九年级上册 22.1 二次函数的图象和性质 练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若点、在二次函数的图象上，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知点是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
4．在同一平面直角坐标系内二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(–1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，那么下列结论中：①b<0；②方程ax2+bx+c=0的解为–1和3；③2a+b=0；④m(ma+b)
C．3个 D．4个
二、填空题
6．二次函数的最小值为 ．
7．抛物线与x轴的交点坐标为 ．
8．若抛物线经过点，，抛物线在E，F之间的部分为图象（包括E，F两点）图象上点的纵坐标的最大值与最小值的差t为1时，m的值为 ．
9．的图象开口向 ，顶点坐标为 ，当时，值随着值的增大而 ．
10．已知抛物线经过点、，对于非的实数，抛物线都不过点，则的值为 ．
三、解答题
11．已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴．
12．已知抛物线，当时，函数有最大值，则当为何值时，随的增大而减小？
13．已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
14．已知函数是关于的二次函数．
（1）求的值．
（2）当为何值时，该函数有最小值？最小值是多少？
15．已知二次函数图象的顶点坐标为，且与轴的交点坐标为．
(1)在坐标系中画出函数的图象；
(2)利用图象判断点是否在抛物线上？
(3)若此抛物线经过点、，试比较、的大小．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查二次函数的识别，直接利用二次函数解析式的一般形式进行分析得出答案．
【详解】解：A、，是一次函数，故此选项不符合题意；
B、，是二次函数，故此选项符合题意；
C、，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的增减性是解本题的关键，本题由，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，从而可得答案．
【详解】解：∵二次函数，，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选C
3．B
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，
∵，
∴当时，函数值最大，
又∵到的距离比到的距离小，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论，解题的关键是根据、的正负确定一次函数图象经过的象限．
【详解】、∵二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在正半轴上，
∴，，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，此选项符合题意；
、∵二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交点在负半轴上，
∴，，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，此选项不符合题意；
、∵二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴上，
∴与矛盾，，
∴此选项不符合题意；
、∵，
∴图象不经过原点，此选项不符合题意；
故选：．
5．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a＋b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x＝＞0，则b＞0，故①错误；
②由对称轴为x＝1，一个交点为（ 1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2＋bx＋c＝0的解为 1和3，故②正确；
③由对称轴为x＝1，
∴＝1，
∴b＝ 2a，则2a＋b＝0，故③正确；
④∵对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，抛物线有最大值，
∴a＋b＋c＞m2a＋mb＋c，
∴m（ma＋b）＜a＋b（常数m≠0且m≠1），故④错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
6．3
【分析】根据求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据顶点式得到它的顶点坐标是，再根据其，即抛物线的开口向上，则它的最小值是．
【详解】解：二次函数的解析式为，
根据二次函数的性质可知，抛物线开口向上，对称轴为，
当时，二次函数有最小值，最小值为；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．
【分析】根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：抛物线与x轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标在x轴上，顶点坐标为．
8．或7
【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质，根据题意得出，，进而根据的取值范围，分四种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴，，抛物线对称轴为轴，顶点为，即最小值为，
∵图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况：
如图，当，即时，的值随的值的增大而减小，
，，即，
解得：；
如图，当，即时，
，，即，
解得：（舍去）；
如图，当，即时，
，，即，
解得：（舍去）；
如图，当时，
，，即，
解得：；
综上所述，或，
故答案为：或．
9． 下 减小
【分析】题干所给为顶点式解析式,直接依据顶点式的性质即可解答.
【详解】由题可知，a=-2，故开口向下；
直接写出顶点坐标为（1,5）；
对称轴为x=1，由于抛物线开口向下，故当x＞1时，值随着值的增大而减小.
【点睛】本题考查了顶点式的结构及其与图像的对应关系.
10．或
【分析】把点A、B的坐标代入函数关系式求得b、c与a的数量关系，先假定对于非0的实数a，抛物线过点P（m，m2+1），现在需要的是证明此方程无解．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，-1）、B（1，2），
∴，
解得．
则y=ax2+（a+1）x+（1-2a），
将x=m代入ax2+（a+1）x+（1-2a）=a m2+（a+1）m+1-2a．
把点P（m，m2+1）代入，得am2+（a+1）m+1-2a=m2+1，
整理，得（m+2）（m-1）a=m（m-1），
①当m=1时，该等式恒成立．
②当m≠1时，（m+2）a=m．
m=0时，（m+2）a不可能为0，该方程无解．
m=-2时，m不可能为0，该方程无解．
综上所述，即m是-2或0．
故答案是：-2或0．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．此题利用反证法来求m的值．
11．抛物线解析式为，对称轴为y轴
【分析】把已知点的坐标代入中求出a，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴．
【详解】解：把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为，对称轴为y轴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：顶点在原点的抛物线的对称轴为y轴．
12．当时，随的增大而减小
【分析】根据抛物线当时，函数有最大值，可得，，进而，即可求解．
【详解】解：∵当时，函数有最大值，
∴，，
∴当时，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（1）m＞﹣1；（2）P（1，2）；（3）根据函数图象可知：x＜0或x＞3．
【分析】(1)根据图像与x轴有两个交点，则△>0求出m的取值范围；
(2)根据点A坐标得出二次函数的解析式，然后得出点B的坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析式，从而得出点P的坐标；
(3)根据图像直接得出答案.
【详解】(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=22+4m＞0
∴m＞﹣1；
(2)∵二次函数的图象过点A（3， 0），
∴0=﹣9+6+m
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，
∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，
∴P（1，2）．
(3)根据函数图象可知：x＜0或x＞3 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
14．（1）或 ；（2）时函数有最小值为
【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值；
【详解】解：（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴，且m＋3≠0，
解得：，；
（2）∵m＝ 4或1，
∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，
∴m＞ 3，
∵m＝ 4或1，
∴当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为-1．
【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)点不在抛物线上
(3)
【分析】（1）把抛物线解析式设为顶点式，利用待定系数法求出解析式，再描点，然后连线即可；
（2）根据（1）所画函数图象即可得到答案；
（3）抛物线开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
把点代入中得，
解得，
∴抛物线解析式为，
列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 1 1 …
函数图象如下所示：
（2）解：由函数图象可知，点不在抛物线上；
（3）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵抛物线经过点、，，
∴．
【点睛】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式等等， 熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
答案第1页，共2页
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