第五章 三角函数 单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.sin 1 290°= ( )
A.- B.- C. D.
2.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos(2α+π)= ( )
A. B.- C.- D.
3.函数f(x)=tan(2x+)的定义域为 ( )
A.{x|x≠kπ+,k∈Z} B.{x|x≠2kπ+,k∈Z}
C.{x|x≠kπ+,k∈Z} D.{x|x≠+,k∈Z}
4.已知函数f(x)=3cos2(x+)+4sin(x+),x∈[0,],则函数y=f(x)的值域为 ( )
A.[,] B.[2+,] C.[4,] D.[4,]
5.我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”,“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.底与腰之比为黄金分割比(≈0.618)的黄金三角形被称为“最美三角形”,即顶角为36°的等腰三角形.如图1,在其中一个黄金△ABC中,黄金分割比为.试根据以上信息,计算sin 18°= ( )
A. B. C. D.
图1
6.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图2所示,若将函数y=Asin(ωx+φ)的图象向右平移α(α>0)个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则α的取值可能为 ( )
A. B. C. D.
图2
7.已知函数f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中a,b∈R,ab≠0,若f(x)≤|f()|对一切的x∈R恒成立,且f()>0,则函数f(x)的一个单调递减区间为 ( )
A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=sin πx,且满足当x>1时,f(x)=2f(x-2),若对任意x∈[-m,m],f(x)≤2恒成立,则m的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=3cos(-2x),则 ( )
A.f(x)的最小正周期为 B.f(x)图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z
C.f(x)在[0,]上是增函数 D.f(x)的图象关于点(,0)对称
10.已知≤α≤π,π≤β≤,sin 2α=,cos(α+β)=-,则 ( )
A.cos α=- B.sin α-cos α=
C.β-α= D.cos αcos β=-
11.随着市民健康意识的提升,越来越多的人走出家门健身,身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图3,某公园内有一个以O为圆心,半径为5,圆心角为的扇形人工湖OAB,OM,ON是分别由OA,OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系,主管部门准备在公园内增建三条健身步道,其中一条与相切于点F,且与OM,ON分别相交于C,D,另两条是分别和湖岸OA,OB垂直的FG,FH(垂足均不与O重合).在△OCD区域以内,扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪,则 ( )
图3
A.∠FOD的范围是(0,) B.新增步道CD的长度可以为20
C.新增步道FG,FH长度之和可以为7 D.当点F为的中点时,草坪的面积为25-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知sin(-α)=,则sin(+2α)= .
13.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图4所示,弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形,若弧田的弧长为4π,弧所在的圆的半径为6,则弧田的弦AB的长是 ,弧田的面积是 .(本题第一空2分,第二空3分)
图4
14.若函数y=f(x)的定义域内存在x1,x2(x1≠x2),使=1成立,则称该函数为“互补函数”.若函数f(x)=cos(ωx-)-sin(ωx+)(ω>0)在[π,2π]上为“互补函数”,则ω的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在①角α的终边与单位圆的交点为M(,y),②2sin α=7sin 2α,③4sin2α-45cos2α=3这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题.
已知cos(α-β)=,且0<β<α<, .
(1)求的值;
(2)求β的值.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
16.(15分)已知f(x)=2sin xcos x-2cos(x-)·cos(x+).
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈[0,π]时,若f(x)∈(-1,1], 求x的取值范围.
17.(15分)如图5,弹簧挂着的小球进行上下振动,若小球在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h=Asin(ωt+)确定,其中A>0,ω>0,t∈[0,100].在一次振动过程中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.
(1)求小球相对平衡位置的高度h(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数关系式;
(2)求从t=0 s开始到t=50 s时小球经过平衡位置的次数,及t=50 s时小球的运动方向.
图5
18.(17分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为(,0),若先把函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;
(2)设函数φ(x)=ag(x)-2cos2x+1(a∈R),试判断φ(x)在(0,2π)内的零点个数.
19.(17分)对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“G函数”.
(1)试判断f(x)=|cos x|(x≠0)是否为“G函数”，并说明理由;
(2)若f(x)=log2(tan x+m)+1是定义在区间[-，0)∪(0，]上的“G函数”，求实数m的取值范围.
第五章 三角函数 单元测试卷 参考答案
1.B 因为1 290°=3×360°+210°,所以sin 1 290°=sin(3×360°+210°)=sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-.故选B.
2.B ∵角α的终边经过点(-4,3),∴cos α==-,则cos(2α+π)=-cos 2α=1-2cos2α=1-2×=-,故选B.
3.D 令2x+≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,所以函数f(x)=tan(2x+)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}.故选D.
4.D f(x)=3[1-sin2(x+)]+4sin(x+)=-3sin2(x+)+4sin(x+)+3,x∈[0,],令t=sin(x+),则t∈[,1],则原函数可化为y=-3t2+4t+3=-3(t-)2+,t∈[,1],易知其图象开口向下,∴ymax=,ymin=4,∴f(x)的值域为[4,].故选D.
5.B 依题意可知,黄金△ABC是一个顶角为36°的等腰三角形,如图D 1,AB=AC,=,∠BAC=36°,过A作AD⊥BC于D,则AD也是三角形的中线和角平分线,
图D 1
故sin 18°=sin ∠DAC===×=.
6.D 由函数图象可知,A=,设函数的周期为T,则=-=,所以T=π.由周期公式可得ω==2,所以y=sin(2x+φ),将(,-)代入解析式可得-=sin(2×+φ),则2×+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<π,所以φ=,则解析式为y=sin(2x+).将函数图象向右平移α个单位长度后,可得到y=sin[2(x-α)+]=sin(2x-2α+)的图象.因为平移后的函数为偶函数,则2×0-2α+=+nπ,n∈Z,解得α=--=-,n∈Z,当n=-3时,α=,故选D.
7.D f(x)=asin 2x+bcos 2x=sin(2x+θ)(其中tan θ=),∵f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立,∴当x=时,函数有最大值或最小值-.因此,2·+θ=+kπ(k∈Z),解得θ=+kπ(k∈Z),∵f()=sin(π+θ)=-sin θ>0,∴sin θ<0,从而取k=-1得到θ=-π=-.由此可得f(x)=sin(2x-),令+2nπ≤2x-≤+2nπ(n∈Z),得+nπ≤x≤+nπ(n∈Z),∴f(x)的单调递减区间是[+nπ,+nπ](n∈Z),当n=0时,f(x)的单调递减区间是[,].故选D.
8.B 由题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=sin πx,当x∈[-1,0)时,f(x)=-f(-x)=-sin(-πx)=sin πx,即f(x)=sin πx,x∈[-1,1],又当x>1时,f(x)=2f(x-2),故可画出函数图象,如图D 2所示.当3≤x≤5时,f(x)=4f(x-4)=4sin(πx-4π)=4sin πx;则当-5≤x≤-3时,f(x)=-f(-x)=4sin πx.当-5≤x≤-3时,令4sin πx=2,解得x1=-,x2=-(舍去),若对任意x∈[-m,m],f(x)≤2恒成立,则m的最大值为.
图D 2
9.BD ∵f(x)=3cos(-2x)=3cos(2x-),∴其周期为T==π,故A错误;
令2x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,∴f(x)图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z,故B正确;
当x∈[0,]时,2x-∈[-,],∴f(x)在[0,]上不单调,故C错误;
∵f()=3cos =0,∴f(x)的图象关于点(,0)对称,故D正确.故选BD.
10.BC 因为≤α≤π,所以≤2α≤2π,又sin 2α=>0,故有≤2α≤π,≤α≤,所以cos 2α=2cos2α-1=-,解得cos2α=,
即cos α=,故A错误.
(sin α-cos α)2=1-sin 2α=,因为≤α≤,所以sin α>cos α,所以sin α-cos α=,故B正确.
又≤α≤,且π≤β≤,所以≤α+β≤2π,因为cos(α+β)=-<0,所以≤α+β≤,所以sin(α+β)=-,所以cos(β-α)=cos[(α+β)-2α]=-×(-)+(-)×=-,因为≤α+β≤,-π≤-2α≤-,所以≤β-α≤π,所以β-α=,故C正确.
由cos(α+β)=-可得,cos αcos β-sin αsin β=-,因为cos(β-α)=cos αcos β+sin αsin β=-,所以cos αcos β=-,故D错误.故选BC.
11.BD 设∠FOD=θ.对于A选项,由题意可得解得<θ<,A选项错误.
对于B选项,∠FOC=-θ,FD=5tan θ,FC=5tan(-θ),所以CD=FD+FC=5tan θ+=5tan θ+.设t=tan θ-1>0,t∈(0,+∞),则tan θ=,可得CD=+=(t++2)≥(2+2)=10,当且仅当t=2,即θ=时,等号成立,故新增步道CD的长度可以为20,B选项正确.
对于C选项,FG=5sin(-θ),FH=5sin θ,所以FG+FH=5sin(-θ)+5sin θ=5(cos θ+sin θ+sin θ)=5sin(θ+),因为<θ<,所以<θ+<,所以
12. sin(+2α)=sin(-+2α)=cos(-2α)=cos 2(-α)=1-2sin2(-α)=1-=.
13.6 12π-9 如图D 3,作OC⊥AB于点D,并交于点C,的长为4π,弧所在的圆的半径为6,
图D 3
易知∠AOB为所对的圆心角,则∠AOB==,可得∠AOD=,OA=6,OD=OAcos∠AOD=3,
AB=2AD=2OAsin=2×6×=6.
弧田的面积S=S扇形OAB-S△OAB=×4π×6-×6×3=12π-9.
14.[,]∪[,+∞) f(x)=cos(ωx-)+sin(ωx-)=cos(ωx--)=sin ωx,由“互补函数”的定义得,存在x1,x2∈[π,2π](x1≠x2),使得f(x1)+f(x2)=2,所以令t=ωx,则函数y=sin t在区间[ωπ,2ωπ]上存在至少两个最大值点,则T=≤π,得ω≥2.当2T=2×≤π时,即ω≥4,显然符合题意.当2≤ω<4时,分以下两种情况讨论:当ωπ≤,即ω≤时,2ωπ≥,即ω≥,所以≤ω≤;当4π>ωπ>,即ω>时,2ωπ≥,即ω≥,所以≤ω<4.
综上,ω的取值范围为[,]∪[,+∞).
15.(1)选①.
已知角α的终边与单位圆的交点为M(,y),
则cos α=,又0<α<,
则sin α==,tan α==4,
则===-28.
选②.
已知2sin α=7sin 2α,则sin α=7sin αcos α,
又0<α<,则cos α=,
则sin α==,tan α==4,
则===-28.
选③.
已知4sin2α-45cos2α=3,则cos2α=,
又0<α<,则cos α=,
则sin α==,tan α==4,
则===-28.
(2)已知cos(α-β)=,且0<β<α<,
则sin(α-β)==,
则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,
则β=.
16.(1)因为f(x)=sin 2x-2cos(x+-)cos(x+)
=sin 2x-2sin(x+)cos(x+)
=sin 2x-sin(2x+)
=sin 2x-cos 2x
=2(sin 2x-cos 2x)
=2sin(2x-),
所以T===π,即f(x)的最小正周期为π.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)令2sin(2x-)=1,有sin(2x-)=,
即2x-=+2kπ,k∈Z或2x-=+2kπ,k∈Z,
可得x=+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z.
因为x∈[0,π],所以x=或x=.
令2sin(2x-)=-1,得sin(2x-)=-,
即2x-=-+2kπ,k∈Z或2x-=-+2kπ,k∈Z,可得x=kπ,k∈Z或x=-+kπ,k∈Z.
因为x∈[0,π],所以x=0或x=π或x=.
又f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,]和[,π],
单调递减区间为(,),所以当f(x)∈(-1,1]时,x的取值范围为(0,]∪[,).
17.(1)因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm,且A>0,所以2A=10,即A=5,
在一次振动过程中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,所以=1,所以T=2,
又ω>0,所以T==2,即ω=π,
所以h=5sin(πt+),t∈[0,100].
(2)由题意,当t= s时,小球第一次到达平衡位置,以后每隔半个周期都经过平衡位置一次,
由(1)知小球的振动周期为2 s,
所以在t= s后,小球每隔1 s经过平衡位置一次,
所以从t=0 s开始到t=50 s时小球经过平衡位置的次数为50.
因为50 s恰好小球振动25个周期,
所以t=50 s时小球的运动方向与t=0 s时小球的运动方向相同.
当t=0 s时,h=5sin(0+)=>0,
当t= s时,h=5sin(+)=5≥5sin(πt+),t∈[0,100],因为-0<,所以当t=0 s时小球向上运动,
所以当t=50 s时小球向上运动.
18.(1)因为f(x)的周期为π,所以ω=2,f(x)=sin(2x+φ),又f(x)的图象的一个对称中心为(,0),
所以+φ=kπ(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=sin(2x+),
所以g(x)=sin[2(x+)+]=cos x.
(2)由(1)可知,φ(x)=acos x-2cos2x+1,
设cos x=t,因为x∈(0,2π),所以t∈[-1,1),
则h(t)=-2t2+at+1,t∈[-1,1),则h(0)=1>0.
①当h(1)h(-1)<0,即a<-1或a>1时,h(t)在(-1,1)内有唯一零点,
这时,函数φ(x)在(0,2π)内有两个零点.
②当即-1
③当h(-1)=0,即a=-1时,h(t)=-2t2-t+1,由h(t)=0,得t=或t=-1,
这时,函数φ(x)在(0,2π)内有三个零点.
④当h(1)=0,即a=1时,h(t)=-2t2+t+1,由h(t)=0,得t=-或t=1(舍去),
这时,函数φ(x)在(0,2π)内有两个零点.
综上可得,当a<-1或a≥1时,φ(x)在(0,2π)内有两个零点;
当a=-1时,φ(x)在(0,2π)内有三个零点;
当-1
∴f(-)+f()=0，
∴f(x)=|cos x|(x≠0)是“G函数”.
(2)∵f(x)是“G函数”，故存在x∈[-，0)∪(0，]，
使得f(x)+f(-x)=0，
∴log2(tan x+m)+1+log2(-tan x+m)+1=0，
即m2-tan2x=在x∈[-，0)∪(0，]有解.
∵x∈[-，0)∪(0，]时，tan x∈[-，0)∪(0，]，
(点拨：此时角的范围在同一个单调区间内，所以可以直接运用单调性得正切函数值的范围，若角的范围不在一个单调区间内，则要结合函数图象求正切函数值的范围)
∴m2=tan2x+∈(，]，即m∈(，].
又∵log2(tan x+m)有意义，∴m+tan x＞0在x∈[-，0)∪(0，]恒成立，
∴m＞(-tan x)max=.
∴＜m≤，
即m的取值范围为(，].
