必修第一册苏教版第8章单元测试卷（含解析）

第8章　函数应用　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若二次函数f(x)=x2+ax+b的两个零点分别是2和3,则a,b的值分别是 (　　)
A.5,6 B.-5,6 C.6,5 D.6,-5
2.下列函数中随x值的增大,函数值增长速度最快的是 (　　)
A.y=50x(x∈Z) B.y=1 000x C.y=0.4×2x-1 D.y=·ex
3.某产品的成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
4.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
y=2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0
则方程2x=x2的一个根位于的区间为 (　　)
A.(-1.6,-1.2) B.(-1.2,-0.8) C.(-0.8,-0.6) D.(-0.6,-0.2)
5.若函数f(x)=|logax|-2-x(a>0且a≠1)的两个零点是m,n,则 (　　)
A.mn=1 B.mn>1 C.06.近年来,得益于我国先进的运载火箭技术,我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11月29日,神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站,于11月30日与神舟十四号航天员“会师”太空,12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆,航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱,圆满完成飞行任务.已知火箭的最大速度v(单位:km/s)、燃料质量M(单位:kg)与火箭质量m(单位:kg)的关系是v=2 000ln(1+).若火箭的最大速度为9 240 km/s,则≈(参考数值:e4.62≈101) (　　)
A. B. C.10 D.100
7.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=f 2(x)+(a-2)f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,则以下结论正确的是 (　　)
A.a<1 B.若x1x2≠0,则+=
C.f(-1)=f(3) D.函数y=f(|x|)有四个零点
10.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) (　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
11.已知函数f(x)=和g(x)=a(a∈R且为常数),则下列结论正确的是 (　　)
A.当a=4时,存在实数m,使得关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根
B.存在m∈[3,4],使得关于x的方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根
C.当x>0时,若函数h(x)=f2(x)+bf(x)+c恰有3个不同的零点x1,x2,x3,则x1x2x3=1
D.当m=-4,且关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4(x1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用打点滴的方式治疗某疾病时,血药浓度(血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度)随时间t(单位:时)变化的函数符合c1(t)=16(1-),此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间,当达到上限浓度时,必须马上停止注射,之后血药浓度随时间t变化的函数符合c2(t)=15·.一病患开始注射后,最迟隔　　　　小时停止注射,为保证治疗效果,最多再隔　　　　小时开始进行第二次注射.(计算结果精确到个位数,参考数据:lg 2≈0.3,
lg 3≈0.48)(本题第一空2分,第二空3分)
13.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是　　　　.
14.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=2x+,设g(x)=若函数y=g(x)-t有且只有一个零点,则实数t的取值范围是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)求实数m的范围,使关于x的方程x2+2x+m+1=0满足:
(1)有两个负根;
(2)有两个实根,且一个比1大,一个比-3小.
16.(15分)如图1所示,已知边长为8的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4,CD=6.为合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.
(1)设MP=x,PN=y,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
图1
17.(15分)某辆汽车以x km/h(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗为(x-k+)L,其中k为常数,且60≤k≤100.
(1)若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,求x的取值范围;
(2)求该汽车行驶100 km的油耗的最小值.
18.(17分)已知函数f(x)对一切实数x,y∈R都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y-2)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值和f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(|ax-2|)-3k|ax-2|+2k=0(a>1)有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
19.(17分)如果函数y=f(x)的定义域为R，且存在常数a，使得对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(-x)成立，那么称此函数具有“P(a)性质”.
(1)已知y=f(x)具有“P(0)性质”，且当x≤0时，f(x)=log2(x2-2x+5)，求y=f(x)的解析式及在[0，1]上的最大值;
(2)已知定义在R上的函数y=h(x)具有“P(2)性质”，当x≥1时，h(x)=|x-4|，若h2(x)-t·h(x)+t=0有8个不同的实数解，求实数t的取值范围.
第8章　函数应用　单元测试卷　参考答案
1.B　由题意可知2和3是方程x2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系得即
2.D　当底数大于1时,指数型函数“爆炸式”增长,所以排除A,B.y=0.4×2x-1和y=·ex虽然都是指数型函数,但y=·ex的底数e较大些,函数值增长速度更快,故选D.
3.C　y=3 000+20x-0.1x2.由25x≥y得x2+50x-30 000≥0,即(x-150)(x+200)≥0,所以x≥150.故生产者不亏本时的最低产量为150台.
4.C　设f(x)=2x-x2,则f(-1.6)=0.329 9-2.56<0,f(-1.2)=0.435 3-1.44<0,f(-0.8)=0.574 3-0.64<0,f(-0.6)=0.659 8-0.36>0, f(-0.2)=0.870 6-0.04>0.
∴函数f(x)在区间(-0.8,-0.6)上必有一个零点,即方程2x=x2有一个根在区间(-0.8,-0.6)上.
图D 1
5.C　由题设可得|logax|=()x,不妨设a>1,m1,且-logam=()m,logan=()n,以上两式左右两边相减可得loga(mn)=()n-()m<0,所以06.D　由题意可得v=2 000ln(1+)=9 240,即ln(1+)==4.62,所以1+=e4.62≈101,则≈100.
7.C　因为f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
所以解得
所以f(x)=
当x>0时,方程为x=2,此时方程f(x)=x只有1个解;
当x≤0时,方程为x2+4x+2=x,解得x=-1或x=-2,此时方程f(x)=x有2个解.
故方程f(x)=x共有3个解.
8.A　若g(x)=f 2(x)+(a-2)f(x)-2a=[f(x)-2][f(x)+a]有三个零点,即方程[f(x)-2][f(x)+a]=0有三个根.当f(x)=2时,由|ex-1|+1=2,得|ex-1|=1,得ex-1=1或ex-1=-1,即ex=2或ex=0(不合题意),则x=ln 2,此时方程只有一个根,所以f(x)=-a有两个不同的根.作出f(x)的图象及直线y=-a,如图D 2,由图象知,1<-a<2,即-2图D 2
9.ABC　对于A,若方程x2-2x+a=0有两个不同的根,则有(-2)2-4a>0,解得a<1,故A正确;对于B,方程x2-2x+a=0有两个不同的根,则有x1+x2=2,x1x2=a,则+==,故B正确;对于C,函数f(x)=x2-2x+a图象的对称轴为直线x=1,则有f(-1)=f(3),故C正确;对于D,当a=0时,y=f(|x|)=x2-2|x|,有3个零点,故D错误.
10.CD　设经过n次过滤,产品达到市场要求,
则×()n≤,即()n≤,
由nlg≤-lg 20,即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),
得n≥≈7.4,故选CD.
图D 3
11.ACD　若m<0,当x≤0时,函数f(x)=-x2+mx在区间(-∞,]上单调递增,在[,0]上单调递减,此时f(x)max=f()=,当a=4时,若关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根,则>4,解得m<-4,故A选项正确.
若m≥0,则函数f(x)=-x2+mx在区间(-∞,0]上单调递增,且当x≤0时,f(x)≤f(0)=0,画出f(x)的图象,如图D 3所示.此时关于x的方程f(x)=g(x)根的个数不大于2,故B选项错误.
设t=f(x),由h(x)=f2(x)+bf(x)+c=0,得t2+bt+c=0,
当x>0时,t=f(x)=|ln x|≥0,设关于t的一元二次方程t2+bt+c=0的两根分别为t1,t2(不妨设t1>t2),
由于函数h(x)有三个不同的零点x1,x2,x3(不妨设x10,t2=0,如图D 4所示.
由t2=|ln x2|=0,得x2=1,由图象可知,0由t1=|ln x1|=|ln x3|,得-ln x1=ln x3,即x1x3=1,故C选项正确.
图D 4　
　
图D 5
当m=-4时,如图D 5所示,若x≤0,则f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4,此时,函数g(x)与函数f(x)在区间(-∞,0]上有两个交点,且这两个交点关于直线x=-2对称,则x1+x2=-4.
若x>0,则函数g(x)与函数f(x)的两个交点的横坐标x3,x4满足0-ln x3=ln x4,
所以x3=e-a,x4=ea,由图象可知,函数f(x)=|ln x|在[,1]上单调递减,在[1,x4]上单调递增,f()=f(e-2a)=2a,f(x4)=f(ea)=a,所以f(x)在[,x4]上的最大值为f()=2a=ln 4=2ln 2,则a=ln 2,x3=e-ln 2=,x4=
eln 2=2.
所以x1+x2+2x3+2x4=1,故D选项正确.
12.16　7　由题意可知,有治疗效果的血药浓度在4到15之间,所以浓度到15时为最迟停止注射时间,则令c1(t)=16(1-)=15,解得t=16.
血药浓度从15降到4所用时间为最长间隔时间,则令c2(t)=15×=4,
所以-=log2=2-log215=2-=2-≈2-≈-1.93,
所以t=1.93×4≈7.7.故为保证治疗效果,最多再隔7小时开始进行第二次注射.
13.(0,1)　函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为方程f(x)-m=0的根有3个,进而转化为函数y=f(x),y=m图象的交点有3个.画出函数y=f(x)的图象与直线y=m,如图D 6所示.当x≤0时,f(x)的图象的最高点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).
图D 6　
　
图D 7
14.[-,]　因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
即2-x+m·2x=-(2x+m·2-x),解得m=-1,
故g(x)=
作出函数g(x)的图象(如图D 7所示).
当x>1时,g(x)单调递增,此时g(x)>;
当x≤1时,g(x)单调递减,此时g(x)≥-.
所以当t∈[-,]时,y=g(x)-t有且只有一个零点.
15.(1)设函数f(x)=x2+2x+m+1.
若关于x的方程x2+2x+m+1=0有两个负根,则
解得-1故满足题意的实数m的取值范围为(-1,0].
(2)若关于x的方程x2+2x+m+1=0有两个实根,且一个比1大,一个比-3小,则解得m<-4.
故满足题意的实数m的取值范围为(-∞,-4).
16.(1)延长NP交AF于点Q,则PQ=8-y,EQ=x-4.
又△EPQ∽△EDF,所以=,即=.
所以y=-x+10,定义域为{x|4≤x≤8}.
(2)设矩形BNPM的面积为S,
则S=xy=x(10-)=-(x-10)2+50(4≤x≤8),
易得S是关于x的二次函数,且其图象开口向下,当x∈[4,8]时,S单调递增.
所以当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,为48.
17.(1)由题意可知,当x=120时,(120-k+)=11.5,解得k=100.
由(x-100+)≤9,得x2-145x+4 500≤0,
解得45≤x≤100.
又60≤x≤120,所以x的取值范围是[60,100].
(2)设该汽车行驶100 km的油耗为y L,则
y=·(x-k+)=20-+(60≤x≤120).
令t=,则t∈[,],
所以y=90 000t2-20kt+20=90 000(t-)2+20-,
因为60≤k≤100,所以∈[,].
①若≤≤,即75≤k≤100,
则当t=,即x=时,ymin=20-;
②若≤<,即60≤k<75,
则当t=,即x=120时,ymin=-.
综上所述,当75≤k≤100时,该汽车行驶100 km的油耗的最小值为(20-)L;
当60≤k<75时,该汽车行驶100 km的油耗的最小值为(-)L.
18.(1)在f(x+y)-f(y)=x(x+2y-2)中,令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=-1,又f(1)=0,得f(0)=1,
再令y=0,则f(x)-f(0)=x(x-2),得f(x)=x2-2x+1.
图D 8
(2)令t=|ax-2|(a>1),其图象如图D 8,
则由f(|ax-2|)-3k|ax-2|+2k=0,得t2-(3k+2)t+2k+1=0,
记该方程的根为t1,t2,且t1令g(t)=t2-(3k+2)t+2k+1,则或或解得k>或k=或k=-,
∴实数k的取值范围为{k|k≥或k=-}.
19.(1)因为y=f(x)具有“P(0)性质”，
所以f(x)=f(-x)对x∈R恒成立，f(x)是偶函数.
因为当x≤0时，f(x)=log2(x2-2x+5)，
所以当x＞0时，-x＜0，则f(-x)=log2[(-x)2-2(-x)+5]=log2(x2+2x+5)，
由f(x)=f(-x)得，当x＞0时f(x)=log2(x2+2x+5).
所以f(x)=，
因为y=log2x是增函数，y=x2+2x+5=(x+1)2+4在[-1，+∞)单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数y=log2(x2+2x+5)在[0，1]上单调递增，
因此f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)=log2(12+2×1+5)=log28=3.
(2)函数y=h(x)具有“P(2)性质”，则h(x+2)=h(-x)，
当x≥1时，h(x)=|x-4|，所以当x＜1时，h(x)=h(-x+2)=|x+2|，
于是h(x)= ，
作出h(x)的图象如图D 9所示：
图D 9
若h2(x)-t·h(x)+t=0有8个不同的实数解，令n=h(x)，
则n2-tn+t=0有两个不等的实数根n1，n2，且0＜n1＜3，0＜n2＜3，
所以，所以4＜t＜.
所以实数t的取值范围为 (4， ).