2024-2025学年云南省大理州民族中学高一（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.给出下列关系：；；；，其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
2.命题“，“的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.集合的另一种表示法是( )
A. B. C. D.
4.设集合，，，集合真子集的个数为( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知实数，满足，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.下列命题中，正确的是( )
A. 的最小值是
B. 的最小值是
C. 如果，，那么
D. 如果，那么
8.设，，，则，，的大小顺序是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，，，则下列命题正确的是( )
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若且，则
10.已知关于的不等式的解集是，则( )
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是或
11.“”的充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，集合若，则实数______．
13.已知，，且，则的最小值是______．
14.已知对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，求：
，；
，．
16.本小题分
Ⅰ解不等式；
Ⅱ解不等式．
17.本小题分
已知集合，集合．
当时，求和；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
设函数．
若不等式的解集为，求，的值；
当时，，，，求的最小值．
19.本小题分
某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，，故错，是无理数，故，故正确，
又，故错，，正确，
故选：．
根据数集的定义可依次判断．
本题考查数集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题“，“的否定是：，．
故选：．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的表示方法，属于基础题．
集合是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，看出描述法所表示的数字，在集合中列举出元素．
【解答】
解：集合是用描述法来表示的，
用另一种方法来表示就是用列举法，
即
故选D．
4.【答案】
【解析】解：由题意集合，，，，
那么：、的组合有：、，、，、，、，、，、，
，
，
集合中有个元素，有个真子集．
故选：．
由题意，，，可以把，的组合列出来，然后就算的值，根据互异性可得集合，集合中有个元素，有个真子集可得答案．
本题考查了集合的运算及集合的子集个数，若一个集合中有个元素，则它有个子集，有个真子集，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：当时，成立，
故“”“”为真命题
故“”是“”的充分条件；
当时，或，即不成立
故“”“”为假命题
故“”是“”的不必要条件；
综上“”是“”的充分不必要条件；
故选：．
先后分析“”“”与“”“”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．
本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中判断“”“”与“”“”的真假，是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
则，
，
则．
故选：．
结合不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式、不等式的性质，属于中档题．
根据基本不等式和不等式性质对选项逐一判断即可．
【解答】解：对于，当时，，故A不正确；
对于，，最小值不为，故B不正确；
对于，，，那么，或，故C不正确；
对于，，，，故D正确．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：因为，
又，，
所以，
又且，
所以，即．
故选：．
先对已知式子进行变形，进而可比较大小．
本题主要考查了不等式大小的比较，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当，时，满足且，但，故A错误；
对于，，
因为，所以，，
所以，即，故B正确；
对于，若，则，则，
当时，，所以，故C正确；
对于，若且，
因为，所以，必为一正一负；
又，所以，，
当、，时，满足且，但，故D错误．
故选：．
利用赋值法及不等式的性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质和应用，注意赋值法的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为不等式的解集是，
所以且，为方程的两根，A正确；
故，
所以，，
所以，B正确；
，C错误；
由不等式可得，
解得或，D正确．
故选：．
由已知结合二次不等式与二次方程的转化关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：又可得，
因为，，
故“”的充分不必要条件可以是．
故选：．
先求出已知不等式的解集，然后结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解．
本题主要考查了集合充分必要条件的判断，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由，，
解得．
验证可得符合集合元素的互异性，
此时，，满足题意．
故答案为：
根据题意，若，必有，而不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，且，，
，
当且仅当时，等号成立，
故答案为：．
由基本不等式知．
本题考查了基本不等式的应用，注意一正二定三相等这三个条件的判断即可．
14.【答案】
【解析】解：时，不等式化为，对任意实数不等式恒成立，满足条件；
时，根据一元二次不等式恒成立的条件，应满足，
即，
解得；
实数的取值范围是．
故答案为：．
讨论时和时不等式恒成立的条件是什么，从而求出实数的取值范围．
本题考查了利用判别式求不等式恒成立的问题，是基础题．
15.【答案】解：因为，，
所以，．
由可得，
，
或．
【解析】解出集合，按照集合的运算法则进行运算即可．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
16.【答案】解：Ⅰ，
即为，
即，
解得或，
故原不等式的解集为；
Ⅱ由，
即为，
即为，
即，
解得．
故原不等式的解集为
【解析】本题考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，属于基础题．
Ⅰ先因式分解即可求出答案，
Ⅱ把原不等式化为，解出即可．
17.【答案】解：集合，
整理得：或，
集合．
当时，．
所以．
若是的必要不充分条件，所以，
当时，，解得．
当时，或，
整理得或．
综上所述：或．
【解析】首先求出集合，再求出集合，根据补集和并集的定义即可求出；
由是的必要不充分条件，可得，分和讨论即可得解．
本题主要考查集合的交、并，补集的混合运算，必要不充分条件，以及利用集合关系求参数范围，属于中档题．
18.【答案】解：由题意知，和是方程的两根，
所以，，
解得，；
由，知，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
【解析】由题意知，和是方程的两根，再利用韦达定理求解即可；
由，知，再利用基本不等式求解．
本题主要考查了韦达定理的应用，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：如图所示，设底面的长为，宽为，，
则，，
设房屋总造价为，
由题意可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故当房屋底面的长为，宽为时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是元．
【解析】设底面的长为，宽为，则，设房屋总造价为，由题意可得：，再利用基本不等式即可得时，的值最小，故当房屋底面的长为，宽为时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是元．
本题主要考查了函数的实际应用，以及利用基本不等式求函数的最值，是中档题．
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