2024-2025学年阜阳市颍州区南京路中学九年级（上）第一次段考
数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用配方法解方程：，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知是关于的方程的一个根，则另一个根是( )
A. B. C. D.
3.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.已知实数满足，则代数式的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
6.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中错误的是( )
A.
B. 一元二次方程的正实数根在和之间
C.
D. 点，在抛物线上，当实数时，
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
8.将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线的解析式为______．
9.如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______，______．
10.已知一组正整数，，，，，的众数是，且，是一元二次方程的两个根，则这组数据的中位数是______．
11.若实数、分别满足，，且，则的值为______．
12.如果函数的图象与轴有且只有一个交点，那么交点坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.已知是方程的一个根，求的值．
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
解方程：；
已知抛物线的顶点在轴上，求的值．
15.本小题分
先化简，再计算：，其中满足．
16.本小题分
为了倡导节约用水，某市对洗车店作出如下规定：若一个月用水量不超过，该月需缴纳的水费为元；若超过，则除了缴纳元外，超过的部分需按每立方米元缴纳水费某洗车店月份用水，缴纳水费元；月份用水，缴纳水费元求的值．
17.本小题分
已知抛物线与轴相交于不同的两点、，
求的取值范围；
证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标．
18.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
设方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
19.本小题分
去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
去年，该商店月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与去年月份的营业额相等．求该商店去年、月份营业额的月增长率．
20.本小题分
阅读下面材料：
小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令，则原方程为解得，，分别代入后算出了的值．
解决以下问题：
直接写出方程的根为______；
利用材料中的方法求抛物线与轴的交点坐标；
直接写出方程有______个实根．
21.本小题分
如图，抛物线是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，点为线段上的动点，过作交于点．
求该抛物线的解析式；
求面积的最大值，并求此时点坐标．
22.本小题分
跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出即点坐标为，滑出后沿一段抛物线：运动．
当运动员运动到距处的水平距离为米时，距图中水平线的高度为米即经过点，求抛物线的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
在的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
求抛物线的表达式及点的坐标；
若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时；
取的中点，当点与点重合时，的坐标为______；当点与点重合时，的坐标为______；请在图的网格中画出点的运动轨迹，并猜想点的运动轨迹是什么图形：______；并求点运动轨迹的函数的解析式；
在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为为正整数；请求出函数的解析式用含的式子表示．
若直线与系列函数，，，，的图象共只有个交点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.，
10.
11.
12.或或
13.解：是方程的一个根，
，即，
．
14.解：原方程可化为，即，
解得：；
顶点在轴上，
，即，
解得：，．
15.解：原式
，
，
，
则，，
原式中．
，
则原式．
16.解：根据题意得：，
解得：，，
月份用水立方米，缴纳水费元，
．
17.解：令，
，
，
的取值范围是且．
令，
解得：，，
将，代入抛物线解析式得，，
抛物线过定点，
在坐标轴上，
抛物线一定经过非坐标轴上一点，的坐标为．
18.证明：方程整理为，
，
，
，
这个方程总有两个不相等的实数根；
解：根据题意得，，
，
，
即，
．
19.解：由题知，万元．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为万元．
设该商店去年、月份营业额的月增长率为，
依题意得，
解得，不合题意，舍去，
答：该商店去年、月份营业额的月增长率为．
20.或；
令，则，
令，则原方程为，
解得，，
把，分别代入得：
或，
解得或，
抛物线与轴的交点坐标为，；
．
21.抛物线是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，
，
，
解得，
抛物线的解析式为；
过作轴于，过作轴于，
设，则，
，
，
，，
，
∽，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
当时 有最大值，
面积的最大值为，此时点坐标为．
22.解：由题意可知抛物线：过点和，将其代入得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得：
：，
整理得：，
解得：，舍去，
故运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米．
23.把点，点代入抛物线，
，
解得．
抛物线．
令，则，
；
当点与点重合时，
的中点，，
，即；
当点与点重合时，
的中点，，
，即；
点的运动轨迹如图，猜测点的运动轨迹是抛物线，
点在抛物线上，设点的横坐标为，
，
的中点的坐标为，
设，则，；
同理可得，的坐标为，
；
的坐标为，
；
的坐标为，
；
若直线与函数有两个交点，与函数有两个交点时，共有个交点，
联立，
整理得，，
当直线与函数有一个交点时，，
解得；
联立，
整理得，，
当直线与函数有一个交点时，，
解得；
．
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