通榆县毓才高级中学高三年级第一次月考试题
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合，常用逻辑用语，不等式，函数，导数，任意角和孤度制 三角函数概念 同角三角函数关系及诱导公式.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.或
C. D.或
2.已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.若角的终边上有一点，且，则（ ）
A.4 B. C. D.
4.设角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，则“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
5.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知正数满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
A.随机变量的均值为8 B.随机变量的方差为16
C. D.
10.现安排甲 乙 丙 丁 戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译 导游 礼仪 司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（ ）
A.不同安排方案的种数为
B.若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C.若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
D.若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
11.已知点是函数图象上两点，则（ ）
A.对任意点，存在无数个点，使得曲线在点处的切线倾斜角相等
B.若存在点，使得曲线在点处的切线垂直，则
C.若对于任意点，直线的斜率恒小于1，则的取值范围是）
D.若且曲线在点处的切线都过原点，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中，项的系数为__________.
13.设，则__________.
14.函数是数学中重要的概念之一，1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.已知对任意的整数均有，且，则__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（本小题满分15分）
已知函数，若函数的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数的图象上.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件20元的价格，全部由总厂收购.
（1）求年利润关于年加工量的解析式；（年利润=年销售收入-流动成本-年固定成本）
（2）当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据：）
18.（本小题满分17分）
科普知识是一种用通俗易懂的语言，来解释种种科学现象和理论的知识文字，以普及科学知识为目的.科普知识涵盖了科学领域的各个方面，无论是物理 化学 生物各个学科，还是日常生活无不涉及到科普知识.由于其范围的广泛性，奠定了科普知识的重要意义和影响.某校为了普及科普知识，在全校组织了一次科普知识竞赛.经过初赛 复赛，甲 乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规则为每人回答一个问题，答对者为本队赢得5分，答错或不答者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）设随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望；
（2）求甲 乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率.
19.（本小题满分17分）
定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ii）对于（i）中的正数，证明：.
通榆县毓才高级中学高三年级第一次月考试题·数学（理科）
参考答案 提示及评分细则
1.D 因为集合，所以或，所以或.故选D.
2.D 设扇形的半径为，又圆心角为3rad，所以扇形的周长，解得，所以扇形的面积.故选D.
3.C 由已知，得，解得.故选C.
4.C 当时，，所以成立，所以“（”是“”的充分条件；当时，（），所以“”不是“”的必要条件.故选C.
5.A 记事件为在某次通电后 有且只有一个需要更换，事件为需要更换，则，由条件概率公式可得.故选A.
6.B 的定义域为，且，所以为奇函数，排除A，C；当时，，则，当时，，所以在区间上单调递增，排除D.故选B.
7.B 由题意知，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以解得，即的取值范围是.故选B.
8.A 因为，所以，又，所以，所以，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以.故选A.
9.ACD 随机变量服从正态分布，所以随机变量的均值为8，故A正确；随机变量的方差为256，标准差为16，故B错误；由正态分布的对称性知，，故C正确；由正态分布的对称性知，，所以，故D正确.故选ACD.
10.BD 若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，则不同安排方案的种数为，故B正确；先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译 导游 礼仪三项工作，有种情况，则不同安排方案的种数是，故C错误；第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组，安排翻译 导游 礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为；第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作，再将剩下的3人安排翻译 导游 礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确.故选BD.
11.ABD 设，对于A，因为，要使，则的值有无数个，A正确；对于B，存在点，使得曲线在点处的切线垂直，即存在，使得，因为，所以，B正确；对于C，对于任意点，直线的斜率恒小于1，则，即，所以在上是减函数，所以，C错误；对于D，曲线在点处的切线都过原点，则，整理得，同理可得，所以，D正确.故选ABD.
12.135 展开式的通项公式，令，解得，所以项的系数为.
13. 因为，所以，所以.
14.2048285 在中，令，得，于是.在中，令，得.在中，令，得.，，上述等式左 右两边分别相加，得.
13.解：（1）因为，所以，
所以，即.
因为，则，所以，
因为，所以.
（2）由解得，
所以；
所以.
16.解：（1）设为图象上任意一点，则是点关于原点的对称点，
因为在的图象上，所以，
即.故.
（2），即.
设，易知在上是增函数，所以，可得.
故实数的取值范围是.
17.解：（1）当时，，
当时，.
所以
（2）当时，，
所以在上单调递增，
所以，
当时，，
当且仅当，即时取得等号.
因为，所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元.
18.解：（1）的所有可能取值为，
所以，
，
的分布列为：
0 5 10 15
所以.
（2）记“甲队得0分，乙队得15分”为事件，“甲队得5分，乙队得10分”为事件，
所以，
，
所以，
即甲 乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率为.
19.（1）解：，
当时，对任意恒成立，故函数在上单调递增；
当时，令，得；令，得，故函数在上单调递
减，在上单调递增.
（2）证明：（i）令，得，得，
设，则，设，则.
当时，单调递减.
即在上单调递减，且，
故，使得.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
因为，
所以在上只有一个零点，故函数在上只有一个零点，
即函数与在上存在“单交点”.
（ii）因为，所以要证，即证，
即证，只需证.
因为，得，
所以只需证即可.
令，则.
当时，单调递增；当时，单调递减，
故，即，原不等式即证.
