2024-2025学年河南省周口市太康县新星学校九年级（上）月考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.设、是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
5.若抛物线与抛物线关于原点成中心对称，其中的解析式为，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
6.已知二次函数为常数，当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息：
；；；你认为其中正确的个数有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
8.如图，将绕点逆时针旋转得到若点在线段的延长线上，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
9.对于实数，，，，定义如下运算，例如，则的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 无实数根
10.如图，点为矩形的边上一点，动点，同时从点出发以的速度运动，其中，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止．设点出发时，的面积为，与的函数关系如图所示曲线为抛物线的一部分，则当时，的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.抛物线与轴的其中一个交点坐标是，则的值为______．
12.已知，且满足，，那么的值为______．
13.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点到水枪底部的距离为______．
14.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则阴影面积等于______．
15.在平面直角坐标系中，抛物线上有一动点，直线上有一动线段，当点坐标为______时，的面积最小．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：用指定方法解下列一元二次方程
公式法
配方法
17.本小题分
在平面直角坐标系中如图：
画出将向左平移个单位，向上平移个单位所得到的；
画出关于原点成中心对称的；
若点是轴上的点，且使得的值最小，则点的坐标为______．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程有两个不相等的实数根；
若的两边，的长是方程的两个实数根，第三边的长为当是等腰三角形
时，求的值．
19.本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点．
求的值和图象的顶点坐标．
点在该二次函数的图象上．
当时，求的值；
若点到轴的距离小于，请根据图象直接写出的取值范围．
20.本小题分
“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于年月日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价元．规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨元，每天销量减少个．
求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利元；
将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
21.本小题分
【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图的图案，则 ______；
【迁移应用】如图，在正方形中，是边上一点不与点，重合，连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】在菱形中，，是边上一点不与点，重合，连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．
线段与的数量关系是______；
若，是的三等分点，则的面积为______．
22.本小题分
已知，抛物线经过点和．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．
23.本小题分
如图，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接求：
旋转角的度数；
线段的长；
的度数．
如图所示，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接当、、满足什么条件时，？请给出证明．
参考答案
1.【答案】
解：不是中心对称图形，故A错误；
B.是中心对称图形，故B正确；
C.不是中心对称图形，故C错误；
D.不是中心对称图形，故D错误．
故选：．
2.【答案】
解：，，
可化为，即，
因式分解得，，解得，．
故选：．
3.【答案】
解：由函数与抛物线可知两函数图象交轴上同一点，抛物线的对称轴为直线，在轴的左侧，
A、抛物线的对称轴在轴的右侧，故选项错误；
B、抛物线的对称轴在轴的右侧，故选项错误；
C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，且交于轴上同一点，故选项正确；
D、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，故选项错误；
故选：．
4.【答案】
解：是关于的方程的一个根，
，
，
，
解得，．
当是腰时，是底边，此时周长；
当是底边时，是腰，，不能构成三角形．
所以它的周长是．
故选：．
5.【答案】
解：根据题意，，得．
故选：．
6.【答案】
解：当时，则时，函数值有最大值，
故，
解得：，舍去；
当时，的最大值为，不符合题意；
当时，则时，函数值有最大值，
故，
解得：舍去，．
综上所述：的值为或．
故选：．
7.【答案】
解：抛物线开口向下，与轴的交点位于轴的上方，
，，
对称轴为，
，
，，
，故正确，错误；
当时，，
，
又，
，
，故正确；
当时，，
，
，故正确；
正确的有个，
故选：．
8.【答案】
解：是由绕点逆时针旋转得到的，
，，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
解：，
，
整理得，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
10.【答案】
解：根据图可得，当点到达点时点到达点，
点、的运动的速度都是秒，
，
，
从到的变化是，
，
，
在中，，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
，解得，
，
当时，点在上，则，
故选：．
11.【答案】
解：抛物线与轴的其中一个交点是，
，
，
，
故答案为：．
12.【答案】
解：，且满足，，
、为方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
13.【答案】
解：如图，以所在直线为轴、所在直线为轴建立直角坐标系，
由题意知，抛物线的顶点的坐标为、点，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为，
当时，有，
解得：舍或，
米，
答：水流的落地点到水枪底部的距离为．
故答案为：．
14.【答案】
解：在中，，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
阴影面积，
故答案为：．
15.【答案】
解：因为线段是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，
若直线向上平移与抛物线相切，切点即为点，
设平移后的直线为，
直线与抛物线相切，
，即，
则，
，
平移后的直线为，
解得，，
点坐标为，
故答案为．
16.解：、、，
，
则；
，
，
则，即，
或，
解得：或．
17.解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，点即为所求．
由作图可知，，
直线的解析式为，
故答案为：
18.证明：．
方程有两个不相等的实数根；
解：由 ，得，
，．
即、的长为、，
当时，即 ，满足三角形构成条件；
当时，，解得 ，满足三角形构成条件．
综上所述， 或 ．
19.解：把点代入中，
，
，
顶点坐标为；
当时，，
点到轴的距离小于，
，
，
．
20.解：设每件纪念品销售价上涨元，
根据题意得：，
整理得：，
，
解得：，，
销售单价不高于元，
，
答：当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利元；
根据题意得：
，
，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
当时，最大，最大值为，
，
当纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是元．
21.【课本再现】解：四边形和四边形是全等的矩形，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【迁移应用】证明：过点作，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转得，，
，
，
≌，
，，
，即，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
【拓展延伸】解：过点作，与的延长线交于点，
四边形是菱形，
，，
由旋转得，，
，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：；
当时，，
由知，，
，
和底边、边上的高相等，
；
当时，，则，
，
和底边、边上的高相等，
；
故答案为：或．
22.解：将、代入中，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图所示．
当时，有，
解得：，，
点的坐标为．
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
当的值最小时，点的坐标为．
设点的坐标为，
则，，
．
分三种情况考虑：
当时，有，即，
解得：，，
点的坐标为或；
当时，有，即，
解得：，
点的坐标为；
当时，有，即，
解得：，
点的坐标为
综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或
23.解：为等边三角形，
，，
绕点顺时针旋转后得到，
，
旋转角的度数为；
绕点顺时针旋转后得到，
，
而，
为等边三角形；
；
为等边三角形，
，
绕点顺时针旋转后得到，
，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
；
时，理由如下：
绕点顺时针旋转后得到，
，，，
为等腰直角三角形，
由勾股定理可得：，
当时，为直角三角形，，
，
当、、满足时，．
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