盖州分校 学习要注意到细处，不是粗枝大叶的，这样可以逐步学习、摸索，找到客观规律。
单元检测卷(三) 一元函数的导数及其应用
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·南京调研]若直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2ln x相切，则实数a的值为( )
A.0 B.－1 C.－2 D.－3
1.C [由y＝x－2ln x，得y′＝1－.
设直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2ln x切于点(x0，y0)，
则解得故选C.]
2.[2024·成都诊断]设函数f(x)的导函数是f′(x).若f(x)＝f′(π)x2－cos x，则f′＝( )
A.－ B. C. D.－
2.B [∵f(x)＝f′(π)x2－cos x，
∴f′(x)＝2f′(π)x＋sin x，
∴f′(π)＝2πf′(π)，从而f′(π)＝0，
∴f(x)＝－cos x，
∴f′(x)＝sin x，∴f′＝.故选B.]
3.[2023·泰安模拟]若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是( )
A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1]
C.(－∞，－2] D.[－2，＋∞)
3.C [∵f(x)＝－x2＋4x＋bln x在(0，＋∞)上是减函数，∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即f′(x)＝－2x＋4＋≤0，即b≤2x2－4x.∵2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2(x＞0)，
∴b≤－2.故选C.]
4.[2024·深圳检测]已知曲线y＝axex＋ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝3x＋b，则( )
A.a＝e，b＝－2 B.a＝e，b＝2
C.a＝e－1，b＝－2 D.a＝e－1，b＝2
4.C [由y＝axex＋ln x，可得y′＝aex(x＋1)＋，因在点(1，ae)处的切线方程为y＝3x＋b，故2ae＋1＝3，得a＝e－1，
又点(1，ae)即点(1，1)在切线上，故1＝3×1＋b，得b＝－2.故选C.]
5.[2023·四省联考]设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f′(x)
C.f(x)＋g(a)
对于C，D，令h(x)＝f(x)－g(x)，则h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，所以h(x)在R上单调递减.因为x∈(a，b)，即a
6.[2024·济南模拟]若x＝－4是函数f(x)＝(x2＋ax－5)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A.－3 B.7e－5 C.－3e D.0
6.A [由f(x)＝(x2＋ax－5)ex－1，得f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－5]ex－1，因为x＝－4是函数f(x)的极值点，所以f′(－4)＝(3－3a)e－5＝0，解得a＝1，故f′(x)＝(x2＋3x－4)ex－1＝(x＋4)(x－1)ex－1，当x＜－4或x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当－4＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，即x＝1是函数f(x)的极小值点，故函数f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.故选A.]
7.[2024·武汉质检]若a＝·e，b＝·ln，c＝e，则( )
A.b
则f′(x)＝－1＝，
令f′(x)＝0，得x＝0，
当－1
当x>0时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(－1，0)上单调递增，
在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)≤f(0)＝0，即ln(1＋x)≤x，
当且仅当x＝0时等号成立，
所以b＝·ln＝·ln<×＝
则h′(x)＝ex－e，
令h′(x)＝0，得x＝1，
当x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0，
所以函数h(x)在(－∞，1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝0，即ex≥ex，
当且仅当x＝1时等号成立，所以a＝·e>×e×＝e＝c，即a>c.
综上，b
A.(0，＋∞) B.(0，e)
C.(0，1)∪(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，e)
8.C [令f(x)＝xln x，x∈(0，＋∞)，
则f′(x)＝ln x＋1，
当x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，又当x＝1时，f(x)＝0，当x趋向于正无穷时，f(x)趋向于正无穷，故作出y＝f(x)的大致图象，如图所示.
由题知函数g(x)＝xln x－a(x－1)恰有2个零点，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a(x－1)的图象恰有2个交点，易知点(1，0)为曲线
y＝f(x)与直线y＝a(x－1)的公共点，又曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1，所以当0＜a＜1，直线y＝a(x－1)与曲线y＝f(x)有2个交点；
当a＞1时，直线y＝a(x－1)与曲线y＝f(x)有2个交点.综上所述，实数a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞).故选C.]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·嘉兴调研]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在R上单调递增，f′(x)为其导函数，则下列结论正确的是( )
A.f′(1)≥0 B.f(1)≥0 C.a2－3b≤0 D.a2－3b≥0
9.AC [因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0对于任意的x∈R恒成立，所以f′(1)≥0恒成立，但f(1)大小未知.对于方程3x2＋2ax＋b＝0，Δ＝4a2－12b≤0，即a2－3b≤0.所以正确的是AC.]
10.[2024·济南调研]已知函数f(x)＝x3－ax＋2有两个极值点x1，x2，且x1
C.f(x1)>f(x2) D.f(x)的图象关于点(0，2)中心对称
10.BCD [易求得f′(x)＝3x2－a，则f′(x)＝0有两个不等根x1，x2，所以a>0且x1x2＝－<0，故A错误，B正确；
易知x1＋x2＝0，
又x1
＝·＝>0，故C正确；
由f(x)＋f(－x)＝4，得f(x)的图象关于点(0，2)中心对称，故D正确.故选BCD.]
11.[2024·杭州质检]已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则( )
A.f(2 023)＝2 B.f′(x)的周期是4
C. f′(x)是偶函数 D.f′(1)＝1
11.BC [因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f′(－x)＝f′(x)，
则函数f′(x)是偶函数，C正确；
又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝f(x)，
所以f′(x＋4)＝f′(x)，
所以函数f′(x)是以4为周期的周期函数，B正确；
f(2 023)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
A错误；
由f(x＋2)＝f(－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f′(1)＝0，D错误.故选BC.]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2023·徐州模拟]我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为“”型，比如：当x→0时，的极限即为“”型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.
如：lim ＝lim ＝lim ＝1，则lim ＝________.
12.2 [由题可得
lim ＝lim
＝lim ＝lim
＝lim ＝2.]
13.[2024·茂名质检]修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面，坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米.为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB，BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆形小岛上再修建栈道，以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米.
13.＋5 [连接CD，CE，由半圆半径为1得CD＝CE＝1.由对称性，设∠CBE＝∠CBD＝θ，
又CD⊥BD，CE⊥BE，
所以BE＝BD＝＝，
BC＝＝.
易知∠MCE＝∠NCD＝θ，
所以＝的长为θ.
又AC＝3，故AB＝AC－BC
＝3－∈(0，2)，
故sin θ∈，
令sin θ0＝且θ0∈，
则f(θ)＝5－＋＋2θ，
θ∈，
所以f′(θ)＝.
当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化如下表：
θ
f′(θ) － 0 ＋
f(θ) 单调递减 极小值 单调递增
所以栈道总长度的最小值f(θ)min＝f＝＋5.]
14.[2024·济宁质检]若对任意的x∈，总存在三个不同的y∈[－1，3]，使得方程xey＋y2－aey＝0成立，其中e≈2.718 28…为自然对数的底数，则实数a的取值范围是________.
14. [因为xey＋y2－aey＝0，
所以＝a－x，
又当x∈时，a－x∈，
令f(x)＝，x∈[－1，3]，
所以f′(x)＝，x∈[－1，3]，
令f′(x)＞0得0＜x＜2，f′(x)＜0得
2＜x＜3或－1＜x＜0，
所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增，在(2，3)上单调递减，
又f(－1)＝e，f(0)＝0，f(2)＝，
f(3)＝，
所以如图为函数f(x)＝在[－1，3]上的图象，所以要使直线y＝t与f(x)＝(x∈[－1，3])的图象有三个交点，需使t∈，又对任意的x∈，总存在三个不同的y∈[－1，3]，使得方程xey＋y2－aey＝0成立，所以 ，所以
解得≤a＜，所以a的取值范围是.]
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·张家口模拟]已知函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)当a＝2时，求曲线在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若g(x)＝f(x)－x2，且g(x)在[0，＋∞)上的最小值为0，求实数a的取值范围.
15.解 (1)当a＝2时，f(x)＝ex－2x－1，
f(1)＝e－3，∴f′(x)＝ex－2，f′(1)＝e－2，
∴切线方程为y－(e－3)＝(e－2)(x－1)，
即(e－2)x－y－1＝0.
(2)原条件等价于：在[0，＋∞)上，g(x)＝ex－x2－ax－1≥0恒成立，
当x＝0时，g(0)＝0≥0成立；
当x≠0时，不等式可化为
a≤，令h(x)＝，
则h′(x)＝＝，
令m(x)＝ex－x－1，
则m′(x)＝ex－1，m(0)＝0，
在(0，＋∞)上，m′(x)＞0，m(x)单调递增，
∴在(0，＋∞)上，ex－x－1＞0，
故在(0，1)上，h′(x)＜0；
在(1，＋∞)上，h′(x)＞0，
∴h(x)的最小值为h(1)＝e－2，∴a≤e－2.
综上，实数a的取值范围是(－∞，e－2].
16.(15分)[2024·郑州模拟]设函数f(x)＝aex＋cos x，其中a∈R.
(1)若a＝1，证明：当x＞0时，f(x)＞2；
(2)若f(x)在区间[0，π]内有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
16.(1)证明 a＝1时，f(x)＝ex＋cos x，
则f′(x)＝ex－sin x，由x＞0，
得ex＞1，sin x∈[－1，1]，
则f′(x)＝ex－sin x＞0，
即f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
故f(x)＞f(0)＝2，即f(x)＞2.
(2)解 由f(x)＝aex＋cos x＝0，
得a＝－.
设函数h(x)＝－，x∈[0，π]，
则h′(x)＝，x∈[0，π].
令h′(x)＝0，得x＝.
则x∈时，h′(x)≥0，
x∈时，h′(x)＜0，
所以h(x)在上单调递增，在上单调递减.
又因为h(0)＝－1，h(π)＝e－π，
h＝e－，
所以当a∈时，
方程a＝－在区间[0，π]内有两个不同解，即所求实数a的取值范围为
.
17.(15分)[2024·上海徐汇区模拟]已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝(x2－ax)ln x－x2＋2ax(a∈R).
(1)若函数y＝f(x)定义域内的任意x使f′(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)讨论函数y＝f(x)的单调性.
17.解 (1)因为f(x)＝(x2－ax)ln x－x2＋2ax(a∈R)，
显然x＞0，则f′(x)＝(2x－a)ln x＋(x2－ax)－3x＋2a＝(2x－a)(ln x－1).
因为f′(x)≥0恒成立，则(2x－a)(ln x－1)≥0，对x＞0恒成立，
当0＜x≤e时，ln x－1≤0，则2x－a≤0恒成立，故a≥(2x)max＝2e；
当x≥e时，ln x－1≥0，则2x－a≥0恒成立，故a≤(2x)min＝2e.
综上，a＝2e.
故实数a的取值范围为{2e}.
(2)由(1)知f′(x)＝(2x－a)(ln x－1)，x＞0，
①当a≤0时，2x－a＞0，
当0＜x＜e时，ln x－1＜0，
则f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x＞e时，ln x－1＞0，则f′(x)＞0，f(x)单调递增，
即当a≤0时，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增；
②当a＞0时，
当a＝2e时，由(1)知f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞2e时，当x＞时，2x－a＞0，
ln x－1＞0；
当0＜x＜e时，2x－a＜0，ln x－1＜0；
当e＜x＜时，2x－a＜0，ln x－1＞0.
故当0＜x＜e和x＞时，f′(x)＞0；
当e＜x＜时，f′(x)＜0，
因此f(x)在(0，e)，(，＋∞)上单调递增，
在(e，)上单调递减；
当0＜a＜2e时，当x＜时，2x－a＜0，
ln x－1＜0；
当x＞e时，2x－a＞0，ln x－1＞0；
当＜x＜e时，2x－a＞0，ln x－1＜0.
故当0＜x＜和x＞e时，f′(x)＞0；
当＜x＜e时，f′(x)＜0，
因此f(x)在，(e，＋∞)上单调递增，在上单调递减.
综上，当a≤0时，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜2e时，f(x)在，(e，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
当a＝2e时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞2e时，f(x)在(0，e)，上单调递增，在上单调递减.
18.(17分)[2024·佛山模拟]已知函数f(x)＝ln x＋sin x.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；
18.(1)解 f(x)＝ln x＋sin x，
故f′(x)＝＋cos x，
令g(x)＝f′(x)＝＋cos x，
则g′(x)＝－－sin x，
当x∈[1，e]时，g′(x)＝－－sin x＜0，
所以g(x)在[1，e]上单调递减，
又g(1)＝1＋cos 1＞0，g(e)＝＋cos e＜＋cos ＝－＜0，
所以由零点存在定理可知，在区间[1，e]上存在唯一的a，使g(a)＝f′(a)＝0，
又当x∈[1，a)时，g(x)＝f′(x)＞0；
当x∈(a，e]时，g(x)＝f′(x)＜0，
所以f(x)在[1，a)上单调递增，在(a，e]上单调递减，
又因为f(1)＝ln 1＋sin 1＝sin 1，f(e)＝ln e＋sin e＝1＋sin e＞f(1)，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)＝sin 1.
(2)证明 f(x)有1个零点，证明如下：
因为f(x)＝ln x＋sin x，x∈(0，＋∞)，
若0＜x≤1，则f′(x)＝＋cos x＞0，
所以f(x)在区间(0，1]上单调递增，
又f(1)＝sin 1＞0，
f()＝－1＋sin ＜0，
结合零点存在定理可知，f(x)在区间(0，1]有且仅有一个零点；
若1＜x≤π，则ln x＞0，sin x≥0，
则f(x)＞0；
若x＞π，因为ln x＞ln π＞1≥－sin x，所以f(x)＞0.
综上，函数f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点.
19.(17分)[2024·黄山模拟]已知函数f(x)＝x2－xln x＋t(t∈R).
(1)若g(x)是f(x)的导函数，求g(x)的最小值；
(2)证明：对任意正整数n(n≥2)，都有…＜e(其中e为自然对数的底数).
19.(1)解 由题意，f(x)＝x2－xln x＋t，
g(x)＝f′(x)＝x－ln x－1，x＞0，
g′(x)＝1－＝，x＞0.
令g′(x)＝0，解得x＝1，
又x∈(0，1)时，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，
所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝0，即g(x)的最小值为0.
(2)证明 由(1)得，g(x)＝x－1－ln x≥0，可知x－1≥ln x，
当且仅当x＝1时等号成立，
令x＝1＋≠1，
则ln＜＜＝－，
k＝2，3，4…，n.
则ln＋ln＋ln＋…＋ln＜＋＋＋…＋
＝1－＜1，
即ln＋ln＋
ln＋…＋ln＜1，
也即
ln＜ln e，
所以…·
＜e，
故对任意正整数n(n≥2)，
都有…·
＜e.
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单元检测卷(三) 一元函数的导数及其应用
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·南京调研]若直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2ln x相切，则实数a的值为( )
A.0 B.－1 C.－2 D.－3
2.[2024·成都诊断]设函数f(x)的导函数是f′(x).若f(x)＝f′(π)x2－cos x，则f′＝( )
A.－ B. C. D.－
3.[2023·泰安模拟]若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是( )
A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1]
C.(－∞，－2] D.[－2，＋∞)
4.[2024·深圳检测]已知曲线y＝axex＋ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝3x＋b，则( )
A.a＝e，b＝－2 B.a＝e，b＝2
C.a＝e－1，b＝－2 D.a＝e－1，b＝2
5.[2023·四省联考]设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f′(x)
C.f(x)＋g(a)
A.－3 B.7e－5 C.－3e D.0
7.[2024·武汉质检]若a＝·e，b＝·ln，c＝e，则( )
A.b
A.(0，＋∞) B.(0，e)
C.(0，1)∪(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，e)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·嘉兴调研]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在R上单调递增，f′(x)为其导函数，则下列结论正确的是( )
A.f′(1)≥0 B.f(1)≥0 C.a2－3b≤0 D.a2－3b≥0
10.[2024·济南调研]已知函数f(x)＝x3－ax＋2有两个极值点x1，x2，且x1
C.f(x1)>f(x2) D.f(x)的图象关于点(0，2)中心对称
11.[2024·杭州质检]已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则( )
A.f(2 023)＝2 B.f′(x)的周期是4
C. f′(x)是偶函数 D.f′(1)＝1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2023·徐州模拟]我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为“”型，比如：当x→0时，的极限即为“”型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.
如：lim ＝lim ＝lim ＝1，则lim ＝________.
13.[2024·茂名质检]修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面，坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米.为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB，BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆形小岛上再修建栈道，以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米.
14.[2024·济宁质检]若对任意的x∈，总存在三个不同的y∈[－1，3]，使得方程xey＋y2－aey＝0成立，其中e≈2.718 28…为自然对数的底数，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·张家口模拟]已知函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)当a＝2时，求曲线在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若g(x)＝f(x)－x2，且g(x)在[0，＋∞)上的最小值为0，求实数a的取值范围.
16.(15分)[2024·郑州模拟]设函数f(x)＝aex＋cos x，其中a∈R.
(1)若a＝1，证明：当x＞0时，f(x)＞2；
(2)若f(x)在区间[0，π]内有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
17.(15分)[2024·上海徐汇区模拟]已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝(x2－ax)ln x－x2＋2ax(a∈R).
(1)若函数y＝f(x)定义域内的任意x使f′(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)讨论函数y＝f(x)的单调性.
18.(17分)[2024·佛山模拟]已知函数f(x)＝ln x＋sin x.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；
19.(17分)[2024·黄山模拟]已知函数f(x)＝x2－xln x＋t(t∈R).
(1)若g(x)是f(x)的导函数，求g(x)的最小值；
(2)证明：对任意正整数n(n≥2)，都有…＜e(其中e为自然对数的底数).
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