2024-2025学年第一学期上海市九年级数学期中模拟练习卷（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，设 则 再代入分式求值即可.
【详解】解： ，设
故选：
如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，
若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案．
【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：B．
在中，点D、E分别为上的点，且，，
用向量表示向为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线截线段成比例；根据，可得，进而得到，再根据，可得即可求解．
【详解】∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故选：C．
4．在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，利用网格特征可知，利用勾股定理求出，，
根据余弦的定义即可求得答案．
【详解】解：如图，由网格特征可知，，
在中，，，
∴，
故选：A
5．如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB，②∠B=∠ACD，③，④，
其中不能判定∽的条件为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
【详解】①∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
④中∠A不是已知的比例线段的夹角，不能判定两个三角形相似；
故选D．
如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
【答案】C
【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 米．
【答案】150
【分析】本题考查了成比例线段，根据在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为计算即可得出答案，注意单位的换算．
【详解】解：在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为，
故答案为：．
8．如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD= m．（结果保留根号）．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到BC＝AC＝6cm，根据三角函数定义即可求解．
【详解】解：∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，
又∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝AC＝6cm，
在Rt△BCD中，
cm
故答案为：．
9．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于_____
【答案】﹣1
【分析】根据黄金分割比的定义：较长边比上最长边的比等于即可解题.
【详解】解：如下图,
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴=,
∵AB＝2
∴AC=﹣1,
故答案为：﹣1
10.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，
则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m．
【答案】
【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，根据其相似比即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
（米，
故答案为：1.6．
11 . 如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F，
如果，那么 （用含的式子表示）．
【答案】
【分析】利用平行四边形的性质可先求出DF:EF的值，从而得到DF:DE，然后用三角形法则表示出，即可得到
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵E是AB的中点，
∴DC:AE=AB:AE=1:2，
∴DF:EF=DC:AE=2:1，
∴DF:DE=，
∵，
∴
故答案为：
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】15
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为15．
13．已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了向量的线性运算，先去括号，然后移项合并同类项即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查图形的翻折变换，设，，根据折叠的性质得，再利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义即可得解．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．
【详解】解：设，，
∴，
∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．等腰梯形中，，E、F分别是的中点，，
设，则用向量表示可得=
【答案】
【分析】本题考查了梯形中位线定理和平面向量的知识．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．由梯形中位线定理得到与的大小关系是解题的关键．
根据梯形中位线定理可知，则，在向量已知的情况下，可求出向量．
【详解】解：∵，E、F分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16 .如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边与点在同一直线上，
已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，
则树的高度为 ．
【答案】5.5
【分析】本题考查了相似三角形的应用，理解题意，证明出是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，
，
，
，即，
，
，
故答案为：5.5．
17．如图，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则 ．
【答案】/
【分析】设，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，由余角的性质可得，即可求的值．
【详解】解：，
设，，
在矩形中，，
将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，
，，
，
，且，
，
，
故答案为：．
如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于 ．
【答案】
【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，可得三边的比为3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，进而求出PF的长，从而可求PE的长．
【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：
四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，设EF=x，则ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
四边形ABNM是正方形，
∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案为：．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19．．
【答案】
【分析】分别把cos45°=，tan30°=，cos30°=，cot30°=，sin60°=，代入原式计算即可．
【详解】原式=()2- + =-+=
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．
（1）求EC：BC的值；
（2）设，，那么________，__________（用向量、表示）
【答案】（1）EC：BC＝2：3；（2），．；
【分析】(1)根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；
(2)利用三角形法则计算即可；
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴3，
∴3，
∴EC：BC＝2：3．
（2）∵，AC＝2AO，
∴2，
∵2，ECBC，
∴，
∵AD∥BE，
∴，
∴BGBD，
∵222，
∴（22），
故答案为，．
如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，
向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）30°；（2）9m．
【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
22．如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值．
【答案】2或6或
【分析】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．设，表示出，然后分①和是对应边，②和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】解：设，
∵等边的边长为8，
∴，
∵E为中点，
∴，
①和是对应边时，，
∴，
即，
整理得，，
解得，，
即的长为2或6，
②和是对应边时，，
∴，
即，
解得，
即，
综上所述，的值是2或6或．
23．如图，点F是平行四边形的边上的一点，直线交线段的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到，然后即可得到，，从而可以得到结论成立；
（2）根据相似三角形的性质和题目中的数据，平行四边形的性质，可以计算出AB的长．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据全等证得EF＝HG，EH＝FG，对边相等，即可证得四边形EFGH是平行四边形；
（2）证得四边形EFGH中一个角为直角，即可证得四边形EFGH是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝HG，
同理可得EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）∵AB＝BC，BE＝BF
∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG，
∴AE＝AH，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵BE＝BF，AE＝AH，
∴∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠FEH＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形．
25．如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题：
（1）AP＝ ，AQ＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（5﹣t）cm，tcm；（2）t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似；（3）当t的值为或或时，△APQ能成为等腰三角形
【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，，则；
（2）分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（3）分三种情况：，和，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：，
由题意得：，，
，
故答案为：，；
（2）分两种情况：
①如图1，
当时，，
则，
即，
解得：；
②如图2，
当时，，
则，
即，
解得：；
综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，
当时，
，
解得：；
②如图4，
当时，过点作于，
则，，
，
，
，
，
解得：；
③如图5，
当时，过点作于，
则，，
，
，
，
解得：，
综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年第一学期上海市九年级数学期中模拟练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1． 已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，
若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
在中，点D、E分别为上的点，且，，
用向量表示向为（ ）
A． B． C． D．
4． 在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
5． 如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB，②∠B=∠ACD，③，④，
其中不能判定∽的条件为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7． 在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 米．
8． 如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，
在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，
则自动扶梯的垂直高度BD= m．（结果保留根号）．
若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于_____
如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，
则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m．
11 . 如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F，
如果，那么 （用含的式子表示）．
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为 ．
已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ．
如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，
如果，那么 ．
15．等腰梯形中，，E、F分别是的中点，，
设，则用向量表示可得=
16 . 如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边与点在同一直线上，
已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，
则树的高度为 ．
17．如图，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则 ．
如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于 ．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19．．
20 . 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，
AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．
（1）求EC：BC的值；
（2）设，，那么________，__________（用向量、表示）
如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，
向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
如图，等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，
当与相似时，求的值．
23．如图，点F是平行四边形的边上的一点，直线交线段的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．
如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，
同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），
其中0＜t＜4．解答下列问题：
（1）AP＝ ，AQ＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？
若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
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