九年级上册数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点到圆心的距离为4，若点在圆内，则的半径可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，，为的两条弦，过点的切线交延长线于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠P＝50°，则∠PAB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
4．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，P为上任意一点，E是的中点，则的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，已知，点D在边上，以为直径的与边相切于点C，若，则线段的长为（ ）
A．5 B． C． D．
6．如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A． B．10 C．7.2 D．
二、填空题
9．已知的半径为，，则点在 ．（填“内”、“外”或“上”）
10．如图，切于A点，连接交于点C，点D是优弧上一点，若为α，则 （用含α的代数式表示）．
11．以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ．
12．如图，圆过正方形的顶点、，且与边相切，若正方形的边长为，则圆的半径为 ．
13．如图，的半径为6，点为上一动点，，是的切线，与交于点，则的最小值为 ．
三、解答题
14．如图，AB是的弦，D为半径OA上的一点，过D作交弦AB于点E，交于点F，且求证：BC是的切线．
15．如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为，连接并延长，交饿延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
16．如图，在Rt中，∠A=90°，点O在AC上，⊙O切BC于点E，A在⊙O上，若AB=5，AC=12，求⊙O的半径．
17．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，AD=6，求AC的长．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】解：∵点P在圆内，且，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外 ，②点P在圆上 ，③点P在圆内 ．
2．B
【分析】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求得．
【详解】解：连接，
与相切于，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．C
【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB,再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数.
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB
∴∠PAB=∠PBA
∵∠P＝50°
∴∠PAB＝65°
故选：C
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，掌握圆的切线的性质是解题的关键.
4．B
【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用中位线和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半辅助线，属于中考选择题中的压轴题．如图，连接，取的中点，连接，．利用三角形的中位线定理可得，再求出OH，从而得出．当点O、H、E三点共线，且点H在O、E之间时，的最大值．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，．
，，
，
，，
，
，
∴当点O、H、E三点共线，且点H在O、E之间时，
的最大值，
故选：B．
5．D
【分析】连接, 过C点作于H点,如图， 如图, 根据切线的性质得到°, 设的半径为r, 则,利用勾股定理得到, 解方程求出r, 则 接着利用面积法求出的长，然后利用勾股定理计算出，从而可计算出的长.
【详解】连接, 过C点作于H点,如图，
∵与边相切于点,
∴,
∴,
设的半径为r, 则
在中,，解得：,
即,
，
在中,
，
，
在中,
，
故选：D.
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.
6．D
【分析】本题考查切线的证明，涉及圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质等知识，根据选项，逐项判定即可得到答案，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．
【详解】解：A、，
，
当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
B、，
，则，
，
，
当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
，
，
，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意；
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质，作于，由勾股定理可得，由等面积法得出，再结合当点与点重合时，最大，当与上的高，即点重合时，最小，分别利用勾股定理计算即可得解，找准最大值与最小值的点是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
如图，当点与点重合时，最大，
，
由勾股定理可得：，
如图，当与上的高，即点重合时，最小，
，
由勾股定理可得：，
∴的最大值与最小值的差为，
故选：C．
8．C
【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接OF，OD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABO是直角三角形，FO+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FO+FD≥OD；只有当点F、O、D共线时，FO+FD=PQ有最小值，最小值为OD的长，即当点F在直角三角形ABO的斜边AB的高OD上时，PQ=OD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时OD＝＝＝7.2.
【详解】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、OF、OD，则FD⊥AB．
∵A（12，0）、B（0，9），
∴AO＝12，BO＝9，
∴AB＝15，
∴∠AOB＝90°，
∴PQ是圆F的直径，
∴FO+FD＝PQ，
∴FO+FD≥OD，
当点F、O、D共线时，PQ有最小值，此时PQ＝OD，
∴OD＝＝＝7.2．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的三边关系，得到FO+FD≥OD是解题的关键．
9．内
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在园内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【详解】解：∵，
∴点在内，
故答案为：内．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．
10．
【分析】
连接，根据切线的性质，得到，进而得到，再利用圆周角定理即可得解．
【详解】解：连接，
∵切于A点，
∴，
∵为α，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．
11．4
【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键．
根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长．
【详解】解：在正方形中，，，
∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O，
∴与半圆相切，
，
∵的周长为12，
，
，
∵，
正方形的边长为4．
故答案为：4．
12．
【分析】如图，设⊙O与BC相切于E，连接OE，延长EO交AD于F，根据切线的性质可得OE⊥BC，可证明四边形ECDF是矩形，可得EF⊥AD，EF=OE+OF=CD=2，根据垂径定理可得DF=AD，根据勾股定理列方程即可求出OD的长，由此即可得答案．
【详解】如图，设⊙O与BC相切于E，连接OE，延长EO交AD于F，
∵OE为⊙O半径，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠C=∠CDF=90°，CD=AD=2,
∴四边形ECDF是矩形，
∴EF⊥AD，EF=OE+OF=CD=2，
∴DF=AD=1，
∵OD=OE，
∴OD2=DF2+（EF-OE）2，即OD2=12+（2-OD）2，
解得：OD=，
∴⊙O半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理、圆的切线的性质；熟练掌握相关定理及性质是解题关键．
13．3
【分析】当时，取得最小值，再根据切线的性质进行计算即可．
【详解】如解图，当时，取得最小值．
∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵是的切线，
∴．
∴．
【点睛】此题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解答此题的关键．
14．见解析
【详解】试题分析：连接OB，要证明BC是⊙O的切线，即要证明OB⊥BC，即要证明∠OBA+∠EBC=90°，由OA=OB，CE=CB可得：∠OBA=∠OAB，∠CBE=∠CEB，所以即要证明∠OAB+∠CEB=90°，又因为∠CEB=∠AED，所以即要证明∠OAB+∠AED=90°，由CD⊥OA不难证明.
试题解析：
证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
点睛：本题主要掌握圆的切线的证明方法，一般我们将圆心与切点连接起来，证明半径与切线的夹角为90°.
15．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接、，由题意易得，进而可得，然后有，最后根据圆的基本性质可求解；
（2）由题意及（1）可得，，进而可得，然后根据等积法可求解．
【详解】（1）证明：连接、，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，AB=AE
∴，，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理可得，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的性质定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16．
【详解】试题分析：要求圆的半径，须连接BO、EO，利用勾股定理求出线段AB的长，再利用面积的转化，进而求出圆的半径．
试题解析：连接BO、EO，设⊙O半径为，在中，根据勾股定理，有：则：，
即，解得．的半径长为
考点：1、切线的性质；2、勾股定理．
17．（1）详见解析（2）2
【分析】（1）连接OD，如图，先证明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到DE⊥OD，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）作OH⊥AC于H，如图，利用垂径定理得到AH=CH，再在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出DE=AD=3，易得四边形ODEH为矩形，所以OH=DE=3，然后在Rt△OAH中计算出AH，从而计算2AH即可得到AC的长．
【详解】
(1)证明：连接OD,如图,
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
(2)作OH⊥AC于H，如图，则AH=CH，
∵∠BAC=60°，
∴∠2=30°，
在Rt△ADE中,DE=AD=3，
易得四边形ODEH为矩形，
∴OH=DE=3，
在Rt△OAH中,∵∠OAH=60°，
∴AH==，
∴AC=2AH=2.
【点睛】本题考查了圆周角定理与切线的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与切线的判定与性质.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
