第4章 指数与对数 单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是 ( )
A.64的6次方根是2
B.的运算结果是±2
C.n>1且n∈N*时,()n=a对任意实数a都成立
D.n>1且n∈N*时,式子对任意实数a都有意义
2.化简-得 ( )
A.6 B.2x C.6或-2x D.6或2x或-2x
3.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是 ( )
A.1 B.0 C.x D.y
4.使式子log(x-1)(x2-1)有意义的x的取值范围为 ( )
A.{x|x<-1或x>1} B.{x|x>1且x≠2}
C.{x|x>1} D.{x|x≠2}
5.已知ab=-5,则a+b的值是 ( )
A.2 B.0 C.-2 D.±2
6.已知log189=a,18b=5,则log3645= ( )
A. B. C. D.
7.若a>0,b>0,且log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是 ( )
A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4
8.记地球与太阳的平均距离为R,地球公转周期为T,万有引力常量为G,根据万有引力定律和牛顿运动定律知:太阳的质量M=(kg).已知lg 2≈0.3,lg π≈0.5,lg≈28.7,由上面的数据可以计算出太阳的质量约为 ( )
A.2×1030 kg B.2×1029 kg C.3×1030 kg D.3×1029 kg
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列等式中,恒成立的为 ( )
A.=a(a∈R,n∈N,n>1) B.(a2+2a+3)0=1,a∈R
C.log23·log35·log516=4 D.logax2=2logax(a>0,a≠1,x≠0)
10.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么 ( )
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.=+ D.=-
11.已知a,b均为正实数,若logab+logba=,ab=ba,则=( )
A. B. C. D.2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.eln 3+lo8+的值为 .
13.已知a>0,b>0 ,则(··÷= .
14.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,则lg(ab)·(logab+logba)的值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)化简下列各式:
(1)(a>0,b>0);
(2)+(a≥1).
16.(15分)计算下列各式:
(1)(2)0.5+0.1-2+(2-3π0+;
(2)(a-3+a3)(a-3-a3)÷[(a-4+a4+1)·(a-1-a)].
17.(15分)已知log35=a,5b=7,用a,b的代数式表示log63105.
18.(17分)已知二次函数y=x2+(2+lg a)x+lg b的图象经过点 (-1,-2),且二次函数图象上的所有点都在直线y=2x上或其上方,求a,b的值.
19.(17分)数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,是数学发展史上的伟大成就之一.
(1)请你运用对数的运算性质计算·(+)的值.
(2)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫作位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断2 0192 023的位数.(注:lg 2 019取3.305)
第4章 指数与对数 单元测试卷 参考答案
1.D 对于选项A,64的6次方根应为±2;对于选项B,的运算结果应为2;对于选项C,应为对任意非负实数a都成立.
2.C 原式=|x+3|-(x-3),当x≥-3时,原式=6;当x<-3时,原式=-2x.
3.B 由x2+y2-4x-2y+5=0,得(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1,所以logx(yx)=log2(12)=0.
4.B 由题意可得解得x>1且x≠2.
5.B ∵ab=-5,∴a与b异号,∴a+b=a+b=a+b=+=0.
6.D 因为log189=1-log182=a,所以log182=1-a,且b=log185,所以log3645===.故选D.
7.D 由题设可得3a+4b=ab,即+=1,故a+b=(+)(a+b)=7++≥7+4,当且仅当a=b时,等号成立,故选D.
8.A ∵lg M=lg=lg 4+lg π2+lg=2lg 2+2lg π+lg≈2×0.3+2×0.5+28.7=30.3,
∴M≈1030.3=100.3×1030≈2×1030.
9.BC A中,若n为偶数,a为负数,则不成立;B中,因为a2+2a+3=(a+1)2+2≠0,所以(a2+2a+3)0=1,故B正确;C中,log23·log35·log516=··===4,故C正确;D中,若x为负数,则不成立.
10.AD 依题意设4a=6b=9c=k,则a=log4k,b=log6k,c=log9k.
对于A,ab+bc=2ac即+=2,因为+=+=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;
对于C,+=+=2logk4+logk6=logk96≠=2logk9=logk81,故C错误;
对于D,-=2logk6-logk4=logk=logk9=,故D正确.
11.AD 令t=logab,则t+=,
∴2t2-5t+2=0,即(2t-1)(t-2)=0,∴t=或t=2.
∴logab=或logab=2,∴a=b2或a2=b.
∵ab=ba,∴2b=a=b2或b=2a=a2,∴b=2,a=4或a=2,b=4.
∴=2或=.
12.11 eln 3+lo8+=3+lo+2=3+6+2=11.
13.1 原式=··÷=··÷=·=a0b0=1.
14.12 原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0,
设t=lg x,则原方程可化为2t2-4t+1=0,
设此方程的两根分别为t1,t2,则t1+t2=2,t1t2=.
已知a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,
不妨设t1=lg a,t2=lg b,则lg a+lg b=2,lg alg b=,
∴lg(ab)·(logab+logba)=(lg a+lg b)(+)==(lg a+
lg b)·=2×=12.
15.(1)原式===·=·.
(2)原式=+=+=|+1|+|-1|=+1+
|-1|=
16.(1)原式=(++(-3+=+102+-3+=+100+-3+=100.
(2)原式=[(a-3)2-(a3)2]÷[(a-4+a4+1)(a-1-a)]=
===a-1+a=+a.
17.方法一 ∵5b=7,∴log35b=log37,∴blog35=log37.
∵log35=a,∴log37=ab.
∵63=32×7,105=3×5×7,
∴log363=log332+log37=2+ab,
log3105=log33+log35+log37=1+a+ab,
∴log63105==.
方法二 ∵5b=7,∴b=log57.∵log35=a,∴log53=.
∴log563=log57+log532=log57+2log53=b+,
log5105=log53+log55+log57=+1+b,
∴log63105===.
18.∵二次函数y=x2+(2+lg a)x+lg b的图象经过点 (-1,-2),
∴1-2-lg a+lg b=-2,
∴lg b-lg a=-1,即lg b=lg a-1.
又二次函数图象上的所有点都在直线y=2x上或其上方,
∴x2+2x+xlg a+lg b≥2x恒成立,即x2+xlg a+lg b≥0恒成立.
∴方程x2+xlg a+lg b=0的根的判别式Δ=(lg a)2-4lg b≤0.
又lg b=lg a-1,∴(lg a-2)2≤0,∴lg a=2,即a=100,b=10.
19.(1)方法一 ·(+)=·(+)=·(+)=+=.
方法二 ·(+)
=log43·(log98+log2716)
=lo3·(lo23+lo24)
=log23·(log32+log32)
=log23·log32
=.
(2)方法一 设10k<2 0192 023<10k+1,k∈N*,所以k
方法二 设2 0192 023=N,所以2 023lg 2 019=lg N,所以2 023×3.305=lg N,
所以lg N=6 686.015,所以N=106 686.015=100.015×106 686.
因为1<100.015<10,所以N的位数为6 687,即2 0192 023的位数为6 687.
