华南师大附中 2025 届高三 10 月阶段检测数学参考答案
一、 单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B A C D C
解析：
1. 由题， ，当且仅当 取等，故最大值是 ，答案选 B
2. 由题， 得 ，求与大于 的整数的交集得 ，答案选 A
3. 由题， ，故相互独立，答案选 C
4. 由题， 与 均不为零向量，不能作为平面向量的一组基底则两向量共线，得 ，故 ，答案选 B
5. 由题， 即 在以 为直径的圆上且不与 中任意一点重合，故为充分条件，当 时，以 为
直径的圆与椭圆 公共点为 ，不符合题意，故不是必要条件，答案选 A
6. 由题得 ，又由正弦定理， ，故
所以 ，又 得 ， 得 或 ，答案
选 C
7. 由题，不妨 在 轴上方，则设切线斜率为 ，双曲线上一点的切线斜率的绝对值大于渐近线斜率的绝对
值，则 ，又 ，故 ，又 与双曲线右支有两个交点且斜率为负，则其斜率小于斜率
为负的渐近线斜率 ，因此 得 ，故选 D
8. 由题，若组织方打开，设事件 为“最终中奖”，事件 为“一开始选中的有奖”，则 ，
在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余 个盲盒中有 个奖品，
更换后 ，
若一开始选中的无奖，则剩余 个盲盒中有 个奖品，则更换后 ，
故 ，
由于风吹掉为随机吹掉，故所有 个盲盒中有 个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等， ，
因此 ，故 ，答案选 C
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二、 多选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
解析：
9. 原先极差为 ，去掉后为 ，由于数据依次增大，则极差减小，A正确；原先 个数据，因为
不是整数，所以向上取整，下四分位数为第二个数 ，去掉后 个数据， 是整数所以
取与上一个数的平均值 ，下四分位数增大，B错误；同理原先上四分位数为 ，去掉后为 ，故
减小，C正确；中位数始终为 不变，D错误，故选 AC
10. 为 中点，则 ，而两个三棱锥高相等，故体积相等，A正确；
因为 平面 ， 平面 ，所以 ,又 , 平面 ,
故 平面 ， 平面 ，故平面 平面 ，
过 作 ，垂足为 ，因为面 平面 ， 平面 ，故 面 ，
而 面 ，故 ，若 ，
则 ，而 ， 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，故 ，
故 B 正确.
若 与 重合，由于 ,若 , 平面 ,所以 平面 ,
平面 ,故 ,这与 矛盾，所以 不成立，
故 与 重合，满足 ，但此时 不成立，故 C错误；
由 平面 ， 平面 ，故 ，故 ， 为外接球球
心，且 ， ，又 ， 可以在以 中点为圆心， 为半径的圆上运
动，
到 的距离为 ，当且仅当 时等号成立，
故 到 的距离最大为 ，此时 ，故 ，D正确，
故选：ABD.
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11. 由题， 恒成立，两边同时对 求导得 ，故
，A选项正确；
函数 的图像上可能存在关于 对称的两点，则存在 使得 在
有零点， ，若 单调递增则在 时 ，故
， 单调递增，故 ，同理得若 单调递减则 ，故
不存在零点，故 B错误；
令 ，函数 的图像上存在关于直线 对称的两点则 时
存在零点，而 ，有 ，若 在 不存在零点即函数 的图像
上不存在关于 对称的两点则有 单调， ，函数 的图像上不存在关于直线
对称的两点，故“函数 的图像上存在关于直线 对称的两点”是“函数 的图像上存在关于
对称的两点”的充分条件，
在 存在零点时，可能有 恒成立， 单调递增，函数 的图像上不存在关于直线
对称的两点，故“函数 的图像上存在关于直线 对称的两点”不是“函数 的图像上存在关于
对称的两点”的必要条件，C正确；
D 选项即 存在 的零点，
，若 则 ，
单调递减，则 ，有 ， 单调递减，故
，同理 单调递减而不存在正零点；
若 得 ， 单调递减，而 时 ，则 存在唯一零点 ， 在 单调递
增在 单调递减，而 时 ， 故只需 （不能取等，极限不在定义域
内）即有 在 存在唯一正零点，得 ，故当且仅当 时成立，D正确.
三、 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12. 13. 14.
解析：
12. 化简得 .
13. 两个几何体高相等，三棱锥的底面 面积为正方形 的一半，同时三棱锥体积还要再乘上 ，故为
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14. 由题得 ，设 ，则 ，又 ，则 时
，故 时 .
由 除以 等于 余 ，易得 ，故 ，
得 ，
又 为单调递增函数， 故 ，
只需在 单调递增即可满足题意：设 ，若 ，则
，
而 ，故 在 单调递增
而依此类推可得 始终单调递增，
故 两边都可以趋近取等，
故 ， ，且可以取等.
四、 解答题：本题共 5小题，共 77 分.
15.
(1). 三角形面积 ，得 ，
由正弦定理得 .
(2). ，故 ，由三角形三边关系， 得 故 ， 故 得 .
16.
(1).代入得 ，
故 ，解得 ，
故标准方程为
(2).设 ，由题 ，
相减得 ，又该式不为零，
，
由 为圆 的一条非直径的弦， 为 中点得 ,故
易得本题所有直线斜率存在，
因此 为定值
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或：易得本题所有直线斜率存在，
由 为圆 的一条非直径的弦， 为 中点得 ,故
设 ，
与双曲线联立得
整理得 ，由有两个交点故有
此时 ，
，故 ，
因此 为定值
17.
(1).在 中，由余弦定理有： ，
得 ，
设 ，则 ，由题得该方程有实根，故 ，
得 ，故 ，则 = ，容易验证可以取到等号，故最小值为
(2).
三棱锥 体积最大时，由于高一定，故 最大
由(1)得 ，由于该方程中 地位等价，
同(1)，关于 存在实根即 ， ，当 时取等，
由 地位等价，同理可得 ， ，当 时取等，
故 ，当且仅当 取等，
此时 为等边三角形， ，而 ，故作 于 ，
此时 ， ，故
故此时 的面积为 .
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18.
(1).
得 ，
又 ，故切线方程为
则 ， .
(2).
由题可知， 在 上单调递增则 恒成立，
故必有 解得 ，
而当 时，由于 ，则
当 时 最小，此时
，有 ，
当 时 ， ，故 ， 单调递减，
当 时 故 ， 单调递增，
当 时 ，当 时 ， 单调递增，
反之 时 ， 单调递减，
由三角函数知识，存在两点 使得 ，
且 和 上 ， 上 ，故 先增后减再增， ，
则 在 时有唯一零点 且 在 为正， 为负，
故 在 先增后减，且 ，故 ，
则 恒成立，故 时 ， 在 上单调递增，
故取值范围为
19.
(1).
一个元素的有：
由题得 ，故两个元素的只有可能为 ，且不可能有三个元素以上的子集.
故为
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(2).
由题， ，当 不多于两个元素每个 -分离子集只能有一个元素，故显然 ， ，
当 时， 不含元素 的全体 -分离子集即为 的全体 -分离子集，其数量为
若集合 为 的 -分离子集，且 中包含元素 ，则 不是 中的元素，否则 不符合题意，
而对 的任意 -分离子集与 的并集，由 中元素都不大于 ， 故符合题意，其
数量为
且单元素集合 也符合题意，故 包含元素 的全体 -分离子集数量为 ，
得 ，
故
又 ，故 ，
且 ， ，
故 时， ，
同理 ， ， ， 故原式得证！
(2).
中的所有非空子集数量为 ，故只需证明 的“ -分离子集”数量大于 ，
记 的“ -分离子集”的数量为 ，
则当 时，由 中任意两个元素 满足 ，
故 -分离子集只能为单元素子集， ，
当 时，与(2)同理， 不含元素 的全体 -分离子集数量为 ，
包含元素 则 -分离子集为 或除 外最大元素只能不大于 ，
故 的全体 -分离子集为 与 的 -分离子集的并集和 ，故数量为 ，
因此 得
由 ，得
同(2)可得，只需证明在 时， ，
令 ，只需证明 ，
，显然 故 单调递增，
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若 存在零点 则 在 单调递减， 单调递增，
则 的最大值为 中较大者，
则 单调递增， 的最大值为 ， 则 单调递减， 的最大值为 ，
而 ， ，
即为 ，即 ，即 在 处大于零，
即证 ，同取对数为 ，
令
即 ，则 ，
，
令 ， ，
故 上 ， 则 ，得证！
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华南师大附中 2025 届高三 10 月阶段检测
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.
1. 的最大值是( )
A. B. C. D.
2. 已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 掷出两枚质地均匀的骰子，记事件 “第一枚点数小于 “，事件 ”第二枚点数大于 4“，则 与 关系
为( )
A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等
4. 设平面向量 ， ，若 与 不能作为平面向量的一组基底，则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知椭圆 ，点 ， ，且 ，则“ 上存在点 使 ”是“以 为直
径的圆与椭圆 存在公共点的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不必要也不充分
6. 在外接圆半径为 的 中， 分别为角 的对边，若 ，则 ( )
A. B. C. 或 D.
7. 若双曲线 的右支上存在两点 使直线 垂直于双曲线在点 处的切线，则 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
8. 有 个盲盒，其中有 个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲
盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为
；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，
此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为 ，则对任意符合题意的 ，都有 ( )
A. B. C. D.无法确定 与 的大小关系
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二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得 6分，部分选对得部分分，有选错或未选的得 0 分.
9. 已知 为依次增大的一组数据，则去掉 和 后，这组数据的( )一定减小.
A.极差 B.下四分位数 C.上四分位数 D.中位数
10. 如图所示，四面体 的底面是以 为斜边的直角三角形， 体积为 ， 平面 ，
， 为线段 上一动点， 为 中点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥 的体积和三棱锥 的体积相等
B. 当 时，
C. 当 时，
D. 四面体 的外接球球心为 ，且外接球体积 与 之比的最小值是
11.对称性是数学美的一个重要特征，函数的对称性是函数的重要性质.已知函数 的图像连续不断，且在定义域
内有导函数 ，则下列说法正确的有( )
A. 若函数 的图像关于点 对称，则函数 的图像关于直线 对称
B. 若 单调， 在 定义域内，则函数 的图像上可能存在关于 对称的两点
C. 若 为 的极值点，则“函数 的图像上存在关于直线 对称的两点”是“函数 的图像上存在
关于 对称的两点”的充分不必要条件
D. 若函数 ，则当且仅当 时， 的图像上存在关于直线 对称的两点
参考数据：
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
12. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 ___________.
13. 已知正四棱柱 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则 ___________.
14. 设定义域为 的单调递增函数 满足 ，且 ，则 时，
___________，若实数 满足对任意符合题意的 都有 ，则 的最小值为
___________.
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知在 中， 分别为角 的对边， 的面积为 .
(1). 求 的值；
(2). 若 ，证明： .
16.（15 分）
已知在平面直角坐标系 中，双曲线 过 和 两点.
(1). 求双曲线 的标准方程；
(2). 若 为双曲线 上不关于坐标轴对称的两点， 为 中点，且 为圆 的一条非直径的弦，记 斜率为
， 斜率为 ，证明： 为定值.
17.（15 分）
如图所示，正四面体 棱长为 ， 分别在棱 上， .
(1). 求 的最小值；
(2). 求三棱锥 体积最大时 的面积.
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18.（17 分）
已知函数 .
(1). 若 在 处的切线过原点，求 的取值；
(2). 若 在 上单调递增，求 的取值范围.
19.（17 分）
已知 为正整数，集合 中， 依次构成公比为 的正项等比数列.
集合 为 的非空子集.若 中只有一个元素或 中任意两个元素 都满足 ，
则称 为 的“ -分离子集”.记数列 为 的正零点.
(1). 写出 的所有 -分离子集；
(2). 记 的“ -分离子集”的数量为 ，证明： ；
(3). 在 中的所有非空子集中等概率地选取一个子集 ，证明： 为 的“ -分离子集”的概率大于 .
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