扬大附中东部分校2024-2025学年第一学期第一次模块学习效果调查
高二年级数学试卷
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知直线经过两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知圆，则圆的半径为（ ）
A.1 B. C. D.3
4.已知点到直线的距离为1，则（ ）
A. B. C. D.
5.圆在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A.5 B. C. D.
8.已知圆.动直线于圆交于两点，线段的中点为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.把正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.
9.下列说法错误的是（ ）
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B.经过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程为
C.过两点的所有直线的方程为
D.直线的倾斜角的取值范围是
10.已知动点到原点与到点的距离之比为，动点的轨迹记为，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A.的方程为
B.动点到直线的距离的取值范围为
C.直线被截得的弦长为
D.上存在三个点到直线的距离为
11.已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是，下列说法正确的有（ ）
A.圆上恰有一个点到直线的距离为
B.切线长的最小值为1
C.直线恒过定点
D.四边形面积的最小值为2
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12.直线，若，则实数的值是___________.
13.光线沿直线射入，遇到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为___________.
14.若是平面内不同的两定点，动点满足且，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，动点满足，则的最大值为___________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知直线.
（1）若直线与直线垂直，求实数的值
（2）若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程
16.（15分）已知的顶点坐标为.
（1）求的边上的高所在直线的方程：
（2）求直线的方程及的面积.
17.（15分）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为.
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆没有公共点，求的取值范围：
（3）设直线与圆交于两点，为原点，且，求的值.
18.（17分）已知圆，
（1）若过定点的直线与圆相切，求直线的方程：
（2）若过定点且倾斜角为的直线与圆相交于两点，求线段的中点的坐标：
（3）问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由
19.（17分）已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4.
（1）求圆的方程：
（2）设点在圆上运动，点为线段上一点且满足，记点的轨迹为曲线.
①求曲线的方程，并说明曲线的形状：
②在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由
扬大附中东部分校2024-2025学年第一学期第一次模块学习效果调查
高二年级数学试卷
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】A
5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】B 8.【答案】A
二 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.把正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.
9.【答案】ABC 10.【答案】ACD 11.【答案】BC
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上
12.【答案】.
13.【答案】
14.【答案】设，则，整理得，
则是圆上一点，
由，得，如图所示
故，
当且仅当三点共线，且在之间时取得最大值.
又因为，
所以的最大值为.故答案为：.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）或
（2）或
【分析】（1）根据直线垂直的充要条件列方程求解即可；
（2）求出在坐标轴上的截距，由条件求出，即可得出直线方程
（1）因为直线与直线垂直，
所以，解得或.
（2）令，得，令，
由题意知，解得或，
所以直线的方程为或.
16.【解析】（1），所求直线斜率为1，
由直线斜截式方程得，
故所求直线方程为，
（2），由直线斜截式方程得，
故直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
17.解：（1）直线与圆相切，且圆心的坐标为，
圆的半径，
则圆的方程为；
（2）直线与圆没有公共点，
点到直线的距离，解得，
的取值范围为
（3）联立得，
由
解得，
设
则，
即
，解得，符合题意，
18.【答案】（1）或
（2）
（3）存在，或
【分析】（1）首先设直线的方程为：，与圆的方程联立，令，即可求解的值；（2）设直线的方程为：，与圆的方程联立，利用韦达定理表示中点坐标：
（3）方法一，设直线，与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解；方法二，设圆系方程，利用圆心在直线，以及圆经过原点，即可求解参数
（1）根据题意，设直线的方程为：
联立直线与圆的方程并整理得：
所以
从而，直线的方程为：或；
（2）根据题意，设直线的方程为：
代入圆方程得：，显然，
设则
所以点的坐标为
（3）假设存在这样的直线
联立圆的方程并整理得：
当
设则
所以
因为以为直径的圆经过原点，
所以
，即
均满足.
所以直线的方程为：或.
（3）法二：可以设圆系方程
则圆心坐标圆心在直线，
得①
且该圆过原点，得②
由①②，求得或
所以直线的方程为：或.
19.【答案】（1）
（2），曲线是为圆心，为半径的圆
②不存在，理由见解析
【分析】（1）令且，结合题设得圆为，联立直线结合韦达定理及弦长公式列方程求参数，进而写出圆的方程：
（2）①设应用坐标表示，再根据列方程组分别用表示，用表示，最后由点在圆上代入化简即可确定的方程，并说明曲线的形状即可.
②设且，不妨假设为定值，根据两点距离公式 在上化简并整理可得，则多项式方程中的系数及常数项均为0求参数，即可判断存在性.
（1）令且，易知圆的半径为，
圆的方程为，联立，整理可得，
若与圆交点横坐标分别为，则，
解得，又，即，
圆的方程为.
（2）①设则而，
则又在圆上，
曲线的方程为，故曲线是为圆心，为半径的圆.
②设且，
要使为定值，即为定值即可，
则，
又，
则，
可得
又异于原点，
不存在，使上任意一点有为定值.
