2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝ ，AD＝2 ，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则点D到平面APM的距离为( )
A. B. C. D.
2. 已知直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 3或
6. 在四面体中，点满足，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
7. 若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（ ）
A. B. C. 2 D. －2
8. 若方程表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. (2023·湖北省黄冈市浠水县第一中学期中)如图，是正四棱台的底面中心，上底面边长是，下底面边长是，侧棱长是，是棱上的动点．下列选项中说法正确的是( )
A. 将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥
B. 平面与平面所成锐二面角的余弦值是
C. 当取得最大值时，三棱锥的体积是
D. 当取得最小值时，二面角平面角的正切值是
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 过点，的直线的倾斜角为
B. 若直线与直线垂直，则
C. 直线与直线之间的距离是
D. 已知，，点在轴上，则的最小值是5
11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D. 在上的投影向量为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. (2023·湖北省部分高中联考协作体期中)我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数满足，则的最小值为______，的最大值为______．
13. 已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
14. 已知实数，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的大小为.
①求二面角的余弦值；
②求点F到平面的距离.
16. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.
（1）试用表示向量；
（2）若，求的长.
17. 已知点和点关于直线：对称．
（1）若直线过点，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程；
（2）若直线过点A且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．
18. 已知直线和以点为圆心的圆．
（1）求证：直线恒过定点；
（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长；
（3）设恒过定点，点满足，记以点、（坐标原点）、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标．
19．某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
(1)如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
(2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝ ，AD＝2 ，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则点D到平面APM的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
依题意，可得D(0,0,0)，P(0，1， )，A(2 ，0，0)，M( ，2，0)．
∴ ＝( ，1，－ )， ＝(－ ，2，0)， ＝(0，1， )．
设平面APM的法向量n＝(x，y，z)，
则
即
令x＝ ，得n＝( ，1， )．
∴点D到平面APM的距离d＝ ＝ .
2. 已知直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】当时，，
即，则，即；
当时，，解得.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
3. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以对称点为，则,
由图知：的最小值为，
故选：D.
4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直线的斜率为，所以与直线垂直的直线斜率为，
故由点斜式可得，即，
故选：B.
5. 圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 3或
【答案】D
【解析】根据题意，圆与圆，
即，两式相减可得：，
即两圆的公共弦所在的直线的方程为，
该直线与轴的交点为，与轴的交点为，
若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则有，
变形可得：，
解可得：或；
故选：D.
6. 在四面体中，点满足，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】如图所示，根据空间向量的线性运算法则，
可得，
因为，可得，
所以.
故选：B.
7. 若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（ ）
A. B. C. 2 D. －2
【答案】B
【解析】由，即，得.
经检验知，符合题意
故选：B.
8. 若方程表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由方程可得，
所以当时表示圆，解得.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. (2023·湖北省黄冈市浠水县第一中学期中)如图，是正四棱台的底面中心，上底面边长是，下底面边长是，侧棱长是，是棱上的动点．下列选项中说法正确的是( )
A. 将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥
B. 平面与平面所成锐二面角的余弦值是
C. 当取得最大值时，三棱锥的体积是
D. 当取得最小值时，二面角平面角的正切值是
【答案】ABD
【解析】对于A选项，连接、，则为的中点，
由正四棱台的几何性质可知四边形为等腰梯形，
在等腰梯形中，，，，
又因为为的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
同理可知，，
所以，将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥，A对；
对于B选项，设上底面的中心为，
由正四棱台的几何性质可知平面，
又因为四边形为正方形，，则 ，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、
、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值是，B对；
对于C选项，，
由A选项可知，，则为等腰三角形，
故当点与点或点重合时，取最大值，此时取最大值，
当点与点重合时，三棱锥不存在，C错；
对于D选项，当点为线段的中点时，取最小值，此时取最小值，
此时点，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
则，故，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为，D对.
故选：ABD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 过点，的直线的倾斜角为
B. 若直线与直线垂直，则
C. 直线与直线之间的距离是
D. 已知，，点在轴上，则的最小值是5
【答案】BD
【解析】A选项，，所以直线的倾斜角不是，
所以A选项错误.
B选项，若直线与直线垂直，
所以，所以B选项正确.
C选项，直线，即，
与直线之间的距离是，所以C选项错误.
D选项，关于轴的对称点为,
的最小值是，所以D选项正确.
故选：BD.
11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D. 在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】对于A，，，故A错误；
对于B，因为，，所以，，
，设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选:BCD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. (2023·湖北省部分高中联考协作体期中)我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数满足，则的最小值为______，的最大值为______．
【答案】① ②
【解析】由得，令，
则直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离为，解得，
所以的最小值为.
可以看作点到直线的距离与它到距离比值的2倍，
设过点的直线与圆相切于点，此时取到最大值.
设直线方程为，
由，得，
，解得，结合图形可知，
把代入联立后的方程可得切点，
代入可得的最大值为.
故答案为：；.
13. 已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
【答案】
【解析】由解得，所以的交点坐标为，
过定点，
若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行，
当经过点时，，解得；
当与平行时，，解得；
当与平行时，，解得.
故的值为.
故答案为：(只需写出其中一个即可).
14. 已知实数，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据题意，设直线：，设点，
那么点到直线的距离为：，
因为，所以，且直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，，所以，
当时， ，
所以，即，
因为，所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的大小为.
①求二面角的余弦值；
②求点F到平面的距离.
【答案】(1)证明 如图：
取中点，连接，.
因为为中点，所以且，
又四边形为菱形，且为中点，所以且，
所以且.
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
(2)解 如图：
连接，，交于点，
因为四边形为菱形，所以，且为，的中点，
又因为，所以，，平面，且，
所以平面，易得为直线与平面所成的角的平面角，
则，又，，，
所以，，，，
以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，
，，，.
所以，，，.
①设平面的法向量为
则，取.
设平面的法向量为，
则，取.
所以二面角的余弦值为：.
②点平面的距离为：.
16. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.
（1）试用表示向量；
（2）若，求的长.
【答案】解 （1）
，
又，，，
∴．
（2）因为，．
，．，
，
，
．
17. 已知点和点关于直线：对称．
（1）若直线过点，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程；
（2）若直线过点A且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．
【答案】解 （1）设点
则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为，
若直线过点，且使得点A到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即.
（2）由条件可知：，的面积为2，则的高为，
又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为.
直线方程为，设，则有，即或，
又，解得： 或，
则直线为：或.
18. 已知直线和以点为圆心的圆．
（1）求证：直线恒过定点；
（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长；
（3）设恒过定点，点满足，记以点、（坐标原点）、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标．
【答案】（1）证明 将直线的方程化为，
由可得，故直线恒过定点.
（2）解 当时，圆心到直线的距离达到最大值，此时，直线被圆C截得的弦长最短，
此时，，所以，直线的斜率为，解得，
且，
此时，直线被圆截得的弦长最小，且其最小值为.
（3）解 由（1）可知，点，设点，
则，整理可得，
由可得，解得，
又因为点，由下图可知，当点的坐标为时，
点到轴的距离最大，此时，的面积最大，此时，四边形的面积取最大值，
即四边形的面积.
故当点的坐标为时，四边形的面积取最大值，且最大值为.
19．某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
(1)如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
(2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
【答案】（1）如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，m.
因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m.
从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，则.
（2）如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到.
过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.
当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角.
题意得：,
其中，表示点和点构成的直线的斜率，
当直线的斜率取得最小值时，取最大值.
因为点在单位圆上，
所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值.
设过点的直线方程为：，
由相切可得，解得，
则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
