别交直线、于点、；
第二步：在点、的右边分别取点、，由于 ▲ __∽ ▲ __，可以得到的值是 ▲ __；第三步：利用圆规，分别在直线、上截出、，联结，即可得到所求的三角形．
【操作】请你根据上述思路，完成第二步填空，并在图中作出满足条件的．
②通过小明同学的思路与作法，请你尝试设计：当直线、不平行时，利用尺规在如图中作出，使得，其中点在直线上，点在直线上．（不写作图过程，保留作图痕迹）
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）题5分，第（3）小题5分）
如图所示，已知在梯形中//，，点为边上一点，且，联结、交于点，已知，过点作的平行线交于点，联结交于点．
（1）求证：点是的中点；
（2）如果∽，求的长；
（3）如图所示，如果与互补，求的面积．
2024学年初三第一学期第一次学情调研
数学学科
答案要点与评分标准
评分说明：
1、解答只列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2、第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；
3、评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅，如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后续部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；
4、评分时，给分或扣分均以1分为基本单位。
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．B.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7． 8．7 9．4 10．12 11．9
12． 13． 14． 15． 16．36
17．或 18．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．解：设
则、、
、、
20．解∵，且与相似，
∴或
∵，
∴或
∴或
∴或
21．证明：∵//
∴
∵
∴
∴//.
（2）解：∵//
∴
同理：
∴
∴∽
∴
设
∵
∴
∵//
∴
∴
∴
∴
∴
∴解得：（舍负）
∴
22．解：设正方形的边长为米．
方案一：
∵//
∴
∴
∴
方案二：
作交于点
∵//
∴∽
∴
∴
解得：
∵
∴方案一的正方形水池面积更大．
23．证明：（1）∵
∴
在与中，
∴∽
∴
∵
∴∽
∴
∴
∵
∴
（2）∵
∴
∵
∴∽
∴，即
∵
∴
∵
∴∽
∴，即
∵点在的垂直平分线上
∴
∴
∴
24．（1）作延长线于点
由一线三直角得：∽
∴
∵
∴
∴
∴
（2）①∽，可以得到的值是 1
如图所示，即为所求．
②【根据下列步骤进行参考评分】
过点作直线的垂线，交于点（用直尺或者三角尺的直角贴住即可）
以为圆心，为半径作圆，交直线（点的右侧）于点．
过作直线的垂线交直线于点
联结，以为圆心，长度为半径作圆，交直线（点的右侧）于点
联结，，即为所求．
【如用其他尺规作图方法得到亦可，只需言之有理即可】
25．证明：∵//
∴
∵
∴
延长交于点
∵//，//
∴四边形为平行四边形
∴
设，则
∵//
∴
∴
∴ 解得
∴，即是的中点
（2）∵∽,且
∴
∵//
∴
∴
∵
∴∽
∴
∵//
∴
设，则
∴代入得：
解得：
∴
（3）解：延长交于点
∵与互补，
∴
∵
∴∽
∴
∵//
∴，推得
∵
∴
解得：
∴由勾股定理得：
作，垂足为点
易得：// ∴ ∴
∴
