必修第一册人教B版第一章单元测试卷（含解析）

第一章　集合与常用逻辑用语　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知A={x|-2A.{x|-22.命题“ a∈N,∈N”的否定为 (　　)
A. a∈N, N B. a∈N,∈N C. a∈N, N D. a N,∈N
3.已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,3,…}的关系的维恩图如图1所示,则阴影部分表示的集合的元素共有(　　)
图1
A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个
4.设全集U={1,2,3,4},M={1,3,4},N={2,4},P={2},那么下列关系中正确的是 (　　)
A.P=( UM)∩N B.P=M∪N C.P=M∪( UN) D.P=M∩N
5.在数学漫长的发展过程中,数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞:无论怎样设值,在规定的处理法则下,最终都将得到固定的一个值,再也跳不出去,就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数学黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义:若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是“自恋数”.已知所有一位正整数的“自恋数”组成集合A,集合B={x|-3A.3　　　　 B.4　　　　 C.7　　　　 D.8
6.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1A.-3≤m≤4 B.-37.设x为任一实数,[x]表示不超过x的最大整数,表示不小于x的最小整数,例如[2.1]=2,[-2.1]=-3,<0.5>=1,<-0.5>=0,那么“[a]=”是“a≥b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.某小学对小学生的课外活动进行了调查,调查结果显示:参加舞蹈课外活动的有63人,参加唱歌课外活动的有89人,参加体育课外活动的有47人,三种课外活动都参加的有24人,只选择两种课外活动参加的有22人,不参加其中任何一种课外活动的有15人,则接受调查的小学生的人数为 (　　)
A.120 B.144 C.177 D.192
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列四个命题中,其否定是假命题的有 (　　)
A.有理数是实数 B.有些四边形不是菱形
C. x∈R,x2-2x>0 D. x∈R,2x+1为奇数
10.若集合A={x|a+1A.a<7 B.a<6 C.a<5 D.a<4
11.19世纪戴德金利用他提出的分割理论,通过对有理数集的分割精确地给出了实数的定义,并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A,B满足:A∩B= ,A∪B=N*,则称(A,B)为N*的二划分,例如,A={x|x=2k,k∈N*},
B={x|x=2k-1,k∈N*},则(A,B)就是N*的一个二划分.则下列说法正确的是 (　　)
A.设A={x|x=3k,k∈N*},B={x|x=3k±1,k∈N*},则(A,B)为N*的二划分
B.设A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=k·2n,k=2m+3,m,n∈N},则(A,B)为N*的二划分
C.存在一个N*的二划分(A,B),使得 x,y∈A,x+y∈B, p,q∈B,p+q∈B
D.存在一个N*的二划分(A,B),使得 x,y∈A,x三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax-1=0},若B A,则实数a的取值集合为　　　　.
13.设全集U=R,集合A={x|x≥1},B={x|-214.一名法官在审理一起珠宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下.甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中.”乙说:“我没有作案,是丙偷的.”丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷.”丁说:“乙说的是事实.”经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知命题p: x∈R,x2+2x+1>0.
(1)写出命题p的否定;
(2)判断命题p的真假,并说明理由.
16.(15分)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|a≤x≤a+2}.
(1)若a=1,求A∪B;
(2)在①A∪B=A,②A∩B=A,③A∩B= 中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)已知命题p“ x∈R,x2-x+m≥0”是假命题.
(1)求实数m的取值集合B;
(2)设集合A={x|3a18.(17分)已知m>0,p:-2≤x≤6,q:2-m≤x≤2+m.
(1)已知p是q成立的必要不充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若 q是 p成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
19.(17分) 给定正整数k≥2，设集合M={(x1，x2，…，xk)|xi∈{0，1}，i=1，2，…，k}.对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素(y1，y2，…，yk)，(z1，z2，…，zk)，有y1+y2+…+yk=z1+z2+…+zk，且y1+z1，y2+z2，…，yk+zk中有且只有一个为2，则称A具有性质P.
(1)当k=2时，判断A={(1，0)，(0，1)}是否具有性质P；(结论无需证明)
(2)当k=3时，写出一个具有性质P的集合A；
(3)当k=4时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P.
第一章　集合与常用逻辑用语　单元测试卷　参考答案
1.A　由题意知,A∪B={x|-22.C　因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“ a∈N,∈N”的否定为“ a∈N, N”.
3.B　M={x|-2≤x-1≤2}={x|-1≤x≤3},N={1,3,5,…},则M∩N={1,3},共有2个元素,故选B.
4.A　 UM={2},故P=( UM)∩N.
5.D　根据“自恋数”的定义可知,所有的一位正整数都是“自恋数”,即A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
又B={x|-36.D　根据题意,若A∪B=A,则B A.又B≠ ,所以可得解得27.A　依题意,得a≥[a],≥b,∴“[a]=” “a≥b”,即充分性成立;反之不成立,如“3.1≥1.5” “[3.1]=<1.5>”,即必要性不成立.
图D 1
8.B　用维恩图表示题设中的集合关系,不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A,B,C表示,如图D 1所示,则card(A)=63,card(B)=89,card(C)=47,card(A∩B∩C)=24.不妨设总人数为n,维恩图中三种活动两两重叠所得的三块区域的人数分别为x,y,z,则card(A∩B)=x+24,card(A∩C)=y+24,card(B∩C)=z+24,x+y+z=22.
由容斥原理得,n-15=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=63+89+47-(x+24)-(y+24)-(z+24)+24,解得n=144.
9.ABD　有理数是实数的否定是,有些有理数不是实数,是假命题.有些四边形不是菱形的否定是,所有的四边形都是菱形,是假命题. x∈R,x2-2x>0的否定是, x∈R,x2-2x≤0,是真命题. x∈R,2x+1为奇数的否定是, x∈R,2x+1都不是奇数,是假命题.故选ABD.
10.AB　∵集合A={x|a+1当A≠ 时,a+1<2a-3,解得a>4,
若A∩B= ,则解得-3≤a≤5,∴4故A∩B= 的充要条件为a≤5,
结合选项可知,A∩B= 的必要不充分条件为a<7,a<6.故选AB.
11.BCD　对于A,1 A,1 B,故A∪B≠N*,故A错误.
对于B,因为A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=(2m+3)·2n,n,m∈N},
所以B={x|x=3·2n}∪{x|x=5·2n}∪{x|x=7·2n}∪…,
显然A∩B= ,若A∪B=N*,则(A,B)为N*的二划分.
要证A∪B=N*,即证对于任意一个正整数,都可以分解为2n×k的形式,其中n∈N,k为正奇数.
对于任意给定的正整数M,有M=…,其中Pi是素数,xi∈N,i=1,2,3,…,t,
则M必为2n×k的形式,其中k为正奇数,n∈N,即A∪B=N*,故B正确.
对于C,当A={x|x=2k-1,k∈N*},B={x|x=2k,k∈N*}时,满足A∩B= ,A∪B=N*,且 x,y∈A,x+y为正偶数,即x+y∈B, p,q∈B,p+q仍为正偶数,即p+q∈B,故C正确.
对于D,选项B中的集合A和B就满足,故D正确.故选BCD.
12.{-1,0,}　集合A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}.因为B A,当B= 时,a=0;当B≠ 时,B={},则=-1或=3,所以a=-1或a=.综上可知,a的取值集合为{-1,0,}.
13.{x|1≤x<3}　{x|x≤-2}　∵A={x|x≥1},B={x|-2-2},∴ U(A∪B)={x|x≤-2}.
14.乙　四人供词中,乙、丁意见一致,或同真或同假.若同真,即是丙偷的,而四人中有两人说的是真话,即此时甲、丙说的是假话,即乙、丙、丁没偷,矛盾;若同假,即不是丙偷的,则甲、丙说的是真话,可知犯罪的是乙,符合题意.
15.(1)由命题p: x∈R,x2+2x+1>0,
可得命题p的否定为 x∈R,x2+2x+1≤0.
(2)命题p为假命题.
因为y=x2+2x+1=(x+1)2≥0(当且仅当x=-1时取等号),
故命题p: x∈R,x2+2x+1>0为假命题.
16.(1)当a=1时,B={x|1≤x≤3},则A∪B={x|-1≤x≤3}.
(2)选条件①,有B A,易知B≠ ,
∴解得-1≤a≤0,
∴实数a的取值范围为[-1,0].
选条件②,有A B,
∴无解,∴实数a的取值范围是 .
选条件③,有A∩B= ,
则a+2<-1或a>2,即a<-3或a>2,
∴实数a的取值范围是(-∞,-3)∪(2,+∞).
(任选其中一个条件进行解答即可)
17.(1)命题p“ x∈R,x2-x+m≥0”是假命题,
则命题“ x∈R,x2-x+m<0”是真命题,
∴m<(-x2+x)max.
设y=-x2+x,则y=-(x-)2+≤,
∴m<,即B={m|m<}.
(2)∵集合A={x|3a∴3a<2+a,即a<1.
若x∈B是x∈A的必要不充分条件,则A B,
∴a+2≤,即a≤-,满足a<1.
∴实数a的取值范围为a≤-.
18.(1)∵p是q成立的必要不充分条件,∴q p且p q,
则[2-m,2+m]是[-2,6]的真子集,
有解得0又当m=4时,[2-m,2+m]=[-2,6],不合题意,故舍去,∴m的取值范围是(0,4).
(2)∵ q是 p成立的充分不必要条件,
∴ q p且 p q,则(-∞,2-m)∪(2+m,+∞)是(-∞,-2)∪(6,+∞)的真子集,
则解得m≥4.
又当m=4时,两集合相等,不合题意,故舍去,
∴m的取值范围为(4,+∞).
19.(1)根据题设定义可知A={(1，0)，(0，1)}不具有性质P.
(2)当k=3时，令A={(1，1，0)，(1，0，1)}，
则1+1+0=1+0+1，且1+1，1+0，0+1中有且只有一个为2，满足性质P.
(3)当k=4时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，
即任取A中两个不同元素(y1，y2，y3，y4)，(z1，z2，z3，z4)，
有y1+y2+y3+y4=z1+z2+z3+z4，　①
y1+z1，y2+z2，y3+z3，y4+z4中有且只有一个为2.　②
设y1+y2+y3+y4=z1+z2+z3+z4=m，则m∈{0，1，2，3，4}.
当m=1时，由①得A={(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}，不满足②，矛盾.
当m=2时，由①得A {(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(0，1，1，0)，(0，1，0，1)，(0，0，1，1)}，
由②得(1，1，0，0)与(0，0，1，1)不同时在A中；(1，0，1，0)与(0，1，0，1)不同时在A中；(1，0，0，1)与(0，1，1，0)不同时在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾.
当m=3时，由①得A={(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)}，不满足②，矛盾.
当m=0或m=4时，不满足A中的元素个数为4，矛盾.
所以假设不成立，即A不具有性质P.