第二十四章 圆 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在 中，，， 为 上的点，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的内切圆，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 内接于，， 连 接， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
5．在中，弦长为，圆心到的距离为，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．8πcm2 B．cm2 C．cm2 D．4πcm2
9．如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
11．在边长为1的正五边形内，所有到点的距离大于1且到点的距离小于1的点组成图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．图①所示的是由可随意弯曲的硅胶灯带制成的弧形餐厅灯，图②是工人师傅设计灯带时所画的对应示意图，若此弧形餐厅灯的圆心角为，半径为1.5m，切裁时不计损耗，则制作此灯需要硅胶灯带的长度是 （结果保留）．
13．如图，A、B、C、D都是上的点，，垂足为E，若．则 ．
14．如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是 ．
15．在等腰直角中，，为直角边上一点，以O为圆心，长为半径作，与斜边相切于点，连结，则 ．
16．如图，是的外接圆，，，垂足为，，，则
三、解答题
17．如图，四边形是圆内接四边形，是对角线上的一点，．求证：．
18．小华用角的三角板和一块量角器进行数学实践探究活动，如图，她将三角板的较短直角边和量角器（半圆O）的直径重合，斜边交半圆O于点C，较长直角边交半圆O于点E，根据量角器上的示数，可知点E为的中点．连接交于点F，连接．求证：．
19．如图，是圆O的直径，O为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点E．
(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；
(2)如果，，求的长．
(3)在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形．
20．小明遇到这样一个问题：
如图1，在锐角中，，，分别为的高，求证：．
小明是这样思考问题的：如图2，以为直径作半圆，则点，在上，，所以．
（1）请回答：若，则的度数是________；
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角中，，，分别为的高，求证：．
21．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若且，求的半径．
22．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA、PB分别与所在的圆相切于点A、B，若该圆半径是9cm，∠P＝40°．
(1)作出所在圆的圆心；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求的长．
23．如图1，△ABC内接于圆O，连接AO，延长AO交BC于点D，AD⊥BC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）如图2，在圆O上取一点E，连接BE、CE，过点A作AF⊥BE于点F，求证：EF+CE＝BF；
（3）如图3在（2）的条件下，在BE上取一点G，连接AG、CG，若∠AGB+∠ABC＝90°，∠AGC＝∠BGC，AG＝6，BG＝5，求EF的长．
24．如图，中，，以为直径的 交于，交 于，交于，点为延长线上的一点，延长交于，，下列个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的内切圆，
∴分别平分，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可知，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，即可求得答案．
【详解】解：连结，
所对的圆周角和圆心角分别是和，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
4．B
【分析】根据题意连接，过作，利用角平分线定义得，继而得到，再得到四边形为矩形，再设，则，利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：连接，过作，垂足为，
，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
设，则，
∵的直径为20，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
即，
解得．
∵，故舍去，
∴，
∴，
∵，由垂径定理知，F为的中点，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线定义，平行线判定及性质，矩形判定及性质，勾股定理，垂径定理等．
5．B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，作，根据垂径定理和勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图：连接，作，
∵圆心到的距离为，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得：的半径，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据题意得：，
，
，
，
，
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，
∵点I为的内心，
∴以为半径的圆I是的内切圆，
∴，，，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
8．D
【详解】由图可得阴影部分面积为圆心角为120°，两个半径分别为4和2的圆环的面积的差．由∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求得BC=2，AC=2，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，所以阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）-S扇形BCC′-S△ABC=×（42-22）=4πcm2．
故选D
【点睛】解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半.
9．A
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出，设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，则，，，，再由等面积法得出，即可得解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，
，
则，，，，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
10．A
【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论．
【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
11．B
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算以及解直角三角形，根据正五边形的性质，扇形面积的计算方法，直角三角形的边角关系以及图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的关键.
【详解】如图，以点为圆心，以为半径画弧与以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接, 过点作于点，
∵五边形是正五边形，
，
由正五边形的对称性可知，
在中,
，
，
在中， ，
，
∴
，
.
故选: B.
12．
【分析】本题考查的是弧长公式的应用，直接利用弧长公式计算即可；
【详解】解：由题意可得：的长度为，
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．连接，根据，得出，证明，根据，得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．/
【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可解题．
【详解】解：，分别是，的中点，
连接，
，
，
、、三点共圆，圆心为的中点，
当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，
连接，交于点，
四边形为正方形，，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，三点共圆，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况．
15．或
【分析】分①当点O在BC上时，②当点在AC上时两种情况，根据等腰直角三角形性质及圆周角定理计算即可.
【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
如下图，
①当点O在BC上时，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠BOD=45°，
由圆周角定理得：∠BCD= ∠BOD=22.5°，
∴∠ACD=90°-22.5°=67.5°；
②当点在AC上时，
∵⊙与斜边AB相切于点，
∴O⊥AB，
∴∠A=45°，
由圆周角定理得：∠AC= ∠A=22.5°，
故答案为：或.
【点睛】本题考查切线的性质、等腰直角三角形性质及圆周角定理，掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，是解题的关键.
16．/
【分析】连接，，，作于，于，，四边形是矩形，证明，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，最后由线段和差即可求解．
【详解】如图，连接，，，作于，于，
则，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
17．证明见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等等等，根据题意可得B、E、D都在以A为圆心，的长为半径的圆上，则由圆周角定理得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，进而可得，则．
【详解】证明：∵，
∴B、E、D都在以A为圆心，的长为半径的圆上，
如下图所示，连接，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
18．证明见解析
【分析】本题考查了圆的性质，包括圆周角定理，直径所对圆周角是直角，同角的余角相等；根据圆周角定理可得，然以由余角的性质可知，最后利用等边对等角解决问题；解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．
【详解】证明：如图，连接，
∵点为弧的中点，
，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)是的切线，理由见解析；
(2)1；
(3)证明见解析．
【分析】本题考查了切线的性质和判定，正切，菱形的判定，平行线的判定，对称，同弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形性质，切线长定理。
（1）连接，由是圆O的直径可得，进而求得，即可得出直线为的切线；
（2）求出，解直角三角形求出，根据含角直角三角形求出即可；
（3）根据折叠和已知求出，根据平行线的判定推出，求出，，推出，求出，根据切线长定理可得，，进而结论得证．
【详解】（1）直线为的切线，理由如下：
如图1，连接，
∵是的直径，
，
，
∵，
，
，
∴，即，
∵是的半径，
直线为的切线；
（2）为切线，
，
，
，
在中，，，
∴，
，
∵，
∴；
（3）如图2，连接，
由题意得：，，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
，
为切线，
，
，
四边形为平行四边形，
∵、为切线，
∴，
四边形为菱形．
20．（1）；（2）见解析
【分析】（1）利用圆的内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠CEF＝180°，又由邻补角的定义，可得∠CEF+∠AEF＝180°，继而求得∠AEF＝∠ABC＝40°．
（2）首先由在锐角中，AD、BE、CF分别为的高，证得点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上，点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上，则可得∠CDE＝∠BAE，∠BDF＝∠BAC，继而证得结论．
【详解】（1）解：∵四边形BCEF内接于，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：；
（2）证明：∵在锐角中，，，分别为的高，
∴，
∴点，，，在以为直径的半圆上，
∴，
又∵，
∴，
同理，点，，，在以为直径的半圆上．
∴，
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意能证得点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上与点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上是关键．
21．(1)见解析
(2)的半径为3
【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：设的半径，则，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，或（舍去），
∴的半径为3．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质，作AO⊥PA，BO⊥AB，AO和BO相交于点O，O即为圆心；
（2）先求出∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：如下图，作AO⊥PA，BO⊥AB，AO和BO相交于点O，O即为圆心；
（2）∵PA，PB分别切圆O于A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵∠P=40°
∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°
∴优角∠AOB=360°-∠AOB=220°
∴．
【点睛】本题考查了弧长的计算、切线的性质，解题的关键是求出优弧AM B的度数．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）EF=．
【分析】（1）由垂径定理可得BD＝CD，由垂直平分线的性质可得AB＝AC；
（2）在BF上截取FH＝EF，连接AE，由“SAS”可证△ABH≌△ACE，可得BH＝CE，可得结论；
（3）延长CG交圆O于M，交AB于K，过点A作AP⊥CM于P，过点B作BN⊥CM于N，连接AE，通过等腰三角形的性质和相似三角形的性质，分别求出BF，CE的长，即可求EF的长．
【详解】证明：（1）∵AD⊥BC，AD过圆心O，
∴BD＝CD，且AD⊥BC，
∴AB＝AC；
（2）如图2，在BF上截取FH＝EF，连接AE，AH，
∵AF⊥EH，EF＝FH，
∴AH＝AE，
∴∠AHE＝∠AEH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，且∠ACB＝∠AEH，
∴∠AEH＝∠AHE＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠HAE，
∴∠BAH＝∠CAE，且AH＝AE，AB＝AC，
∴△ABH≌△ACE（SAS）
∴BH＝CE，
∴BF＝EF+CE；
（3）如图3，延长CG交⊙O于M，交AB于K，过点A作AP⊥CM于P，过点B作BN⊥CM于N，连接AE，AM，MB，
∵∠AGB+∠ABC＝90°，
∴∠AGB＝90°﹣∠ABC，
∴∠AGB＝2∠BAC，
∵∠AGC＝∠BGC，
∴∠BGM＝∠AGM＝∠AGB，
∴∠BGM＝∠AGM＝∠BAC，且∠BAC＝∠BMC，
∴∠BMG＝∠BGM，
∴BM＝BG＝5，
∵∠AMC＝∠ABC，∠AGM＝∠BAC，
∴∠GAM＝∠ACB，
∴∠AMG＝∠MAG，
∴MG＝AG＝6，
∵BM＝BG，BN⊥MG，
∴MN＝NG＝3，
∴BN＝＝＝4，
∵∠BMG＝∠AGM，
∴BM∥AG，
∴，
∵AP∥BN，
∴，
∴AP＝，
∴PG＝，
∴PN＝PG﹣NG＝，且
∴PK＝，KN＝，
∴AK＝，
BK＝，
∴AB＝AK+BK＝，
∵AF2＝AG2﹣GF2，AF2＝AB2﹣BF2，
∴AG2﹣GF2＝AB2﹣（5+GF）2，
∴GF＝，
∴BF＝，
∵MP＝MG﹣PG＝，
∴MK＝，
∵∠AMC＝∠ABC，∠MAB＝∠BCM，
∴△MAK∽△BCK，
∴，
∴CK＝，
∴GC﹣KC﹣KG＝，
∵∠BMC＝∠BEC，∠BGM＝∠CGE，∠BGM＝∠BMG，
∴∠CGE＝∠CEG，
∴CG＝CE＝，
∵EF+CE＝BF，
∴EF＝BF﹣CE＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，添加适当的辅助线是本题的关键．
24．①②③
【分析】①首先连接，，由，，易得，又由，可得，继而证得为的切线；
②又由是直径，可得，由切线长定理可得，根据等角的余角相等，可得，根据等腰三角形的判定，可得答案；
③易证得是的中位线，则可得．
④由于在中，，在中，，而不一定等于，则可得不一定等于．
【详解】解：如图，连接，，
，，
，，
，
，
，
，
即，
点上，
为的切线；
∵点在上，，
为的切线，
故①正确；
是直径，
，
，
，
是的切线，
，
，
，，
，
；故②正确；
，
是的中位线，
；故③正确；
在中，，
在中，，
，
，
但不一定等于，
不一定等于．故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
